Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2 Structured version   Unicode version

Theorem sylow2 15252
 Description: Sylow's second theorem. See also sylow2b 15249 for the "hard" part of the proof. Any two Sylow -subgroups are conjugate to one another, and hence the same size, namely (see fislw 15251). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2.x
sylow2.f
sylow2.h pSyl
sylow2.k pSyl
sylow2.a
sylow2.d
Assertion
Ref Expression
sylow2
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem sylow2
StepHypRef Expression
1 sylow2.x . . 3
2 sylow2.f . . 3
3 sylow2.h . . . 4 pSyl
4 slwsubg 15236 . . . 4 pSyl SubGrp
53, 4syl 16 . . 3 SubGrp
6 sylow2.k . . . 4 pSyl
7 slwsubg 15236 . . . 4 pSyl SubGrp
86, 7syl 16 . . 3 SubGrp
9 sylow2.a . . 3
10 eqid 2435 . . . . 5 s s
1110slwpgp 15239 . . . 4 pSyl pGrp s
123, 11syl 16 . . 3 pGrp s
131, 2, 6slwhash 15250 . . 3
14 sylow2.d . . 3
151, 2, 5, 8, 9, 12, 13, 14sylow2b 15249 . 2
162adantr 452 . . . . . 6
178adantr 452 . . . . . . . 8 SubGrp
18 simprl 733 . . . . . . . 8
19 eqid 2435 . . . . . . . . 9
201, 9, 14, 19conjsubg 15029 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
2117, 18, 20syl2anc 643 . . . . . . 7 SubGrp
221subgss 14937 . . . . . . 7 SubGrp
2321, 22syl 16 . . . . . 6
24 ssfi 7321 . . . . . 6
2516, 23, 24syl2anc 643 . . . . 5
26 simprr 734 . . . . 5
271, 2, 3slwhash 15250 . . . . . . . . 9
2827, 13eqtr4d 2470 . . . . . . . 8
291subgss 14937 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
305, 29syl 16 . . . . . . . . . 10
31 ssfi 7321 . . . . . . . . . 10
322, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . 9
331subgss 14937 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
348, 33syl 16 . . . . . . . . . 10
35 ssfi 7321 . . . . . . . . . 10
362, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . . . 9
37 hashen 11623 . . . . . . . . 9
3832, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . 8
3928, 38mpbid 202 . . . . . . 7
4039adantr 452 . . . . . 6
411, 9, 14, 19conjsubgen 15030 . . . . . . 7 SubGrp
4217, 18, 41syl2anc 643 . . . . . 6
43 entr 7151 . . . . . 6
4440, 42, 43syl2anc 643 . . . . 5
45 fisseneq 7312 . . . . 5
4625, 26, 44, 45syl3anc 1184 . . . 4
4746expr 599 . . 3
4847reximdva 2810 . 2
4915, 48mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073   cen 7098  cfn 7101  cexp 11374  chash 11610   cpc 13202  cbs 13461   ↾s cress 13462   cplusg 13521  csg 14680  SubGrpcsubg 14930   pGrp cpgp 15157   pSyl cslw 15158 This theorem is referenced by:  sylow3lem3  15255  sylow3lem6  15258 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-eqg 14935  df-ghm 14996  df-ga 15059  df-od 15159  df-pgp 15161  df-slw 15162
 Copyright terms: Public domain W3C validator