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Theorem sylow1lem1 14925
 Description: Lemma for sylow1 14930. The p-adic valuation of the size of is equal to the number of excess powers of in . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x
sylow1.g
sylow1.f
sylow1.p
sylow1.n
sylow1.d
sylow1lem.a
sylow1lem.s
Assertion
Ref Expression
sylow1lem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem sylow1lem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.f . . . . 5
2 sylow1.p . . . . . . . 8
3 prmnn 12777 . . . . . . . 8
42, 3syl 15 . . . . . . 7
5 sylow1.n . . . . . . 7
64, 5nnexpcld 11282 . . . . . 6
76nnzd 10132 . . . . 5
8 hashbc 11407 . . . . 5
91, 7, 8syl2anc 642 . . . 4
10 sylow1lem.s . . . . 5
1110fveq2i 5544 . . . 4
129, 11syl6eqr 2346 . . 3
13 sylow1.d . . . . . 6
14 sylow1.g . . . . . . . . . 10
15 sylow1.x . . . . . . . . . . 11
1615grpbn0 14527 . . . . . . . . . 10
1714, 16syl 15 . . . . . . . . 9
18 hasheq0 11369 . . . . . . . . . . 11
191, 18syl 15 . . . . . . . . . 10
2019necon3bbid 2493 . . . . . . . . 9
2117, 20mpbird 223 . . . . . . . 8
22 hashcl 11366 . . . . . . . . . . 11
231, 22syl 15 . . . . . . . . . 10
24 elnn0 9983 . . . . . . . . . 10
2523, 24sylib 188 . . . . . . . . 9
2625ord 366 . . . . . . . 8
2721, 26mt3d 117 . . . . . . 7
28 dvdsle 12590 . . . . . . 7
297, 27, 28syl2anc 642 . . . . . 6
3013, 29mpd 14 . . . . 5
316nnnn0d 10034 . . . . . . 7
32 nn0uz 10278 . . . . . . 7
3331, 32syl6eleq 2386 . . . . . 6
3423nn0zd 10131 . . . . . 6
35 elfz5 10806 . . . . . 6
3633, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5
3730, 36mpbird 223 . . . 4
38 bccl2 11351 . . . 4
3937, 38syl 15 . . 3
4012, 39eqeltrrd 2371 . 2
41 nnuz 10279 . . . . . . . . . . 11
426, 41syl6eleq 2386 . . . . . . . . . 10
43 elfz5 10806 . . . . . . . . . 10
4442, 34, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9
4530, 44mpbird 223 . . . . . . . 8
46 1z 10069 . . . . . . . . . 10
4746a1i 10 . . . . . . . . 9
48 fzsubel 10843 . . . . . . . . 9
4947, 34, 7, 47, 48syl22anc 1183 . . . . . . . 8
5045, 49mpbid 201 . . . . . . 7
51 1m1e0 9830 . . . . . . . 8
5251oveq1i 5884 . . . . . . 7
5350, 52syl6eleq 2386 . . . . . 6
54 bcp1nk 11345 . . . . . 6
5553, 54syl 15 . . . . 5
5623nn0cnd 10036 . . . . . . 7
57 ax-1cn 8811 . . . . . . 7
58 npcan 9076 . . . . . . 7
5956, 57, 58sylancl 643 . . . . . 6
606nncnd 9778 . . . . . . 7
61 npcan 9076 . . . . . . 7
6260, 57, 61sylancl 643 . . . . . 6
6359, 62oveq12d 5892 . . . . 5
6459, 62oveq12d 5892 . . . . . 6
6564oveq2d 5890 . . . . 5
6655, 63, 653eqtr3d 2336 . . . 4
6766oveq2d 5890 . . 3
6812oveq2d 5890 . . 3
69 bccl2 11351 . . . . . . 7
7053, 69syl 15 . . . . . 6
7170nnzd 10132 . . . . 5
7270nnne0d 9806 . . . . 5
736nnne0d 9806 . . . . . . 7
74 dvdsval2 12550 . . . . . . 7
757, 73, 34, 74syl3anc 1182 . . . . . 6
7613, 75mpbid 201 . . . . 5
7727nnne0d 9806 . . . . . 6
7856, 60, 77, 73divne0d 9568 . . . . 5
79 pcmul 12920 . . . . 5
802, 71, 72, 76, 78, 79syl122anc 1191 . . . 4
8157a1i 10 . . . . . . . . 9
8256, 60, 81npncand 9197 . . . . . . . 8
8382oveq1d 5889 . . . . . . 7
8483oveq2d 5890 . . . . . 6
856nnred 9777 . . . . . . . 8
8685ltm1d 9705 . . . . . . 7
87 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . 9
886, 87syl 15 . . . . . . . 8
89 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11
90 bcxmaslem1 12308 . . . . . . . . . . . . 13
9190oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
9291eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11
9389, 92imbi12d 311 . . . . . . . . . 10
9493imbi2d 307 . . . . . . . . 9
95 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11
96 bcxmaslem1 12308 . . . . . . . . . . . . 13
9796oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
9897eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11
9995, 98imbi12d 311 . . . . . . . . . 10
10099imbi2d 307 . . . . . . . . 9
101 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11
102 bcxmaslem1 12308 . . . . . . . . . . . . 13
103102oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
104103eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11
105101, 104imbi12d 311 . . . . . . . . . 10
106105imbi2d 307 . . . . . . . . 9
107 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11
108 bcxmaslem1 12308 . . . . . . . . . . . . 13
109108oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
110109eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11
111107, 110imbi12d 311 . . . . . . . . . 10
112111imbi2d 307 . . . . . . . . 9
113 znn0sub 10081 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1147, 34, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
11530, 114mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14
116 0nn0 9996 . . . . . . . . . . . . . 14
117 nn0addcl 10015 . . . . . . . . . . . . . 14
118115, 116, 117sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13
119 bcn0 11339 . . . . . . . . . . . . 13
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . . . 12
121120oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
122 pc1 12924 . . . . . . . . . . . 12
1232, 122syl 15 . . . . . . . . . . 11
124121, 123eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10
125124a1d 22 . . . . . . . . 9
126 nn0re 9990 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
128 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129128ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130129nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15
1316adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132131nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15
133127ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . . . 15
134 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
135127, 130, 132, 133, 134lttrd 8993 . . . . . . . . . . . . . 14
136135expr 598 . . . . . . . . . . . . 13
137136imim1d 69 . . . . . . . . . . . 12
138 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
139115adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
140139nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142141ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14357a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144140, 142, 143addassd 8873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145144oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146 nn0addge2 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
147127, 139, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
148 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
149148, 32syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
150139, 148nn0addcld 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
151150nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
152 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
153149, 151, 152syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
154147, 153mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155 bcp1nk 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
156154, 155syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
157145, 156eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
158157oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1592adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160 bccl2 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
161154, 160syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
162 nnq 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
163161, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164161nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165151peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
166 znq 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
167165, 129, 166syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
168 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
169150, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
170 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
171 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
172 rpdivcl 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
173170, 171, 172syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
174169, 129, 173syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
175174rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176 pcqmul 12922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
177159, 163, 164, 167, 175, 176syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
178158, 177eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16
179169nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
180 pcdiv 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
181159, 165, 179, 129, 180syl121anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
182129nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
183140, 182addcomd 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
184144, 183eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
185184oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
186 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
187186oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
188182addid1d 9028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
189188adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
190187, 189eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
191190oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1922ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
193 nnq 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
194129, 193syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
195194adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
196139nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
197 zq 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
198196, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
199198adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
200159, 129pccld 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
201200nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2035adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
204203nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
205204adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
206 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
207206neneqd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
208115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
209 elnn0 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
210208, 209sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
211210ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
212207, 211mt3d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
213192, 212pccld 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
214213nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
215129nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
216 pcdvdsb 12937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
217159, 215, 203, 216syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2187adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
219 dvdsle 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
220218, 129, 219syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
221217, 220sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
222204, 201lenltd 8981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
223132, 130lenltd 8981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
224221, 222, 2233imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
225134, 224mt4d 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
226225adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
227 dvdssubr 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2287, 34, 227syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
22913, 228mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
230229ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
231208nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2325ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
233 pcdvdsb 12937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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