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Theorem sylow1lem2 14926
Description: Lemma for sylow1 14930. The function  .(+) is a group action on  S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
sylow1lem2  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  S ) )
Distinct variable groups:    x, s,
y, z    x, S, y, z    N, s, x, y, z    X, s, x, y, z    .+ , s, x, y, z    x,  .(+) , y, z    G, s, x, y, z    P, s, x, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( s)    .(+) ( s)    S( s)

Proof of Theorem sylow1lem2
Dummy variables  a 
b  c  u  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 sylow1lem.s . . . 4  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
3 sylow1.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
53, 4eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
65pwex 4209 . . . . 5  |-  ~P X  e.  _V
76rabex 4181 . . . 4  |-  { s  e.  ~P X  | 
( # `  s )  =  ( P ^ N ) }  e.  _V
82, 7eqeltri 2366 . . 3  |-  S  e. 
_V
91, 8jctir 524 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\  S  e.  _V )
)
101adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  G  e.  Grp )
11 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  X )
12 sylow1lem.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  G )
13 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  X  |->  ( x 
.+  z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )
143, 12, 13grplmulf1o 14558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-onto-> X
)
1510, 11, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-onto-> X
)
16 f1of1 5487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) ) : X -1-1-onto-> X  -> 
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-> X )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-> X )
18 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
19 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  y  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  y
) )
2019eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  y  ->  (
( # `  s )  =  ( P ^ N )  <->  ( # `  y
)  =  ( P ^ N ) ) )
2120, 2elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ~P X  /\  ( # `
 y )  =  ( P ^ N
) ) )
2218, 21sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( y  e.  ~P X  /\  ( # `  y
)  =  ( P ^ N ) ) )
2322simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ~P X
)
24 elpwi 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  C_  X )
26 f1ssres 5460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-> X  /\  y  C_  X
)  ->  ( (
z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )  |`  y ) : y -1-1-> X )
2717, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )  |`  y ) : y
-1-1-> X )
28 resmpt 5016 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  X  ->  (
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) )  |`  y
)  =  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
29 f1eq1 5448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) )  |`  y
)  =  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  ->  ( ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )  |`  y ) : y -1-1-> X  <->  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) : y -1-1-> X ) )
3025, 28, 293syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( z  e.  X  |->  ( x 
.+  z ) )  |`  y ) : y
-1-1-> X  <->  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-> X ) )
3127, 30mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) : y
-1-1-> X )
32 f1f 5453 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-> X  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) : y --> X )
33 frn 5411 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y --> X  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) 
C_  X )
3431, 32, 333syl 18 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  C_  X
)
355elpw2 4191 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  ~P X 
<->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  C_  X )
3634, 35sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  ~P X )
37 f1f1orn 5499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-> X  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) : y -1-1-onto-> ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
38 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3938f1oen 6898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-onto-> ran  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  ->  y  ~~  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
4031, 37, 393syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  ~~  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
41 sylow1.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
4241adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  X  e.  Fin )
43 ssfi 7099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  y  C_  X )  -> 
y  e.  Fin )
4442, 25, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  Fin )
45 ssfi 7099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  C_  X
)  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  e.  Fin )
4642, 34, 45syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  Fin )
47 hashen 11362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  y )  =  (
# `  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )  <->  y  ~~  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) ) )
4844, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( # `  y
)  =  ( # `  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) )  <-> 
y  ~~  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) ) )
4940, 48mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( # `  y )  =  ( # `  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) ) )
5022simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( # `  y )  =  ( P ^ N ) )
5149, 50eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( # `  ran  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) )  =  ( P ^ N ) )
52 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  ->  ( # `  s
)  =  ( # `  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) ) )
5352eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  ->  ( ( # `  s )  =  ( P ^ N )  <-> 
( # `  ran  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) )  =  ( P ^ N ) ) )
5453, 2elrab2 2938 . . . . . 6  |-  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S  <->  ( ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  e. 
~P X  /\  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )  =  ( P ^ N ) ) )
5536, 51, 54sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S
)
5655ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S
)
57 sylow1lem.m . . . . 5  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
5857fmpt2 6207 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  S  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S  <->  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S )
5956, 58sylib 188 . . 3  |-  ( ph  -> 
.(+)  : ( X  X.  S ) --> S )
601adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
61 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
623, 61grpidcl 14526 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
6360, 62syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
64 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
65 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
66 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  x  =  ( 0g
`  G ) )
6766oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) )
6865, 67mpteq12dv 4114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
) )
6968rneqd 4922 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g
`  G )  .+  z ) ) )
70 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
7170mptex 5762 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) )  e.  _V
7271rnex 4958 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
)  e.  _V
7369, 57, 72ovmpt2a 5994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  a  e.  S )  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) ) )
7463, 64, 73syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g
`  G )  .+  z ) ) )
75 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { s  e.  ~P X  | 
( # `  s )  =  ( P ^ N ) }  C_  ~P X
762, 75eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  C_  ~P X
7776, 64sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ~P X )
78 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
7977, 78syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  C_  X )
8079sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  z  e.  a )  ->  z  e.  X )
813, 12, 61grplid 14528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  z )
8260, 81sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  z  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  z )  =  z )
8380, 82syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  z  e.  a )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  z )  =  z )
8483mpteq2dva 4122 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
)  =  ( z  e.  a  |->  z ) )
85 mptresid 5020 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  z )  =  (  _I  |`  a
)
8684, 85syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
)  =  (  _I  |`  a ) )
8786rneqd 4922 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( 0g `  G )  .+  z
) )  =  ran  (  _I  |`  a ) )
88 rnresi 5044 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  a )  =  a
8987, 88syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( 0g `  G )  .+  z
) )  =  a )
9074, 89eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  a )
91 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
.+  z )  e. 
_V
92 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( c  .+  z )  ->  (
b  .+  w )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
9391, 92abrexco 5782 . . . . . . . . 9  |-  { u  |  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } u  =  ( b  .+  w
) }  =  {
u  |  E. z  e.  a  u  =  ( b  .+  (
c  .+  z )
) }
94 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  c  e.  X )
9564adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  a  e.  S )
96 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
97 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  x  =  c )
9897oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( c 
.+  z ) )
9996, 98mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) ) )
10099rneqd 4922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) ) )
10170mptex 5762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  a  |->  ( c 
.+  z ) )  e.  _V
102101rnex 4958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) )  e.  _V
103100, 57, 102ovmpt2a 5994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  S )  ->  ( c  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( c 
.+  z ) ) )
10494, 95, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( c  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a 
|->  ( c  .+  z
) ) )
105 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  a  |->  ( c 
.+  z ) )  =  ( z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) )
106105rnmpt 4941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) )  =  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z ) }
107104, 106syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( c  .(+)  a )  =  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } )
108107rexeqdv 2756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( E. w  e.  ( c  .(+)  a ) u  =  ( b  .+  w
)  <->  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } u  =  ( b  .+  w
) ) )
109108abbidv 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( b 
.+  w ) }  =  { u  |  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } u  =  ( b  .+  w
) } )
11060ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  G  e.  Grp )
111 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  b  e.  X )
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  b  e.  X )
11394adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  c  e.  X )
11480adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  z  e.  X )
1153, 12grpass 14512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
116110, 112, 113, 114, 115syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
117116eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  (
u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  <->  u  =  ( b  .+  (
c  .+  z )
) ) )
118117rexbidva 2573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( E. z  e.  a  u  =  ( ( b 
.+  c )  .+  z )  <->  E. z  e.  a  u  =  ( b  .+  (
c  .+  z )
) ) )
119118abbidv 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) }  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( b 
.+  ( c  .+  z ) ) } )
12093, 109, 1193eqtr4a 2354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( b 
.+  w ) }  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) } )
121 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  =  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w
) )
122121rnmpt 4941 . . . . . . . 8  |-  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  =  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( b 
.+  w ) }
123 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( b 
.+  c )  .+  z ) )
124123rnmpt 4941 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c
)  .+  z )
)  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) }
125120, 122, 1243eqtr4g 2353 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ran  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( b 
.+  c )  .+  z ) ) )
12659ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S )
127 fovrn 6006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  : ( X  X.  S ) --> S  /\  c  e.  X  /\  a  e.  S )  ->  ( c  .(+)  a )  e.  S )
128126, 94, 95, 127syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( c  .(+)  a )  e.  S
)
129 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
y  =  ( c 
.(+)  a ) )
130 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  ->  x  =  b )
131130oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( x  .+  z
)  =  ( b 
.+  z ) )
132129, 131mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  z ) ) )
133 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
b  .+  z )  =  ( b  .+  w ) )
134133cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  z ) )  =  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w
) )
135132, 134syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
136135rneqd 4922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ran  ( w  e.  (
c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
137 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
.(+)  a )  e. 
_V
138137mptex 5762 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  e. 
_V
139138rnex 4958 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  e.  _V
140136, 57, 139ovmpt2a 5994 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  X  /\  ( c  .(+)  a )  e.  S )  -> 
( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) )  =  ran  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
141111, 128, 140syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) )  =  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
1421ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
1433, 12grpcl 14511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( b  .+  c
)  e.  X )
144142, 111, 94, 143syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( b  .+  c )  e.  X
)
145 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
146 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  x  =  ( b 
.+  c ) )
147146oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )
148145, 147mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c
)  .+  z )
) )
149148rneqd 4922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( b 
.+  c )  .+  z ) ) )
15070mptex 5762 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )  e.  _V
151150rnex 4958 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c
)  .+  z )
)  e.  _V
152149, 57, 151ovmpt2a 5994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  X  /\  a  e.  S )  ->  ( ( b  .+  c )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) ) )
153144, 95, 152syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( b  .+  c )  .+  z
) ) )
154125, 141, 1533eqtr4rd 2339 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) )
155154ralrimivva 2648 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) )
15690, 155jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) )
157156ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( ( ( 0g
`  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) )
15859, 157jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  (  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S  /\  A. a  e.  S  ( ( ( 0g `  G ) 
.(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) ) ) )
1593, 12, 61isga 14761 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  S )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  S  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S  /\  A. a  e.  S  ( ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) ) ) )
1609, 158, 159sylanbrc 645 1  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   NN0cn0 9981   ^cexp 11120   #chash 11353    || cdivides 12547   Primecprime 12774   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378    GrpAct cga 14759
This theorem is referenced by:  sylow1lem3  14927  sylow1lem5  14929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-hash 11354  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ga 14760
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