MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2a Unicode version

Theorem sylow2a 14930
Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If  G is a finite  P-group that acts on the finite set  Y, then the set  Z of all points of  Y fixed by every element of  G has cardinality equivalent to the cardinality of  Y, 
mod  P. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2a.m  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
sylow2a.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
sylow2a.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2a.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
sylow2a.z  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
sylow2a.r  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow2a  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  Y )  -  ( # `  Z
) ) )
Distinct variable groups:    .~ , h    g, h, u, x, y    g, G, x, y    .(+) , g, h, u, x, y    g, X, h, u, x, y    ph, h    g, Y, h, u, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u, g)    P( x, y, u, g, h)    .~ ( x, y, u, g)    G( u, h)    Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 sylow2a.m . . 3  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
3 sylow2a.p . . 3  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
4 sylow2a.f . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
5 sylow2a.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
6 sylow2a.z . . 3  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
7 sylow2a.r . . 3  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 14929 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
9 inass 3379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ) )
10 disjdif 3526 . . . . . . . 8  |-  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  (/)
1110ineq2i 3367 . . . . . . 7  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ) )  =  ( ( Y /.  .~  )  i^i  (/) )
12 in0 3480 . . . . . . 7  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  (/) )  =  (/)
139, 11, 123eqtri 2307 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  (/)
1413a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  =  (/) )
15 inundif 3532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  ( Y /.  .~  )
1615eqcomi 2287 . . . . . 6  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )
1716a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  =  ( (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ) )
18 pwfi 7151 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Fin  <->  ~P Y  e.  Fin )
195, 18sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P Y  e.  Fin )
207, 1gaorber 14762 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
212, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .~  Er  Y )
2221qsss 6720 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )
23 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( ~P Y  e.  Fin  /\  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
2419, 22, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
255adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  Y  e.  Fin )
2622sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P Y )
27 elpwi 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
z  C_  Y )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  C_  Y )
29 ssfi 7083 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  z  C_  Y )  -> 
z  e.  Fin )
3025, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
31 hashcl 11350 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3230, 31syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10020 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  CC )
3414, 17, 24, 33fsumsplit 12212 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( Y /.  .~  )
( # `  z )  =  ( sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ( # `  z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) ) )
3521, 5qshash 12285 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  =  sum_ z  e.  ( Y /.  .~  ) ( # `  z
) )
36 inss1 3389 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  C_  ( Y /.  .~  )
37 ssfi 7083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  /\  (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 
C_  ( Y /.  .~  ) )  ->  (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  e.  Fin )
3824, 36, 37sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin )
39 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
40 fsumconst 12252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 1  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
4138, 39, 40sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 1  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
42 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  <->  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  z  e.  ~P Z ) )
43 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( Y /.  .~  )
44 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  C_  Z ) )
45 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
4645elpw 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ~P Z  <->  z  C_  Z )
4744, 46syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  e.  ~P Z ) )
48 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  ~~  1o  <->  z  ~~  1o ) )
4947, 48imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o )  <->  ( z  e.  ~P Z  ->  z  ~~  1o ) ) )
5021adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .~  Er  Y )
51 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
5250, 51erref 6680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  .~  w )
53 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  w  e. 
_V
5453, 53elec 6699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  [ w ]  .~ 
<->  w  .~  w )
5552, 54sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
56 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  ( w  e.  [
w ]  .~  ->  w  e.  Z ) )
5755, 56syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  w  e.  Z ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 14928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  =  { w } )
5953ensn1 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { w }  ~~  1o
6058, 59syl6eqbr 4060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  ~~  1o )
6160ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6357, 62syld 40 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6443, 49, 63ectocld 6726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( z  e.  ~P Z  ->  z  ~~  1o ) )
6564impr 602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  z  e.  ~P Z ) )  -> 
z  ~~  1o )
6642, 65sylan2b 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  ~~  1o )
67 en1b 6929 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
~~  1o  <->  z  =  { U. z } )
6866, 67sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  =  { U. z } )
6968fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  { U. z } ) )
7045uniex 4516 . . . . . . . . 9  |-  U. z  e.  _V
71 hashsng 11356 . . . . . . . . 9  |-  ( U. z  e.  _V  ->  (
# `  { U. z } )  =  1 )
7270, 71ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { U. z } )  =  1
7369, 72syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  =  1 )
7473sumeq2dv 12176 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) ( # `  z
)  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) 1 )
75 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  u }  C_  Y
766, 75eqsstri 3208 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  C_  Y
77 ssfi 7083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  Z  C_  Y )  ->  Z  e.  Fin )
785, 76, 77sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  Fin )
79 hashcl 11350 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  Fin  ->  ( # `
 Z )  e. 
NN0 )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  e.  NN0 )
8180nn0cnd 10020 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  e.  CC )
8281mulid1d 8852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  x.  1 )  =  ( # `  Z
) )
83 elex 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  Fin  ->  Z  e.  _V )
8478, 83syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  _V )
85 inss2 3390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  C_  ~P Z
86 pwexg 4194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  Fin  ->  ~P Z  e.  _V )
8778, 86syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ~P Z  e.  _V )
88 ssexg 4160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  C_  ~P Z  /\  ~P Z  e.  _V )  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  e. 
_V )
8985, 87, 88sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  _V )
907relopabi 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Rel  .~
91 relssdmrn 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Rel 
.~  ->  .~  C_  ( dom 
.~  X.  ran  .~  )
)
9290, 91ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .~  C_  ( dom  .~  X.  ran  .~  )
93 erdm 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  .~  Er  Y  ->  dom  .~  =  Y )
9421, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  .~  =  Y )
9594, 5eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  .~  e.  Fin )
96 errn 6682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  .~  Er  Y  ->  ran  .~  =  Y )
9721, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ran  .~  =  Y )
9897, 5eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ran  .~  e.  Fin )
99 xpexg 4800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  .~  e.  Fin  /\ 
ran  .~  e.  Fin )  ->  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e. 
_V )
10095, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e.  _V )
101 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  .~  C_  ( dom  .~ 
X.  ran  .~  )  /\  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e.  _V )  ->  .~  e.  _V )
10292, 100, 101sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  .~  e.  _V )
104 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Z )
10576, 104sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Y )
106 ecelqsg 6714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  .~  e.  _V  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  e.  ( Y /.  .~  ) )
107103, 105, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  e.  ( Y /.  .~  ) )
10858, 107eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ( Y /.  .~  ) )
109 snelpwi 4220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Z  ->  { w }  e.  ~P Z
)
110109adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ~P Z
)
111 elin 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  <-> 
( { w }  e.  ( Y /.  .~  )  /\  { w }  e.  ~P Z ) )
112108, 110, 111sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )
113112ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
114 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )
11585, 114sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  e.  ~P Z )
116 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ~P Z  -> 
z  C_  Z )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  C_  Z )
11868, 117eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  { U. z }  C_  Z )
11970snss 3748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. z  e.  Z  <->  { U. z }  C_  Z )
120118, 119sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  U. z  e.  Z )
121120ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  ->  U. z  e.  Z
) )
122 sneq 3651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  U. z  ->  { w }  =  { U. z } )
123122eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  U. z  -> 
( z  =  {
w }  <->  z  =  { U. z } ) )
12468, 123syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  (
w  =  U. z  ->  z  =  { w } ) )
125124adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )  -> 
( w  =  U. z  ->  z  =  {
w } ) )
126 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  { w }  ->  U. z  =  U. { w } )
12753unisn 3843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. {
w }  =  w
128126, 127syl6req 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  { w }  ->  w  =  U. z
)
129125, 128impbid1 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )  -> 
( w  =  U. z 
<->  z  =  { w } ) )
130129ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  (
w  =  U. z  <->  z  =  { w }
) ) )
13184, 89, 113, 121, 130en3d 6898 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) )
132 hashen 11346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  Fin  /\  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  <->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
13378, 38, 132syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  <->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
134131, 133mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
135134oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  x.  1 )  =  ( ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  x.  1 ) )
13682, 135eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
13741, 74, 1363eqtr4rd 2326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ( # `  z
) )
138137oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )  =  (
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) ( # `  z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) ) )
13934, 35, 1383eqtr4rd 2326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )  =  (
# `  Y )
)
140 hashcl 11350 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Fin  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
1415, 140syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  e.  NN0 )
142141nn0cnd 10020 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  e.  CC )
143 diffi 7089 . . . . . 6  |-  ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  e.  Fin )
14424, 143syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
)  e.  Fin )
145 eldifi 3298 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  ->  z  e.  ( Y /.  .~  ) )
146145, 33sylan2 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e.  CC )
147144, 146fsumcl 12206 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
)  e.  CC )
148142, 81, 147subaddd 9175 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  Y )  -  ( # `
 Z ) )  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
)  <->  ( ( # `  Z )  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z ) )  =  ( # `  Y
) ) )
149139, 148mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Y
)  -  ( # `  Z ) )  = 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
) )
1508, 149breqtrrd 4049 1  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  Y )  -  ( # `  Z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   {copab 4076    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    Er wer 6657   [cec 6658   /.cqs 6659    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   NN0cn0 9965   #chash 11337   sum_csu 12158    || cdivides 12531   Basecbs 13148    GrpAct cga 14743   pGrp cpgp 14842
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  14933  sylow3lem6  14943
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ga 14744  df-od 14844  df-pgp 14846
  Copyright terms: Public domain W3C validator