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Theorem sylow1lem4 14912
Description: Lemma for sylow1 14914. The stabilizer subgroup of any element of  S is at most  P ^ N in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow1lem3.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
sylow1lem4.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
sylow1lem4.h  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  B )  =  B }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem4  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( P ^ N ) )
Distinct variable groups:    g, s, u, x, y, z, B   
g, H, x, y    S, g, u, x, y, z    g, N, s, u, x, y, z   
g, X, s, u, x, y, z    .+ , s, u, x, y, z    z,  .~   
.(+) , g, u, x, y, z    g, G, s, u, x, y, z    P, g, s, u, x, y, z    ph, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( g, s)    .+ ( g)    .(+) ( s)    .~ ( x, y, u, g, s)    S( s)    H( z, u, s)

Proof of Theorem sylow1lem4
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1lem4.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
2 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  B  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  B
) )
32eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  B  ->  (
( # `  s )  =  ( P ^ N )  <->  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) ) )
4 sylow1lem.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
53, 4elrab2 2925 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  S  <->  ( B  e.  ~P X  /\  ( # `
 B )  =  ( P ^ N
) ) )
61, 5sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ~P X  /\  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) ) )
76simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) )
8 sylow1.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmnn 12761 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
11 sylow1.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1210, 11nnexpcld 11266 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  NN )
137, 12eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
1413nnne0d 9790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =/=  0 )
15 hasheq0 11353 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  S  ->  (
( # `  B )  =  0  <->  B  =  (/) ) )
1615necon3bid 2481 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  S  ->  (
( # `  B )  =/=  0  <->  B  =/=  (/) ) )
171, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  =/=  0  <->  B  =/=  (/) ) )
1814, 17mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
19 n0 3464 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  B )
2018, 19sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  a  e.  B )
211adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  S )
22 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  a  e.  B )
23 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  a  ->  (
b  .+  z )  =  ( b  .+  a ) )
24 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )
25 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b 
.+  a )  e. 
_V
2623, 24, 25fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  B  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  =  ( b 
.+  a ) )
2722, 26syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  =  ( b 
.+  a ) )
28 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b 
.+  z )  e. 
_V
2928, 24fnmpti 5372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) )  Fn  B
30 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  Fn  B  /\  a  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) `  a )  e.  ran  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) ) )
3129, 22, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  e.  ran  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
3227, 31eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
33 sylow1lem4.h . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  B )  =  B }
34 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  B )  =  B }  C_  X
3533, 34eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  C_  X
36 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  b  e.  H )
3735, 36sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  b  e.  X )
381ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  B  e.  S )
39 mptexg 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  S  ->  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )  e.  _V )
40 rnexg 4940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )  e.  _V  ->  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )
42 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
43 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  x  =  b )
4443oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( b 
.+  z ) )
4542, 44mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
4645rneqd 4906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
47 sylow1lem.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
4846, 47ovmpt2ga 5977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  X  /\  B  e.  S  /\  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )  ->  ( b  .(+)  B )  =  ran  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
4937, 38, 41, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .(+)  B )  =  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
5032, 49eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  ( b  .(+)  B ) )
51 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  b  ->  (
u  .(+)  B )  =  ( b  .(+)  B ) )
5251eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  b  ->  (
( u  .(+)  B )  =  B  <->  ( b  .(+)  B )  =  B ) )
5352, 33elrab2 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  H  <->  ( b  e.  X  /\  (
b  .(+)  B )  =  B ) )
5453simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  H  ->  (
b  .(+)  B )  =  B )
5554adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .(+)  B )  =  B )
5650, 55eleqtrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  B )
5756ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  H  -> 
( b  .+  a
)  e.  B ) )
58 sylow1.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5958ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  G  e.  Grp )
60 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  b  e.  H )
6135, 60sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  b  e.  X )
62 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  c  e.  H )
6335, 62sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  c  e.  X )
646simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P X
)
65 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ~P X  ->  B  C_  X )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
6766sselda 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  X )
6867adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  a  e.  X )
69 sylow1.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
70 sylow1lem.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
7169, 70grprcan 14515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X  /\  a  e.  X
) )  ->  (
( b  .+  a
)  =  ( c 
.+  a )  <->  b  =  c ) )
7259, 61, 63, 68, 71syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  ( (
b  .+  a )  =  ( c  .+  a )  <->  b  =  c ) )
7372ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( b  e.  H  /\  c  e.  H
)  ->  ( (
b  .+  a )  =  ( c  .+  a )  <->  b  =  c ) ) )
7457, 73dom2d 6902 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  e.  S  ->  H  ~<_  B ) )
7521, 74mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  H  ~<_  B )
7675ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  ->  H  ~<_  B ) )
7776exlimdv 1664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  a  e.  B  ->  H  ~<_  B ) )
7820, 77mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  H  ~<_  B )
79 sylow1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
80 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  H  C_  X )  ->  H  e.  Fin )
8179, 35, 80sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
82 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  B  C_  X )  ->  B  e.  Fin )
8379, 66, 82syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
84 hashdom 11361 . . . 4  |-  ( ( H  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  H
)  <_  ( # `  B
)  <->  H  ~<_  B )
)
8581, 83, 84syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  <_  ( # `  B
)  <->  H  ~<_  B )
)
8678, 85mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( # `  B
) )
8786, 7breqtrd 4047 1  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( P ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   class class class wbr 4023   {copab 4076    e. cmpt 4077   ran crn 4690    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   0cc0 8737    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   #chash 11337    || cdivides 12531   Primecprime 12758   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  14913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-prm 12759  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489
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