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Theorem sylow1lem4 15236
Description: Lemma for sylow1 15238. The stabilizer subgroup of any element of  S is at most  P ^ N in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow1lem3.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
sylow1lem4.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
sylow1lem4.h  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  B )  =  B }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem4  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( P ^ N ) )
Distinct variable groups:    g, s, u, x, y, z, B   
g, H, x, y    S, g, u, x, y, z    g, N, s, u, x, y, z   
g, X, s, u, x, y, z    .+ , s, u, x, y, z    z,  .~   
.(+) , g, u, x, y, z    g, G, s, u, x, y, z    P, g, s, u, x, y, z    ph, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( g, s)    .+ ( g)    .(+) ( s)    .~ ( x, y, u, g, s)    S( s)    H( z, u, s)

Proof of Theorem sylow1lem4
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1lem4.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
2 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  B  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  B
) )
32eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  B  ->  (
( # `  s )  =  ( P ^ N )  <->  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) ) )
4 sylow1lem.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
53, 4elrab2 3095 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  S  <->  ( B  e.  ~P X  /\  ( # `
 B )  =  ( P ^ N
) ) )
61, 5sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ~P X  /\  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) ) )
76simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) )
8 sylow1.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmnn 13083 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
11 sylow1.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1210, 11nnexpcld 11545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  NN )
137, 12eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
1413nnne0d 10045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =/=  0 )
15 hasheq0 11645 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  S  ->  (
( # `  B )  =  0  <->  B  =  (/) ) )
1615necon3bid 2637 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  S  ->  (
( # `  B )  =/=  0  <->  B  =/=  (/) ) )
171, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  =/=  0  <->  B  =/=  (/) ) )
1814, 17mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
19 n0 3638 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  B )
2018, 19sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  a  e.  B )
211adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  S )
22 simplr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  a  e.  B )
23 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
b  .+  z )  =  ( b  .+  a ) )
24 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )
25 ovex 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b 
.+  a )  e. 
_V
2623, 24, 25fvmpt 5807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  B  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  =  ( b 
.+  a ) )
2722, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  =  ( b 
.+  a ) )
28 ovex 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b 
.+  z )  e. 
_V
2928, 24fnmpti 5574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) )  Fn  B
30 fnfvelrn 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  Fn  B  /\  a  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) `  a )  e.  ran  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) ) )
3129, 22, 30sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  e.  ran  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
3227, 31eqeltrrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
33 sylow1lem4.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  B )  =  B }
34 ssrab2 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  B )  =  B }  C_  X
3533, 34eqsstri 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  H  C_  X
36 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  b  e.  H )
3735, 36sseldi 3347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  b  e.  X )
381ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  B  e.  S )
39 mptexg 5966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  S  ->  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )  e.  _V )
40 rnexg 5132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )  e.  _V  ->  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )
4138, 39, 403syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )
42 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
43 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  x  =  b )
4443oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( b 
.+  z ) )
4542, 44mpteq12dv 4288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
4645rneqd 5098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
47 sylow1lem.m . . . . . . . . . . 11  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
4846, 47ovmpt2ga 6204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  X  /\  B  e.  S  /\  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )  ->  ( b  .(+)  B )  =  ran  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
4937, 38, 41, 48syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .(+)  B )  =  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
5032, 49eleqtrrd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  ( b  .(+)  B ) )
51 oveq1 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  b  ->  (
u  .(+)  B )  =  ( b  .(+)  B ) )
5251eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  b  ->  (
( u  .(+)  B )  =  B  <->  ( b  .(+)  B )  =  B ) )
5352, 33elrab2 3095 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  H  <->  ( b  e.  X  /\  (
b  .(+)  B )  =  B ) )
5453simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  H  ->  (
b  .(+)  B )  =  B )
5554adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .(+)  B )  =  B )
5650, 55eleqtrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  B )
5756ex 425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  H  -> 
( b  .+  a
)  e.  B ) )
58 sylow1.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5958ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  G  e.  Grp )
60 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  b  e.  H )
6135, 60sseldi 3347 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  b  e.  X )
62 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  c  e.  H )
6335, 62sseldi 3347 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  c  e.  X )
646simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P X
)
6564elpwid 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
6665sselda 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  X )
6766adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  a  e.  X )
68 sylow1.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
69 sylow1lem.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
7068, 69grprcan 14839 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X  /\  a  e.  X
) )  ->  (
( b  .+  a
)  =  ( c 
.+  a )  <->  b  =  c ) )
7159, 61, 63, 67, 70syl13anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  ( (
b  .+  a )  =  ( c  .+  a )  <->  b  =  c ) )
7271ex 425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( b  e.  H  /\  c  e.  H
)  ->  ( (
b  .+  a )  =  ( c  .+  a )  <->  b  =  c ) ) )
7357, 72dom2d 7149 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  e.  S  ->  H  ~<_  B ) )
7421, 73mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  H  ~<_  B )
7520, 74exlimddv 1649 . . 3  |-  ( ph  ->  H  ~<_  B )
76 sylow1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
77 ssfi 7330 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  H  C_  X )  ->  H  e.  Fin )
7876, 35, 77sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
79 ssfi 7330 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  B  C_  X )  ->  B  e.  Fin )
8076, 65, 79syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
81 hashdom 11654 . . . 4  |-  ( ( H  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  H
)  <_  ( # `  B
)  <->  H  ~<_  B )
)
8278, 80, 81syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  <_  ( # `  B
)  <->  H  ~<_  B )
)
8375, 82mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( # `  B
) )
8483, 7breqtrd 4237 1  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( P ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   E.wrex 2707   {crab 2710   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   (/)c0 3629   ~Pcpw 3800   {cpr 3816   class class class wbr 4213   {copab 4266    e. cmpt 4267   ran crn 4880    Fn wfn 5450   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084    ~<_ cdom 7108   Fincfn 7110   0cc0 8991    <_ cle 9122   NNcn 10001   NN0cn0 10222   ^cexp 11383   #chash 11619    || cdivides 12853   Primecprime 13080   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   Grpcgrp 14686
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  15237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-prm 13081  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813
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