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Theorem sylow2alem2 14945
 Description: Lemma for sylow2a 14946. All the orbits which are not for fixed points have size (where is the stabilizer subgroup) and thus are powers of . And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide , and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x
sylow2a.m
sylow2a.p pGrp
sylow2a.f
sylow2a.y
sylow2a.z
sylow2a.r
Assertion
Ref Expression
sylow2alem2
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,)   ()   (,,,)   (,,)   ()   (,,,,)

Proof of Theorem sylow2alem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.y . . . . 5
2 pwfi 7167 . . . . 5
31, 2sylib 188 . . . 4
4 sylow2a.m . . . . . 6
5 sylow2a.r . . . . . . 7
6 sylow2a.x . . . . . . 7
75, 6gaorber 14778 . . . . . 6
84, 7syl 15 . . . . 5
98qsss 6736 . . . 4
10 ssfi 7099 . . . 4
113, 9, 10syl2anc 642 . . 3
12 diffi 7105 . . 3
1311, 12syl 15 . 2
14 sylow2a.p . . . . 5 pGrp
15 gagrp 14762 . . . . . . 7
164, 15syl 15 . . . . . 6
17 sylow2a.f . . . . . 6
186pgpfi 14932 . . . . . 6 pGrp
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5 pGrp
2014, 19mpbid 201 . . . 4
2120simpld 445 . . 3
22 prmz 12778 . . 3
2321, 22syl 15 . 2
24 eldifi 3311 . . . . 5
251adantr 451 . . . . . 6
269sselda 3193 . . . . . . 7
27 elpwi 3646 . . . . . . 7
2826, 27syl 15 . . . . . 6
29 ssfi 7099 . . . . . 6
3025, 28, 29syl2anc 642 . . . . 5
3124, 30sylan2 460 . . . 4
32 hashcl 11366 . . . 4
3331, 32syl 15 . . 3
3433nn0zd 10131 . 2
35 eldif 3175 . . 3
36 eqid 2296 . . . . 5
37 sseq1 3212 . . . . . . . 8
38 vex 2804 . . . . . . . . 9
3938elpw 3644 . . . . . . . 8
4037, 39syl6bbr 254 . . . . . . 7
4140notbid 285 . . . . . 6
42 fveq2 5541 . . . . . . 7
4342breq2d 4051 . . . . . 6
4441, 43imbi12d 311 . . . . 5
4521adantr 451 . . . . . . . . . 10
468adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
47 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
4846, 47erref 6696 . . . . . . . . . . . . 13
49 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14
5049, 49elec 6715 . . . . . . . . . . . . 13
5148, 50sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12
52 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . 12
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . 11
548ecss 6717 . . . . . . . . . . . . . 14
55 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . 14
561, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
5756adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
58 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . 11
6053, 59mpbird 223 . . . . . . . . . 10
61 pceq0 12939 . . . . . . . . . 10
6245, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . . . 9
63 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10
64 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6556, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
68 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6917, 67, 68sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
70 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7271nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7466, 72, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
764adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7717adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
78 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ~QG ~QG
806, 78, 79, 5orbsta2 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8176, 47, 77, 80syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8275, 81breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8320simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8685biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8786reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8882, 84, 87sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16
89 pcprmpw2 12950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9045, 60, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9188, 90mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14
9323adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9493zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594exp0d 11255 . . . . . . . . . . . . . . 15
96 hash1 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15
9795, 96syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . 14
9892, 97eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13
99 df1o2 6507 . . . . . . . . . . . . . . 15
100 snfi 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15
10199, 100eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . 14
102 hashen 11362 . . . . . . . . . . . . . 14
10357, 101, 102sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13
10498, 103bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12
105 en1b 6945 . . . . . . . . . . . 12
106104, 105syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11
10747adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1084ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1096gaf 14765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110108, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113110, 111, 107, 112syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
116115eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117116rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118111, 114, 117sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1195gaorb 14777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120107, 113, 118, 119syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121, 49elec 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123120, 122sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125123, 124eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15
126121elsnc 3676 . . . . . . . . . . . . . . 15
127125, 126sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14
12851adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129128, 124eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15
13049elsnc 3676 . . . . . . . . . . . . . . 15
131129, 130sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14
132127, 131eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13
133132expr 598 . . . . . . . . . . . 12
134133ralrimdva 2646 . . . . . . . . . . 11
135106, 134sylbid 206 . . . . . . . . . 10
13663, 135syl5 28 . . . . . . . . 9
13762, 136sylbird 226 . . . . . . . 8
138 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13
139 id 19 . . . . . . . . . . . . 13
140138, 139eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12
141140ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11
142 sylow2a.z . . . . . . . . . . 11
143141, 142elrab2 2938 . . . . . . . . . 10
144143baib 871 . . . . . . . . 9
145144adantl 452 . . . . . . . 8
146137, 145sylibrd 225 . . . . . . 7
1476, 4, 14, 17, 1, 142, 5sylow2alem1 14944 . . . . . . . . . 10
148 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
149148snssd 3776 . . . . . . . . . 10
150147, 149eqsstrd 3225 . . . . . . . . 9
151150ex 423 . . . . . . . 8
152151adantr 451 . . . . . . 7
153146, 152syld 40 . . . . . 6
154153con1d 116 . . . . 5
15536, 44, 154ectocld 6742 . . . 4
156155impr 602 . . 3
15735, 156sylan2b 461 . 2
15813, 23, 34, 157fsumdvds 12588 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   cdif 3162   wss 3165  c0 3468  cpw 3638  csn 3653  cpr 3654  cuni 3843   class class class wbr 4039  copab 4092   cxp 4703  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  c1o 6488   wer 6673  cec 6674  cqs 6675   cen 6876  cfn 6879  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cexp 11120  chash 11353  csu 12174   cdivides 12547  cprime 12774   cpc 12905  cbs 13164  cgrp 14378   ~QG cqg 14633   cga 14759   pGrp cpgp 14858 This theorem is referenced by:  sylow2a  14946 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-ga 14760  df-od 14860  df-pgp 14862
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