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Theorem sylow1lem3 14927
Description: Lemma for sylow1 14930. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set  S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow1lem3.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem3  |-  ( ph  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
Distinct variable groups:    g, s, x, y, z, w    S, g    x, w, y, z, S    g, N    w, s, N, x, y, z   
g, X, s, w, x, y, z    .+ , s, w, x, y, z    w,  .~ , z    .(+) , g, w, x, y, z    g, G, s, x, y, z    P, g, s, w, x, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w, g, s)    .+ ( g)    .(+) ( s)    .~ ( x, y, g, s)    S( s)    G( w)

Proof of Theorem sylow1lem3
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 sylow1.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 sylow1.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 sylow1.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
5 sylow1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 sylow1.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
7 sylow1lem.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
8 sylow1lem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
92, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8sylow1lem1 14925 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  S
)  e.  NN  /\  ( P  pCnt  ( # `  S ) )  =  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N ) ) )
109simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  e.  NN )
11 pcndvds 12934 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 S )  e.  NN )  ->  -.  ( P ^ ( ( P  pCnt  ( # `  S
) )  +  1 ) )  ||  ( # `
 S ) )
121, 10, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( P ^
( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 ) )  ||  ( # `  S ) )
139simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 S ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
1413oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 )  =  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )
1514oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( P  pCnt  ( # `
 S ) )  +  1 ) )  =  ( P ^
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) ) )
16 sylow1lem.m . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
172, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16sylow1lem2 14926 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  S ) )
18 sylow1lem3.1 . . . . . . . . 9  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
1918, 2gaorber 14778 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  S )  ->  .~  Er  S
)
2017, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .~  Er  S )
21 pwfi 7167 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
224, 21sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  Fin )
23 ssrab2 3271 . . . . . . . . 9  |-  { s  e.  ~P X  | 
( # `  s )  =  ( P ^ N ) }  C_  ~P X
248, 23eqsstri 3221 . . . . . . . 8  |-  S  C_  ~P X
25 ssfi 7099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  S  C_  ~P X
)  ->  S  e.  Fin )
2622, 24, 25sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
2720, 26qshash 12301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
2815, 27breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 ) )  ||  ( # `  S )  <->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) ) )
2912, 28mtbid 291 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( P ^
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
30 pwfi 7167 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Fin  <->  ~P S  e.  Fin )
3126, 30sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P S  e.  Fin )
3220qsss 6736 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S /.  .~  )  C_  ~P S )
33 ssfi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P S  e.  Fin  /\  ( S /.  .~  )  C_  ~P S )  ->  ( S /.  .~  )  e.  Fin )
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S /.  .~  )  e.  Fin )
3534adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( S /.  .~  )  e. 
Fin )
36 prmnn 12777 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
371, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
381, 10pccld 12919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 S ) )  e.  NN0 )
3913, 38eqeltrrd 2371 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  NN0 )
40 peano2nn0 10020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  e. 
NN0  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  e.  NN0 )
4139, 40syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  e.  NN0 )
4237, 41nnexpcld 11282 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) )  e.  NN )
4342nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) )  e.  ZZ )
4443adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  e.  ZZ )
45 erdm 6686 . . . . . . . . . 10  |-  (  .~  Er  S  ->  dom  .~  =  S )
4620, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  .~  =  S )
47 elqsn0 6744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  .~  =  S  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  =/=  (/) )
4846, 47sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  =/=  (/) )
4926adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  S  e.  Fin )
5032sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P S )
51 elpwi 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P S  -> 
z  C_  S )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  C_  S )
53 ssfi 7099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  z  C_  S )  -> 
z  e.  Fin )
5449, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
55 hashnncl 11370 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Fin  ->  (
( # `  z )  e.  NN  <->  z  =/=  (/) ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( # `
 z )  e.  NN  <->  z  =/=  (/) ) )
5748, 56mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN )
5857adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN )
5958nnzd 10132 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  ZZ )
60 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  z  ->  ( # `
 a )  =  ( # `  z
) )
6160oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  z  ->  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  =  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
6261breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  z  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  ( P  pCnt  (
# `  z )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
6362notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  z  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
6463rspccva 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
6564adantll 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
662grpbn0 14527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
673, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
68 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
694, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
7067, 69mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
711, 70pccld 12919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  NN0 )
7271nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  ZZ )
735nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7472, 73zsubcld 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  ZZ )
7574ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  e.  ZZ )
7675zred 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  e.  RR )
771ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  P  e.  Prime )
7877, 58pccld 12919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  NN0 )
7978nn0zd 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  ZZ )
8079zred 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  RR )
8176, 80ltnled 8982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  < 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
8265, 81mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
83 zltp1le 10083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  ZZ  /\  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) ) )
8475, 79, 83syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  < 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <-> 
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  <_  ( P  pCnt  (
# `  z )
) ) )
8582, 84mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
8641ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  e.  NN0 )
87 pcdvdsb 12937 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 z )  e.  ZZ  /\  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  ( # `  z ) ) )
8877, 59, 86, 87syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <-> 
( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) ) 
||  ( # `  z
) ) )
8985, 88mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  ( # `  z ) )
9035, 44, 59, 89fsumdvds 12588 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
9129, 90mtand 640 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
92 dfrex2 2569 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( S /.  .~  ) ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  <->  -.  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
9391, 92sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( S /.  .~  )
( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
94 eqid 2296 . . . 4  |-  ( S /.  .~  )  =  ( S /.  .~  )
95 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( # `  [
z ]  .~  )  =  ( # `  a
) )
9695oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( P  pCnt  (
# `  [ z ]  .~  ) )  =  ( P  pCnt  ( # `
 a ) ) )
9796breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( P 
pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
9897imbi1d 308 . . . 4  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  <->  ( ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) ) )
99 eceq1 6712 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  [ w ]  .~  =  [ z ]  .~  )
10099fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  =  ( # `
 [ z ]  .~  ) )
101100oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  ( P 
pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
) )
102101breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  <->  ( P  pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
103102rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  S  /\  ( P  pCnt  ( # `  [ z ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
104103ex 423 . . . . 5  |-  ( z  e.  S  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ z ]  .~  ) )  <_ 
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
105104adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ z ]  .~  ) )  <_ 
( ( P  pCnt  (
# `  X )
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( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
10694, 98, 105ectocld 6742 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
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 X ) )  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
107106rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( S /.  .~  ) ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
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) ) )
10893, 107mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {cpr 3654   class class class wbr 4039   {copab 4092    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    Er wer 6673   [cec 6674   /.cqs 6675   Fincfn 6879   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120   #chash 11353   sum_csu 12174    || cdivides 12547   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378    GrpAct cga 14759
This theorem is referenced by:  sylow1  14930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ga 14760
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