MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem4 Unicode version

Theorem sylow1lem4 14928
Description: Lemma for sylow1 14930. The stabilizer subgroup of any element of  S is at most  P ^ N in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow1lem3.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
sylow1lem4.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
sylow1lem4.h  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  B )  =  B }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem4  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( P ^ N ) )
Distinct variable groups:    g, s, u, x, y, z, B   
g, H, x, y    S, g, u, x, y, z    g, N, s, u, x, y, z   
g, X, s, u, x, y, z    .+ , s, u, x, y, z    z,  .~   
.(+) , g, u, x, y, z    g, G, s, u, x, y, z    P, g, s, u, x, y, z    ph, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( g, s)    .+ ( g)    .(+) ( s)    .~ ( x, y, u, g, s)    S( s)    H( z, u, s)

Proof of Theorem sylow1lem4
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1lem4.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
2 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  B  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  B
) )
32eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  B  ->  (
( # `  s )  =  ( P ^ N )  <->  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) ) )
4 sylow1lem.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
53, 4elrab2 2938 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  S  <->  ( B  e.  ~P X  /\  ( # `
 B )  =  ( P ^ N
) ) )
61, 5sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ~P X  /\  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) ) )
76simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) )
8 sylow1.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmnn 12777 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
11 sylow1.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1210, 11nnexpcld 11282 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  NN )
137, 12eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
1413nnne0d 9806 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =/=  0 )
15 hasheq0 11369 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  S  ->  (
( # `  B )  =  0  <->  B  =  (/) ) )
1615necon3bid 2494 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  S  ->  (
( # `  B )  =/=  0  <->  B  =/=  (/) ) )
171, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  =/=  0  <->  B  =/=  (/) ) )
1814, 17mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
19 n0 3477 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  B )
2018, 19sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  a  e.  B )
211adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  S )
22 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  a  e.  B )
23 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  a  ->  (
b  .+  z )  =  ( b  .+  a ) )
24 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )
25 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b 
.+  a )  e. 
_V
2623, 24, 25fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  B  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  =  ( b 
.+  a ) )
2722, 26syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  =  ( b 
.+  a ) )
28 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b 
.+  z )  e. 
_V
2928, 24fnmpti 5388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) )  Fn  B
30 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  Fn  B  /\  a  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) `  a )  e.  ran  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) ) )
3129, 22, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  e.  ran  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
3227, 31eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
33 sylow1lem4.h . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  B )  =  B }
34 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  B )  =  B }  C_  X
3533, 34eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  C_  X
36 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  b  e.  H )
3735, 36sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  b  e.  X )
381ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  B  e.  S )
39 mptexg 5761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  S  ->  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )  e.  _V )
40 rnexg 4956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )  e.  _V  ->  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )
42 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
43 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  x  =  b )
4443oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( b 
.+  z ) )
4542, 44mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
4645rneqd 4922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
47 sylow1lem.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
4846, 47ovmpt2ga 5993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  X  /\  B  e.  S  /\  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )  ->  ( b  .(+)  B )  =  ran  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
4937, 38, 41, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .(+)  B )  =  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
5032, 49eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  ( b  .(+)  B ) )
51 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  b  ->  (
u  .(+)  B )  =  ( b  .(+)  B ) )
5251eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  b  ->  (
( u  .(+)  B )  =  B  <->  ( b  .(+)  B )  =  B ) )
5352, 33elrab2 2938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  H  <->  ( b  e.  X  /\  (
b  .(+)  B )  =  B ) )
5453simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  H  ->  (
b  .(+)  B )  =  B )
5554adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .(+)  B )  =  B )
5650, 55eleqtrd 2372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  B )
5756ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  H  -> 
( b  .+  a
)  e.  B ) )
58 sylow1.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5958ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  G  e.  Grp )
60 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  b  e.  H )
6135, 60sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  b  e.  X )
62 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  c  e.  H )
6335, 62sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  c  e.  X )
646simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P X
)
65 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ~P X  ->  B  C_  X )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
6766sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  X )
6867adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  a  e.  X )
69 sylow1.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
70 sylow1lem.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
7169, 70grprcan 14531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X  /\  a  e.  X
) )  ->  (
( b  .+  a
)  =  ( c 
.+  a )  <->  b  =  c ) )
7259, 61, 63, 68, 71syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  ( (
b  .+  a )  =  ( c  .+  a )  <->  b  =  c ) )
7372ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( b  e.  H  /\  c  e.  H
)  ->  ( (
b  .+  a )  =  ( c  .+  a )  <->  b  =  c ) ) )
7457, 73dom2d 6918 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  e.  S  ->  H  ~<_  B ) )
7521, 74mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  H  ~<_  B )
7675ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  ->  H  ~<_  B ) )
7776exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  a  e.  B  ->  H  ~<_  B ) )
7820, 77mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  H  ~<_  B )
79 sylow1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
80 ssfi 7099 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  H  C_  X )  ->  H  e.  Fin )
8179, 35, 80sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
82 ssfi 7099 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  B  C_  X )  ->  B  e.  Fin )
8379, 66, 82syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
84 hashdom 11377 . . . 4  |-  ( ( H  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  H
)  <_  ( # `  B
)  <->  H  ~<_  B )
)
8581, 83, 84syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  <_  ( # `  B
)  <->  H  ~<_  B )
)
8678, 85mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( # `  B
) )
8786, 7breqtrd 4063 1  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( P ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {cpr 3654   class class class wbr 4039   {copab 4092    e. cmpt 4093   ran crn 4706    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879   0cc0 8753    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ^cexp 11120   #chash 11353    || cdivides 12547   Primecprime 12774   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  14929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-prm 12775  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505
  Copyright terms: Public domain W3C validator