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Theorem sylow2a 15253
Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If  G is a finite  P-group that acts on the finite set  Y, then the set  Z of all points of  Y fixed by every element of  G has cardinality equivalent to the cardinality of  Y, 
mod  P. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2a.m  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
sylow2a.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
sylow2a.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2a.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
sylow2a.z  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
sylow2a.r  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow2a  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  Y )  -  ( # `  Z
) ) )
Distinct variable groups:    .~ , h    g, h, u, x, y    g, G, x, y    .(+) , g, h, u, x, y    g, X, h, u, x, y    ph, h    g, Y, h, u, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u, g)    P( x, y, u, g, h)    .~ ( x, y, u, g)    G( u, h)    Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 sylow2a.m . . 3  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
3 sylow2a.p . . 3  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
4 sylow2a.f . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
5 sylow2a.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
6 sylow2a.z . . 3  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
7 sylow2a.r . . 3  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 15252 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
9 inass 3551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ) )
10 disjdif 3700 . . . . . . . 8  |-  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  (/)
1110ineq2i 3539 . . . . . . 7  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ( ~P Z  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ) )  =  ( ( Y /.  .~  )  i^i  (/) )
12 in0 3653 . . . . . . 7  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  (/) )  =  (/)
139, 11, 123eqtri 2460 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  (/)
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  i^i  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  =  (/) )
15 inundif 3706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) )  =  ( Y /.  .~  )
1615eqcomi 2440 . . . . . 6  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  =  ( (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  u.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ) )
18 pwfi 7402 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Fin  <->  ~P Y  e.  Fin )
195, 18sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P Y  e.  Fin )
207, 1gaorber 15085 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
212, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .~  Er  Y )
2221qsss 6965 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )
23 ssfi 7329 . . . . . 6  |-  ( ( ~P Y  e.  Fin  /\  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
2419, 22, 23syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
255adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  Y  e.  Fin )
2622sselda 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P Y )
2726elpwid 3808 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  C_  Y )
28 ssfi 7329 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  z  C_  Y )  -> 
z  e.  Fin )
2925, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
30 hashcl 11639 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3129, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN0 )
3231nn0cnd 10276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  CC )
3314, 17, 24, 32fsumsplit 12533 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( Y /.  .~  )
( # `  z )  =  ( sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ( # `  z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) ) )
3421, 5qshash 12606 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  =  sum_ z  e.  ( Y /.  .~  ) ( # `  z
) )
35 inss1 3561 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  C_  ( Y /.  .~  )
36 ssfi 7329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  /\  (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 
C_  ( Y /.  .~  ) )  ->  (
( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  e.  Fin )
3724, 35, 36sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin )
38 ax-1cn 9048 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
39 fsumconst 12573 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 1  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) 1  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
41 elin 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  <->  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  z  e.  ~P Z ) )
42 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( Y /.  .~  )
43 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  C_  Z ) )
44 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
4544elpw 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ~P Z  <->  z  C_  Z )
4643, 45syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  e.  ~P Z ) )
47 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  ~~  1o  <->  z  ~~  1o ) )
4846, 47imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o )  <->  ( z  e.  ~P Z  ->  z  ~~  1o ) ) )
4921adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .~  Er  Y )
50 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
5149, 50erref 6925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  .~  w )
52 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  w  e. 
_V
5352, 52elec 6944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  [ w ]  .~ 
<->  w  .~  w )
5451, 53sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
55 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  ( w  e.  [
w ]  .~  ->  w  e.  Z ) )
5654, 55syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  w  e.  Z ) )
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 15251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  =  { w } )
5852ensn1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { w }  ~~  1o
5957, 58syl6eqbr 4249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  ~~  1o )
6059ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6256, 61syld 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  ->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
6342, 48, 62ectocld 6971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( z  e.  ~P Z  ->  z  ~~  1o ) )
6463impr 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  z  e.  ~P Z ) )  -> 
z  ~~  1o )
6541, 64sylan2b 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  ~~  1o )
66 en1b 7175 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
~~  1o  <->  z  =  { U. z } )
6765, 66sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  =  { U. z } )
6867fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  { U. z } ) )
6944uniex 4705 . . . . . . . . 9  |-  U. z  e.  _V
70 hashsng 11647 . . . . . . . . 9  |-  ( U. z  e.  _V  ->  (
# `  { U. z } )  =  1 )
7169, 70ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { U. z } )  =  1
7268, 71syl6eq 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  =  1 )
7372sumeq2dv 12497 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) ( # `  z
)  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) 1 )
74 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  u }  C_  Y
756, 74eqsstri 3378 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  C_  Y
76 ssfi 7329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  Z  C_  Y )  ->  Z  e.  Fin )
775, 75, 76sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  Fin )
78 hashcl 11639 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  Fin  ->  ( # `
 Z )  e. 
NN0 )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  e.  NN0 )
8079nn0cnd 10276 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  e.  CC )
8180mulid1d 9105 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  x.  1 )  =  ( # `  Z
) )
82 elex 2964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  Fin  ->  Z  e.  _V )
8377, 82syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  _V )
84 inss2 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  C_  ~P Z
85 pwexg 4383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  Fin  ->  ~P Z  e.  _V )
8677, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ~P Z  e.  _V )
87 ssexg 4349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  C_  ~P Z  /\  ~P Z  e.  _V )  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z )  e. 
_V )
8884, 86, 87sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  _V )
897relopabi 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Rel  .~
90 relssdmrn 5390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Rel 
.~  ->  .~  C_  ( dom 
.~  X.  ran  .~  )
)
9189, 90ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .~  C_  ( dom  .~  X.  ran  .~  )
92 erdm 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  .~  Er  Y  ->  dom  .~  =  Y )
9321, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  .~  =  Y )
9493, 5eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  .~  e.  Fin )
95 errn 6927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  .~  Er  Y  ->  ran  .~  =  Y )
9621, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ran  .~  =  Y )
9796, 5eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ran  .~  e.  Fin )
98 xpexg 4989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  .~  e.  Fin  /\ 
ran  .~  e.  Fin )  ->  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e. 
_V )
9994, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e.  _V )
100 ssexg 4349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  .~  C_  ( dom  .~ 
X.  ran  .~  )  /\  ( dom  .~  X.  ran  .~  )  e.  _V )  ->  .~  e.  _V )
10191, 99, 100sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
102101adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  .~  e.  _V )
103 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Z )
10475, 103sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Y )
105 ecelqsg 6959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  .~  e.  _V  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  e.  ( Y /.  .~  ) )
106102, 104, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  e.  ( Y /.  .~  ) )
10757, 106eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ( Y /.  .~  ) )
108 snelpwi 4409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Z  ->  { w }  e.  ~P Z
)
109108adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ~P Z
)
110 elin 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  <-> 
( { w }  e.  ( Y /.  .~  )  /\  { w }  e.  ~P Z ) )
111107, 109, 110sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )
112111ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  { w }  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
113 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )
11484, 113sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  e.  ~P Z )
115114elpwid 3808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  z  C_  Z )
11667, 115eqsstr3d 3383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  { U. z }  C_  Z )
11769snss 3926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. z  e.  Z  <->  { U. z }  C_  Z )
118116, 117sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  U. z  e.  Z )
119118ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z )  ->  U. z  e.  Z
) )
120 sneq 3825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  U. z  ->  { w }  =  { U. z } )
121120eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  U. z  -> 
( z  =  {
w }  <->  z  =  { U. z } ) )
12267, 121syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  (
w  =  U. z  ->  z  =  { w } ) )
123122adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )  -> 
( w  =  U. z  ->  z  =  {
w } ) )
124 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  { w }  ->  U. z  =  U. { w } )
12552unisn 4031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. {
w }  =  w
126124, 125syl6req 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  { w }  ->  w  =  U. z
)
127123, 126impbid1 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )  -> 
( w  =  U. z 
<->  z  =  { w } ) )
128127ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Z  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  ->  (
w  =  U. z  <->  z  =  { w }
) ) )
12983, 88, 112, 119, 128en3d 7144 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) )
130 hashen 11631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  Fin  /\  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  <->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
13177, 37, 130syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  <->  Z  ~~  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
132129, 131mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ) )
133132oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  x.  1 )  =  ( ( # `  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) )  x.  1 ) )
13481, 133eqtr3d 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  ( (
# `  ( ( Y /.  .~  )  i^i 
~P Z ) )  x.  1 ) )
13540, 73, 1343eqtr4rd 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  Z
)  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z
) ( # `  z
) )
136135oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )  =  (
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  i^i  ~P Z ) ( # `  z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) ) )
13733, 34, 1363eqtr4rd 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Z
)  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )  =  (
# `  Y )
)
138 hashcl 11639 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Fin  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
1395, 138syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  e.  NN0 )
140139nn0cnd 10276 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  Y
)  e.  CC )
141 diffi 7339 . . . . . 6  |-  ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  e.  Fin )
14224, 141syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
)  e.  Fin )
143 eldifi 3469 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  ->  z  e.  ( Y /.  .~  ) )
144143, 32sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e.  CC )
145142, 144fsumcl 12527 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
)  e.  CC )
146140, 80, 145subaddd 9429 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  Y )  -  ( # `
 Z ) )  =  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
)  <->  ( ( # `  Z )  +  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z ) )  =  ( # `  Y
) ) )
147137, 146mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  Y
)  -  ( # `  Z ) )  = 
sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z ) ( # `  z
) )
1488, 147breqtrrd 4238 1  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  Y )  -  ( # `  Z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   {cpr 3815   U.cuni 4015   class class class wbr 4212   {copab 4265    X. cxp 4876   dom cdm 4878   ran crn 4879   Rel wrel 4883   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1oc1o 6717    Er wer 6902   [cec 6903   /.cqs 6904    ~~ cen 7106   Fincfn 7109   CCcc 8988   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    - cmin 9291   NN0cn0 10221   #chash 11618   sum_csu 12479    || cdivides 12852   Basecbs 13469    GrpAct cga 15066   pGrp cpgp 15165
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  15256  sylow3lem6  15266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-eqg 14943  df-ga 15067  df-od 15167  df-pgp 15169
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