MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdval2 Unicode version

Theorem swrdval2 11453
Description: Value of the subword extractor in its intended domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrdval2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S substr  <. F ,  L >. )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( S `
 ( x  +  F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, S    x, F    x, L    x, A

Proof of Theorem swrdval2
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  S  e. Word  A )
2 elfzelz 10798 . . . 4  |-  ( F  e.  ( 0 ... L )  ->  F  e.  ZZ )
323ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  F  e.  ZZ )
4 elfzelz 10798 . . . 4  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) )  ->  L  e.  ZZ )
543ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  L  e.  ZZ )
6 swrdval 11450 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( S substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F ) ) ) ,  (/) ) )
71, 3, 5, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L
)  C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F ) ) ) ,  (/) ) )
8 elfzuz 10794 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( 0 ... L )  ->  F  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
983ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  F  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
10 fzoss1 10896 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( F..^ L )  C_  (
0..^ L ) )
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( F..^ L ) 
C_  ( 0..^ L ) )
12 elfzuz3 10795 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) )  ->  ( # `
 S )  e.  ( ZZ>= `  L )
)
13123ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  S )  e.  ( ZZ>= `  L
) )
14 fzoss2 10897 . . . . . 6  |-  ( (
# `  S )  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( 0..^ L ) 
C_  ( 0..^ (
# `  S )
) )
1513, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( 0..^ L ) 
C_  ( 0..^ (
# `  S )
) )
1611, 15sstrd 3189 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( F..^ L ) 
C_  ( 0..^ (
# `  S )
) )
17 wrdf 11419 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  A  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A )
18 fdm 5393 . . . . . 6  |-  ( S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A  ->  dom  S  =  ( 0..^ (
# `  S )
) )
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( S  e. Word  A  ->  dom  S  =  ( 0..^ (
# `  S )
) )
20193ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  dom  S  =  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
2116, 20sseqtr4d 3215 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( F..^ L ) 
C_  dom  S )
22 iftrue 3571 . . 3  |-  ( ( F..^ L )  C_  dom  S  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F ) ) ) )
2321, 22syl 15 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  if ( ( F..^ L
)  C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F ) ) ) )
247, 23eqtrd 2315 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S substr  <. F ,  L >. )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( S `
 ( x  +  F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   <.cop 3643    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737    + caddc 8740    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   substr csubstr 11406
This theorem is referenced by:  swrd0val  11454  swrdlen  11456  swrdfv  11457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-substr 11412
  Copyright terms: Public domain W3C validator