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Theorem sylow1lem3 14911
Description: Lemma for sylow1 14914. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set  S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow1lem3.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem3  |-  ( ph  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
Distinct variable groups:    g, s, x, y, z, w    S, g    x, w, y, z, S    g, N    w, s, N, x, y, z   
g, X, s, w, x, y, z    .+ , s, w, x, y, z    w,  .~ , z    .(+) , g, w, x, y, z    g, G, s, x, y, z    P, g, s, w, x, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w, g, s)    .+ ( g)    .(+) ( s)    .~ ( x, y, g, s)    S( s)    G( w)

Proof of Theorem sylow1lem3
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 sylow1.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 sylow1.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 sylow1.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
5 sylow1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 sylow1.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
7 sylow1lem.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
8 sylow1lem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
92, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8sylow1lem1 14909 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  S
)  e.  NN  /\  ( P  pCnt  ( # `  S ) )  =  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N ) ) )
109simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  e.  NN )
11 pcndvds 12918 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 S )  e.  NN )  ->  -.  ( P ^ ( ( P  pCnt  ( # `  S
) )  +  1 ) )  ||  ( # `
 S ) )
121, 10, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( P ^
( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 ) )  ||  ( # `  S ) )
139simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 S ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
1413oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 )  =  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )
1514oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( P  pCnt  ( # `
 S ) )  +  1 ) )  =  ( P ^
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) ) )
16 sylow1lem.m . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
172, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16sylow1lem2 14910 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  S ) )
18 sylow1lem3.1 . . . . . . . . 9  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
1918, 2gaorber 14762 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  S )  ->  .~  Er  S
)
2017, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .~  Er  S )
21 pwfi 7151 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
224, 21sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  Fin )
23 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { s  e.  ~P X  | 
( # `  s )  =  ( P ^ N ) }  C_  ~P X
248, 23eqsstri 3208 . . . . . . . 8  |-  S  C_  ~P X
25 ssfi 7083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  S  C_  ~P X
)  ->  S  e.  Fin )
2622, 24, 25sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
2720, 26qshash 12285 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
2815, 27breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 ) )  ||  ( # `  S )  <->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) ) )
2912, 28mtbid 291 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( P ^
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
30 pwfi 7151 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Fin  <->  ~P S  e.  Fin )
3126, 30sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P S  e.  Fin )
3220qsss 6720 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S /.  .~  )  C_  ~P S )
33 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P S  e.  Fin  /\  ( S /.  .~  )  C_  ~P S )  ->  ( S /.  .~  )  e.  Fin )
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S /.  .~  )  e.  Fin )
3534adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( S /.  .~  )  e. 
Fin )
36 prmnn 12761 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
371, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
381, 10pccld 12903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 S ) )  e.  NN0 )
3913, 38eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  NN0 )
40 peano2nn0 10004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  e. 
NN0  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  e.  NN0 )
4139, 40syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  e.  NN0 )
4237, 41nnexpcld 11266 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) )  e.  NN )
4342nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) )  e.  ZZ )
4443adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  e.  ZZ )
45 erdm 6670 . . . . . . . . . 10  |-  (  .~  Er  S  ->  dom  .~  =  S )
4620, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  .~  =  S )
47 elqsn0 6728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  .~  =  S  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  =/=  (/) )
4846, 47sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  =/=  (/) )
4926adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  S  e.  Fin )
5032sselda 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P S )
51 elpwi 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P S  -> 
z  C_  S )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  C_  S )
53 ssfi 7083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  z  C_  S )  -> 
z  e.  Fin )
5449, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
55 hashnncl 11354 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Fin  ->  (
( # `  z )  e.  NN  <->  z  =/=  (/) ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( # `
 z )  e.  NN  <->  z  =/=  (/) ) )
5748, 56mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN )
5857adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN )
5958nnzd 10116 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  ZZ )
60 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  z  ->  ( # `
 a )  =  ( # `  z
) )
6160oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  z  ->  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  =  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
6261breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  z  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  ( P  pCnt  (
# `  z )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
6362notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  z  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
6463rspccva 2883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
6564adantll 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
662grpbn0 14511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
673, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
68 hashnncl 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
694, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
7067, 69mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
711, 70pccld 12903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  NN0 )
7271nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  ZZ )
735nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7472, 73zsubcld 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  ZZ )
7574ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  e.  ZZ )
7675zred 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  e.  RR )
771ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  P  e.  Prime )
7877, 58pccld 12903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  NN0 )
7978nn0zd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  ZZ )
8079zred 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  RR )
8176, 80ltnled 8966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  < 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
8265, 81mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
83 zltp1le 10067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  ZZ  /\  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) ) )
8475, 79, 83syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  < 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <-> 
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  <_  ( P  pCnt  (
# `  z )
) ) )
8582, 84mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
8641ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  e.  NN0 )
87 pcdvdsb 12921 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 z )  e.  ZZ  /\  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  ( # `  z ) ) )
8877, 59, 86, 87syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <-> 
( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) ) 
||  ( # `  z
) ) )
8985, 88mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  ( # `  z ) )
9035, 44, 59, 89fsumdvds 12572 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
9129, 90mtand 640 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
92 dfrex2 2556 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( S /.  .~  ) ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  <->  -.  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
9391, 92sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( S /.  .~  )
( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
94 eqid 2283 . . . 4  |-  ( S /.  .~  )  =  ( S /.  .~  )
95 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( # `  [
z ]  .~  )  =  ( # `  a
) )
9695oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( P  pCnt  (
# `  [ z ]  .~  ) )  =  ( P  pCnt  ( # `
 a ) ) )
9796breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( P 
pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
9897imbi1d 308 . . . 4  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  <->  ( ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) ) )
99 eceq1 6696 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  [ w ]  .~  =  [ z ]  .~  )
10099fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  =  ( # `
 [ z ]  .~  ) )
101100oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  ( P 
pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
) )
102101breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  <->  ( P  pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
103102rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  S  /\  ( P  pCnt  ( # `  [ z ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
104103ex 423 . . . . 5  |-  ( z  e.  S  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ z ]  .~  ) )  <_ 
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
105104adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ z ]  .~  ) )  <_ 
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
10694, 98, 105ectocld 6726 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
107106rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( S /.  .~  ) ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
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) ) )
10893, 107mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   class class class wbr 4023   {copab 4076    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    Er wer 6657   [cec 6658   /.cqs 6659   Fincfn 6863   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104   #chash 11337   sum_csu 12158    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362    GrpAct cga 14743
This theorem is referenced by:  sylow1  14914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ga 14744
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