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Theorem sylow2a 15208
Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If  G is a finite  P-group that acts on the finite set  Y, then the set  Z of all points of  Y fixed by every element of  G has cardinality equivalent to the cardinality of  Y, 
mod  P. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2a.m  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
sylow2a.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
sylow2a.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2a.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
sylow2a.z  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
sylow2a.r  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow2a  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  Y )  -  ( # `  Z
) ) )
Distinct variable groups:    .~ , h    g, h, u, x, y    g, G, x, y    .(+) , g, h, u, x, y    g, X, h, u, x, y    ph, h    g, Y, h, u, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u, g)    P( x, y, u, g, h)    .~ ( x, y, u, g)    G( u, h)    Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 sylow2a.m . . 3  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
3 sylow2a.p . . 3  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
4 sylow2a.f . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
5 sylow2a.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
6 sylow2a.z . . 3  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
7 sylow2a.r . . 3  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 15207 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
9 inass 3511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ) )
10 disjdif 3660 . . . . . . . 8  |-  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  (/)
1110ineq2i 3499 . . . . . . 7  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ) )  =  ( ( Y /.  .~  )  i^i  (/) )
12 in0 3613 . . . . . . 7  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  (/) )  =  (/)
139, 11, 123eqtri 2428 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  (/)
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  =  (/) )
15 inundif 3666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  ( Y /.  .~  )
1615eqcomi 2408 . . . . . 6  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  =  ( (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ) )
18 pwfi 7360 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Fin  <->  ~P Y  e.  Fin )
195, 18sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P Y  e.  Fin )
207, 1gaorber 15040 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
212, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .~  Er  Y )
2221qsss 6924 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )
23 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( ~P Y  e.  Fin  /\  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
2419, 22, 23syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
255adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  Y  e.  Fin )
2622sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P Y )
2726elpwid 3768 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  C_  Y )
28 ssfi 7288 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  z  C_  Y )  -> 
z  e.  Fin )
2925, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
30 hashcl 11594 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3129, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN0 )
3231nn0cnd 10232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  CC )
3314, 17, 24, 32fsumsplit 12488 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( Y /.  .~  )
( # `  z )  =  ( sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ( # `  z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) ) )
3421, 5qshash 12561 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  =  sum_ z  e.  ( Y /.  .~  ) ( # `  z
) )
35 inss1 3521 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  C_  ( Y /.  .~  )
36 ssfi 7288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  /\  (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 
C_  ( Y /.  .~  ) )  ->  (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  e.  Fin )
3724, 35, 36sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin )
38 ax-1cn 9004 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
39 fsumconst 12528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 1  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 1  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
41 elin 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  <->  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  z  e.  ~P Z ) )
42 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( Y /.  .~  )
43 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  C_  Z ) )
44 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
4544elpw 3765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ~P Z  <->  z  C_  Z )
4643, 45syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  e.  ~P Z ) )
47 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  ~~  1o  <->  z  ~~  1o ) )
4846, 47imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o )  <->  ( z  e.  ~P Z  ->  z  ~~  1o ) ) )
4921adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .~  Er  Y )
50 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
5149, 50erref 6884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  .~  w )
52 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  w  e. 
_V
5352, 52elec 6903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  [ w ]  .~ 
<->  w  .~  w )
5451, 53sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
55 ssel 3302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  ( w  e.  [
w ]  .~  ->  w  e.  Z ) )
5654, 55syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  w  e.  Z ) )
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 15206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  =  { w } )
5852ensn1 7130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { w }  ~~  1o
5957, 58syl6eqbr 4209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  ~~  1o )
6059ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6256, 61syld 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6342, 48, 62ectocld 6930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( z  e.  ~P Z  ->  z  ~~  1o ) )
6463impr 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  z  e.  ~P Z ) )  -> 
z  ~~  1o )
6541, 64sylan2b 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  ~~  1o )
66 en1b 7134 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
~~  1o  <->  z  =  { U. z } )
6765, 66sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  =  { U. z } )
6867fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  { U. z } ) )
6944uniex 4664 . . . . . . . . 9  |-  U. z  e.  _V
70 hashsng 11602 . . . . . . . . 9  |-  ( U. z  e.  _V  ->  (
# `  { U. z } )  =  1 )
7169, 70ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { U. z } )  =  1
7268, 71syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  =  1 )
7372sumeq2dv 12452 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) ( # `  z
)  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) 1 )
74 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  u }  C_  Y
756, 74eqsstri 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  C_  Y
76 ssfi 7288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  Z  C_  Y )  ->  Z  e.  Fin )
775, 75, 76sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  Fin )
78 hashcl 11594 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  Fin  ->  ( # `
 Z )  e. 
NN0 )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  e.  NN0 )
8079nn0cnd 10232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  e.  CC )
8180mulid1d 9061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  x.  1 )  =  ( # `  Z
) )
82 elex 2924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  Fin  ->  Z  e.  _V )
8377, 82syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  _V )
84 inss2 3522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  C_  ~P Z
85 pwexg 4343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  Fin  ->  ~P Z  e.  _V )
8677, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ~P Z  e.  _V )
87 ssexg 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  C_  ~P Z  /\  ~P Z  e.  _V )  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  e. 
_V )
8884, 86, 87sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  _V )
897relopabi 4959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Rel  .~
90 relssdmrn 5349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Rel 
.~  ->  .~  C_  ( dom 
.~  X.  ran  .~  )
)
9189, 90ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .~  C_  ( dom  .~  X.  ran  .~  )
92 erdm 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  .~  Er  Y  ->  dom  .~  =  Y )
9321, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  .~  =  Y )
9493, 5eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  .~  e.  Fin )
95 errn 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  .~  Er  Y  ->  ran  .~  =  Y )
9621, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ran  .~  =  Y )
9796, 5eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ran  .~  e.  Fin )
98 xpexg 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  .~  e.  Fin  /\ 
ran  .~  e.  Fin )  ->  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e. 
_V )
9994, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e.  _V )
100 ssexg 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  .~  C_  ( dom  .~ 
X.  ran  .~  )  /\  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e.  _V )  ->  .~  e.  _V )
10191, 99, 100sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
102101adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  .~  e.  _V )
103 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Z )
10475, 103sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Y )
105 ecelqsg 6918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  .~  e.  _V  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  e.  ( Y /.  .~  ) )
106102, 104, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  e.  ( Y /.  .~  ) )
10757, 106eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ( Y /.  .~  ) )
108 snelpwi 4369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Z  ->  { w }  e.  ~P Z
)
109108adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ~P Z
)
110 elin 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  <-> 
( { w }  e.  ( Y /.  .~  )  /\  { w }  e.  ~P Z ) )
111107, 109, 110sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )
112111ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
113 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )
11484, 113sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  e.  ~P Z )
115114elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  C_  Z )
11667, 115eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  { U. z }  C_  Z )
11769snss 3886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. z  e.  Z  <->  { U. z }  C_  Z )
118116, 117sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  U. z  e.  Z )
119118ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  ->  U. z  e.  Z
) )
120 sneq 3785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  U. z  ->  { w }  =  { U. z } )
121120eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  U. z  -> 
( z  =  {
w }  <->  z  =  { U. z } ) )
12267, 121syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  (
w  =  U. z  ->  z  =  { w } ) )
123122adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )  -> 
( w  =  U. z  ->  z  =  {
w } ) )
124 unieq 3984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  { w }  ->  U. z  =  U. { w } )
12552unisn 3991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. {
w }  =  w
126124, 125syl6req 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  { w }  ->  w  =  U. z
)
127123, 126impbid1 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )  -> 
( w  =  U. z 
<->  z  =  { w } ) )
128127ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  (
w  =  U. z  <->  z  =  { w }
) ) )
12983, 88, 112, 119, 128en3d 7103 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) )
130 hashen 11586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  Fin  /\  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  <->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
13177, 37, 130syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  <->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
132129, 131mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
133132oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  x.  1 )  =  ( ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  x.  1 ) )
13481, 133eqtr3d 2438 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
13540, 73, 1343eqtr4rd 2447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ( # `  z
) )
136135oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )  =  (
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) ( # `  z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) ) )
13733, 34, 1363eqtr4rd 2447 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )  =  (
# `  Y )
)
138 hashcl 11594 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Fin  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
1395, 138syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  e.  NN0 )
140139nn0cnd 10232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  e.  CC )
141 diffi 7298 . . . . . 6  |-  ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  e.  Fin )
14224, 141syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
)  e.  Fin )
143 eldifi 3429 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  ->  z  e.  ( Y /.  .~  ) )
144143, 32sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e.  CC )
145142, 144fsumcl 12482 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
)  e.  CC )
146140, 80, 145subaddd 9385 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  Y )  -  ( # `
 Z ) )  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
)  <->  ( ( # `  Z )  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z ) )  =  ( # `  Y
) ) )
147137, 146mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Y
)  -  ( # `  Z ) )  = 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
) )
1488, 147breqtrrd 4198 1  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  Y )  -  ( # `  Z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   {copab 4225    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   Rel wrel 4842   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676    Er wer 6861   [cec 6862   /.cqs 6863    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   NN0cn0 10177   #chash 11573   sum_csu 12434    || cdivides 12807   Basecbs 13424    GrpAct cga 15021   pGrp cpgp 15120
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  15211  sylow3lem6  15221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-eqg 14898  df-ga 15022  df-od 15122  df-pgp 15124
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