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Theorem sylow2a 15140
Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If  G is a finite  P-group that acts on the finite set  Y, then the set  Z of all points of  Y fixed by every element of  G has cardinality equivalent to the cardinality of  Y, 
mod  P. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2a.m  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
sylow2a.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
sylow2a.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2a.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
sylow2a.z  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
sylow2a.r  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow2a  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  Y )  -  ( # `  Z
) ) )
Distinct variable groups:    .~ , h    g, h, u, x, y    g, G, x, y    .(+) , g, h, u, x, y    g, X, h, u, x, y    ph, h    g, Y, h, u, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u, g)    P( x, y, u, g, h)    .~ ( x, y, u, g)    G( u, h)    Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 sylow2a.m . . 3  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
3 sylow2a.p . . 3  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
4 sylow2a.f . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
5 sylow2a.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
6 sylow2a.z . . 3  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
7 sylow2a.r . . 3  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 15139 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
9 inass 3467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ) )
10 disjdif 3615 . . . . . . . 8  |-  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  (/)
1110ineq2i 3455 . . . . . . 7  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ) )  =  ( ( Y /.  .~  )  i^i  (/) )
12 in0 3568 . . . . . . 7  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  (/) )  =  (/)
139, 11, 123eqtri 2390 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  (/)
1413a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  =  (/) )
15 inundif 3621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  ( Y /.  .~  )
1615eqcomi 2370 . . . . . 6  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )
1716a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  =  ( (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ) )
18 pwfi 7298 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Fin  <->  ~P Y  e.  Fin )
195, 18sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P Y  e.  Fin )
207, 1gaorber 14972 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
212, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .~  Er  Y )
2221qsss 6862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )
23 ssfi 7226 . . . . . 6  |-  ( ( ~P Y  e.  Fin  /\  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
2419, 22, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
255adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  Y  e.  Fin )
2622sselda 3266 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P Y )
27 elpwi 3722 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
z  C_  Y )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  C_  Y )
29 ssfi 7226 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  z  C_  Y )  -> 
z  e.  Fin )
3025, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
31 hashcl 11526 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3230, 31syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10169 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  CC )
3414, 17, 24, 33fsumsplit 12420 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( Y /.  .~  )
( # `  z )  =  ( sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ( # `  z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) ) )
3521, 5qshash 12493 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  =  sum_ z  e.  ( Y /.  .~  ) ( # `  z
) )
36 inss1 3477 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  C_  ( Y /.  .~  )
37 ssfi 7226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  /\  (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 
C_  ( Y /.  .~  ) )  ->  (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  e.  Fin )
3824, 36, 37sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin )
39 ax-1cn 8942 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
40 fsumconst 12460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 1  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
4138, 39, 40sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 1  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
42 elin 3446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  <->  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  z  e.  ~P Z ) )
43 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( Y /.  .~  )
44 sseq1 3285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  C_  Z ) )
45 vex 2876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
4645elpw 3720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ~P Z  <->  z  C_  Z )
4744, 46syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  e.  ~P Z ) )
48 breq1 4128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  ~~  1o  <->  z  ~~  1o ) )
4947, 48imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o )  <->  ( z  e.  ~P Z  ->  z  ~~  1o ) ) )
5021adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .~  Er  Y )
51 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
5250, 51erref 6822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  .~  w )
53 vex 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  w  e. 
_V
5453, 53elec 6841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  [ w ]  .~ 
<->  w  .~  w )
5552, 54sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
56 ssel 3260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  ( w  e.  [
w ]  .~  ->  w  e.  Z ) )
5755, 56syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  w  e.  Z ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 15138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  =  { w } )
5953ensn1 7068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { w }  ~~  1o
6058, 59syl6eqbr 4162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  ~~  1o )
6160ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6357, 62syld 40 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6443, 49, 63ectocld 6868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( z  e.  ~P Z  ->  z  ~~  1o ) )
6564impr 602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  z  e.  ~P Z ) )  -> 
z  ~~  1o )
6642, 65sylan2b 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  ~~  1o )
67 en1b 7072 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
~~  1o  <->  z  =  { U. z } )
6866, 67sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  =  { U. z } )
6968fveq2d 5636 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  { U. z } ) )
7045uniex 4619 . . . . . . . . 9  |-  U. z  e.  _V
71 hashsng 11534 . . . . . . . . 9  |-  ( U. z  e.  _V  ->  (
# `  { U. z } )  =  1 )
7270, 71ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { U. z } )  =  1
7369, 72syl6eq 2414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  =  1 )
7473sumeq2dv 12384 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) ( # `  z
)  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) 1 )
75 ssrab2 3344 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  u }  C_  Y
766, 75eqsstri 3294 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  C_  Y
77 ssfi 7226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  Z  C_  Y )  ->  Z  e.  Fin )
785, 76, 77sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  Fin )
79 hashcl 11526 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  Fin  ->  ( # `
 Z )  e. 
NN0 )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  e.  NN0 )
8180nn0cnd 10169 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  e.  CC )
8281mulid1d 8999 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  x.  1 )  =  ( # `  Z
) )
83 elex 2881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  Fin  ->  Z  e.  _V )
8478, 83syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  _V )
85 inss2 3478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  C_  ~P Z
86 pwexg 4296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  Fin  ->  ~P Z  e.  _V )
8778, 86syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ~P Z  e.  _V )
88 ssexg 4262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  C_  ~P Z  /\  ~P Z  e.  _V )  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  e. 
_V )
8985, 87, 88sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  _V )
907relopabi 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Rel  .~
91 relssdmrn 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Rel 
.~  ->  .~  C_  ( dom 
.~  X.  ran  .~  )
)
9290, 91ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .~  C_  ( dom  .~  X.  ran  .~  )
93 erdm 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  .~  Er  Y  ->  dom  .~  =  Y )
9421, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  .~  =  Y )
9594, 5eqeltrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  .~  e.  Fin )
96 errn 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  .~  Er  Y  ->  ran  .~  =  Y )
9721, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ran  .~  =  Y )
9897, 5eqeltrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ran  .~  e.  Fin )
99 xpexg 4903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  .~  e.  Fin  /\ 
ran  .~  e.  Fin )  ->  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e. 
_V )
10095, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e.  _V )
101 ssexg 4262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  .~  C_  ( dom  .~ 
X.  ran  .~  )  /\  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e.  _V )  ->  .~  e.  _V )
10292, 100, 101sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  .~  e.  _V )
104 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Z )
10576, 104sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Y )
106 ecelqsg 6856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  .~  e.  _V  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  e.  ( Y /.  .~  ) )
107103, 105, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  e.  ( Y /.  .~  ) )
10858, 107eqeltrrd 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ( Y /.  .~  ) )
109 snelpwi 4322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Z  ->  { w }  e.  ~P Z
)
110109adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ~P Z
)
111 elin 3446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  <-> 
( { w }  e.  ( Y /.  .~  )  /\  { w }  e.  ~P Z ) )
112108, 110, 111sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )
113112ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
114 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )
11585, 114sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  e.  ~P Z )
116 elpwi 3722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ~P Z  -> 
z  C_  Z )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  C_  Z )
11868, 117eqsstr3d 3299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  { U. z }  C_  Z )
11970snss 3841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. z  e.  Z  <->  { U. z }  C_  Z )
120118, 119sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  U. z  e.  Z )
121120ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  ->  U. z  e.  Z
) )
122 sneq 3740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  U. z  ->  { w }  =  { U. z } )
123122eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  U. z  -> 
( z  =  {
w }  <->  z  =  { U. z } ) )
12468, 123syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  (
w  =  U. z  ->  z  =  { w } ) )
125124adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )  -> 
( w  =  U. z  ->  z  =  {
w } ) )
126 unieq 3938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  { w }  ->  U. z  =  U. { w } )
12753unisn 3945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. {
w }  =  w
128126, 127syl6req 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  { w }  ->  w  =  U. z
)
129125, 128impbid1 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )  -> 
( w  =  U. z 
<->  z  =  { w } ) )
130129ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  (
w  =  U. z  <->  z  =  { w }
) ) )
13184, 89, 113, 121, 130en3d 7041 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) )
132 hashen 11518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  Fin  /\  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  <->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
13378, 38, 132syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  <->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
134131, 133mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
135134oveq1d 5996 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  x.  1 )  =  ( ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  x.  1 ) )
13682, 135eqtr3d 2400 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
13741, 74, 1363eqtr4rd 2409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ( # `  z
) )
138137oveq1d 5996 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )  =  (
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) ( # `  z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) ) )
13934, 35, 1383eqtr4rd 2409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )  =  (
# `  Y )
)
140 hashcl 11526 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Fin  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
1415, 140syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  e.  NN0 )
142141nn0cnd 10169 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  e.  CC )
143 diffi 7236 . . . . . 6  |-  ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  e.  Fin )
14424, 143syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
)  e.  Fin )
145 eldifi 3385 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  ->  z  e.  ( Y /.  .~  ) )
146145, 33sylan2 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e.  CC )
147144, 146fsumcl 12414 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
)  e.  CC )
148142, 81, 147subaddd 9322 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  Y )  -  ( # `
 Z ) )  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
)  <->  ( ( # `  Z )  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z ) )  =  ( # `  Y
) ) )
149139, 148mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Y
)  -  ( # `  Z ) )  = 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
) )
1508, 149breqtrrd 4151 1  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  Y )  -  ( # `  Z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   {crab 2632   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    u. cun 3236    i^i cin 3237    C_ wss 3238   (/)c0 3543   ~Pcpw 3714   {csn 3729   {cpr 3730   U.cuni 3929   class class class wbr 4125   {copab 4178    X. cxp 4790   dom cdm 4792   ran crn 4793   Rel wrel 4797   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1oc1o 6614    Er wer 6799   [cec 6800   /.cqs 6801    ~~ cen 7003   Fincfn 7006   CCcc 8882   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889    - cmin 9184   NN0cn0 10114   #chash 11505   sum_csu 12366    || cdivides 12739   Basecbs 13356    GrpAct cga 14953   pGrp cpgp 15052
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  15143  sylow3lem6  15153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-disj 4096  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-ec 6804  df-qs 6808  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-prm 12967  df-pc 13098  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-eqg 14830  df-ga 14954  df-od 15054  df-pgp 15056
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