Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2a Structured version   Unicode version

Theorem sylow2a 15253
 Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If is a finite -group that acts on the finite set , then the set of all points of fixed by every element of has cardinality equivalent to the cardinality of , . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x
sylow2a.m
sylow2a.p pGrp
sylow2a.f
sylow2a.y
sylow2a.z
sylow2a.r
Assertion
Ref Expression
sylow2a
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,)   (,,,,)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3
2 sylow2a.m . . 3
3 sylow2a.p . . 3 pGrp
4 sylow2a.f . . 3
5 sylow2a.y . . 3
6 sylow2a.z . . 3
7 sylow2a.r . . 3
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 15252 . 2
9 inass 3551 . . . . . . 7
10 disjdif 3700 . . . . . . . 8
1110ineq2i 3539 . . . . . . 7
12 in0 3653 . . . . . . 7
139, 11, 123eqtri 2460 . . . . . 6
1413a1i 11 . . . . 5
15 inundif 3706 . . . . . . 7
1615eqcomi 2440 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
18 pwfi 7402 . . . . . . 7
195, 18sylib 189 . . . . . 6
207, 1gaorber 15085 . . . . . . . 8
212, 20syl 16 . . . . . . 7
2221qsss 6965 . . . . . 6
23 ssfi 7329 . . . . . 6
2419, 22, 23syl2anc 643 . . . . 5
255adantr 452 . . . . . . . 8
2622sselda 3348 . . . . . . . . 9
2726elpwid 3808 . . . . . . . 8
28 ssfi 7329 . . . . . . . 8
2925, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . 7
30 hashcl 11639 . . . . . . 7
3129, 30syl 16 . . . . . 6
3231nn0cnd 10276 . . . . 5
3314, 17, 24, 32fsumsplit 12533 . . . 4
3421, 5qshash 12606 . . . 4
35 inss1 3561 . . . . . . . 8
36 ssfi 7329 . . . . . . . 8
3724, 35, 36sylancl 644 . . . . . . 7
38 ax-1cn 9048 . . . . . . 7
39 fsumconst 12573 . . . . . . 7
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . 6
41 elin 3530 . . . . . . . . . . 11
42 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
43 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . 15
44 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544elpw 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15
4643, 45syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . 14
47 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . 14
4846, 47imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13
4921adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5149, 50erref 6925 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352, 52elec 6944 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5451, 53sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . . . 15
5654, 55syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . 14
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 15251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5852ensn1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5957, 58syl6eqbr 4249 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6256, 61syld 42 . . . . . . . . . . . . 13
6342, 48, 62ectocld 6971 . . . . . . . . . . . 12
6463impr 603 . . . . . . . . . . 11
6541, 64sylan2b 462 . . . . . . . . . 10
66 en1b 7175 . . . . . . . . . 10
6765, 66sylib 189 . . . . . . . . 9
6867fveq2d 5732 . . . . . . . 8
6944uniex 4705 . . . . . . . . 9
70 hashsng 11647 . . . . . . . . 9
7169, 70ax-mp 8 . . . . . . . 8
7268, 71syl6eq 2484 . . . . . . 7
7372sumeq2dv 12497 . . . . . 6
74 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . 12
756, 74eqsstri 3378 . . . . . . . . . . 11
76 ssfi 7329 . . . . . . . . . . 11
775, 75, 76sylancl 644 . . . . . . . . . 10
78 hashcl 11639 . . . . . . . . . 10
7977, 78syl 16 . . . . . . . . 9
8079nn0cnd 10276 . . . . . . . 8
8180mulid1d 9105 . . . . . . 7
82 elex 2964 . . . . . . . . . . 11
8377, 82syl 16 . . . . . . . . . 10
84 inss2 3562 . . . . . . . . . . 11
85 pwexg 4383 . . . . . . . . . . . 12
8677, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11
87 ssexg 4349 . . . . . . . . . . 11
8884, 86, 87sylancr 645 . . . . . . . . . 10
897relopabi 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 relssdmrn 5390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9189, 90ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 erdm 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9321, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9493, 5eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 errn 6927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9621, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9796, 5eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
98 xpexg 4989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9994, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 ssexg 4349 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10191, 99, 100sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
103 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
10475, 103sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . 14
105 ecelqsg 6959 . . . . . . . . . . . . . 14
106102, 104, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
10757, 106eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12
108 snelpwi 4409 . . . . . . . . . . . . 13
109108adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
110 elin 3530 . . . . . . . . . . . 12
111107, 109, 110sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11
112111ex 424 . . . . . . . . . 10
113 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
11484, 113sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . 14
115114elpwid 3808 . . . . . . . . . . . . 13
11667, 115eqsstr3d 3383 . . . . . . . . . . . 12
11769snss 3926 . . . . . . . . . . . 12
118116, 117sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
119118ex 424 . . . . . . . . . 10
120 sneq 3825 . . . . . . . . . . . . . . 15
121120eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . 14
12267, 121syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13
123122adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12
124 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . 13
12552unisn 4031 . . . . . . . . . . . . 13
126124, 125syl6req 2485 . . . . . . . . . . . 12
127123, 126impbid1 195 . . . . . . . . . . 11
128127ex 424 . . . . . . . . . 10
12983, 88, 112, 119, 128en3d 7144 . . . . . . . . 9
130 hashen 11631 . . . . . . . . . 10
13177, 37, 130syl2anc 643 . . . . . . . . 9
132129, 131mpbird 224 . . . . . . . 8
133132oveq1d 6096 . . . . . . 7
13481, 133eqtr3d 2470 . . . . . 6
13540, 73, 1343eqtr4rd 2479 . . . . 5
136135oveq1d 6096 . . . 4
13733, 34, 1363eqtr4rd 2479 . . 3
138 hashcl 11639 . . . . . 6
1395, 138syl 16 . . . . 5
140139nn0cnd 10276 . . . 4
141 diffi 7339 . . . . . 6
14224, 141syl 16 . . . . 5
143 eldifi 3469 . . . . . 6
144143, 32sylan2 461 . . . . 5
145142, 144fsumcl 12527 . . . 4
146140, 80, 145subaddd 9429 . . 3
147137, 146mpbird 224 . 2
1488, 147breqtrrd 4238 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  csn 3814  cpr 3815  cuni 4015   class class class wbr 4212  copab 4265   cxp 4876   cdm 4878   crn 4879   wrel 4883  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1o 6717   wer 6902  cec 6903  cqs 6904   cen 7106  cfn 7109  cc 8988  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   cmin 9291  cn0 10221  chash 11618  csu 12479   cdivides 12852  cbs 13469   cga 15066   pGrp cpgp 15165 This theorem is referenced by:  sylow2blem3  15256  sylow3lem6  15266 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-eqg 14943  df-ga 15067  df-od 15167  df-pgp 15169
 Copyright terms: Public domain W3C validator