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Theorem sylow2alem2 14945
Description: Lemma for sylow2a 14946. All the orbits which are not for fixed points have size  |  G  |  /  |  G x  | (where  G x is the stabilizer subgroup) and thus are powers of  P. And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide  P, and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2a.m  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
sylow2a.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
sylow2a.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2a.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
sylow2a.z  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
sylow2a.r  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow2alem2  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
Distinct variable groups:    z, h,  .~    g, h, u, x, y    g, G, x, y    z, P    .(+) , g, h, u, x, y    g, X, h, u, x, y   
z, Z    ph, h, z   
z, g, Y, h, u, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u, g)    P( x, y, u, g, h)    .(+) (
z)    .~ ( x, y, u, g)    G( z, u, h)    X( z)    Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2alem2
Dummy variables  k  n  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
2 pwfi 7167 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Fin  <->  ~P Y  e.  Fin )
31, 2sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P Y  e.  Fin )
4 sylow2a.m . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
5 sylow2a.r . . . . . . 7  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
6 sylow2a.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
75, 6gaorber 14778 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
84, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .~  Er  Y )
98qsss 6736 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )
10 ssfi 7099 . . . 4  |-  ( ( ~P Y  e.  Fin  /\  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
113, 9, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
12 diffi 7105 . . 3  |-  ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  e.  Fin )
1311, 12syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
)  e.  Fin )
14 sylow2a.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
15 gagrp 14762 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
164, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
17 sylow2a.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
186pgpfi 14932 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
2014, 19mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) )
2120simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
22 prmz 12778 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2321, 22syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
24 eldifi 3311 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  ->  z  e.  ( Y /.  .~  ) )
251adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  Y  e.  Fin )
269sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P Y )
27 elpwi 3646 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~P Y  -> 
z  C_  Y )
2826, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  C_  Y )
29 ssfi 7099 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  z  C_  Y )  -> 
z  e.  Fin )
3025, 28, 29syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
3124, 30sylan2 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  z  e.  Fin )
32 hashcl 11366 . . . 4  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3331, 32syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3433nn0zd 10131 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e.  ZZ )
35 eldif 3175 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  <->  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  -.  z  e. 
~P Z ) )
36 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( Y /.  .~  )
37 sseq1 3212 . . . . . . . 8  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  C_  Z ) )
38 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
3938elpw 3644 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~P Z  <->  z  C_  Z )
4037, 39syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  e.  ~P Z ) )
4140notbid 285 . . . . . 6  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( -.  [
w ]  .~  C_  Z  <->  -.  z  e.  ~P Z
) )
42 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( # `  z
) )
4342breq2d 4051 . . . . . 6  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  <->  P  ||  ( # `
 z ) ) )
4441, 43imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( ( -. 
[ w ]  .~  C_  Z  ->  P  ||  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  <->  ( -.  z  e.  ~P Z  ->  P  ||  ( # `  z ) ) ) )
4521adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  Prime )
468adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .~  Er  Y )
47 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
4846, 47erref 6696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  .~  w )
49 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
5049, 49elec 6715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  [ w ]  .~ 
<->  w  .~  w )
5148, 50sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
52 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  [ w ]  .~  ->  [ w ]  .~  =/=  (/) )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  =/=  (/) )
548ecss 6717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  [ w ]  .~  C_  Y )
55 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  [ w ]  .~  C_  Y
)  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
561, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
58 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ w ]  .~  e.  Fin  ->  ( ( # `  [ w ]  .~  )  e.  NN  <->  [ w ]  .~  =/=  (/) ) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  e.  NN  <->  [ w ]  .~  =/=  (/) ) )
6053, 59mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )
61 pceq0 12939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )  ->  ( ( P 
pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  0  <->  -.  P  ||  ( # `  [
w ]  .~  )
) )
6245, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  =  0  <->  -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  ) ) )
63 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  0  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 ) )
64 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [ w ]  .~  e.  Fin  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  NN0 )
6556, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  NN0 )
6665nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  ZZ )
67 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  C_  X
68 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  { v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }  C_  X )  ->  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin )
6917, 67, 68sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin )
70 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  NN0 )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  NN0 )
7271nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  ZZ )
73 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  [
w ]  .~  )  e.  ZZ  /\  ( # `  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }
)  e.  ZZ )  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
7466, 72, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  ||  ( (
# `  [ w ]  .~  )  x.  ( # `
 { v  e.  X  |  ( v 
.(+)  w )  =  w } ) ) )
764adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
7717adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  X  e.  Fin )
78 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  =  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }
79 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G ~QG  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  =  ( G ~QG  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w } )
806, 78, 79, 5orbsta2 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  w  e.  Y )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `  X
)  =  ( (
# `  [ w ]  .~  )  x.  ( # `
 { v  e.  X  |  ( v 
.(+)  w )  =  w } ) ) )
8176, 47, 77, 80syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 X )  =  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
8275, 81breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  ||  ( # `  X ) )
8320simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) )
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )
85 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  X )  =  ( P ^
n )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
) ) )
8685biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  -> 
( ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  -> 
( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n ) ) )
8786reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n ) ) )
8882, 84, 87sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
) )
89 pcprmpw2 12950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
)  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) ) ) )
9045, 60, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n )  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) ) ) )
9188, 90mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  [ w ]  .~  ) ) ) )
9291eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  [ w ]  .~  ) ) )  =  ( # `  [
w ]  .~  )
)
9323adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  ZZ )
9493zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  CC )
9594exp0d 11255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ 0 )  =  1 )
96 hash1 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  1o )  =  1
9795, 96syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ 0 )  =  ( # `  1o ) )
9892, 97eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <-> 
( # `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )
) )
99 df1o2 6507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  =  { (/) }
100 snfi 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { (/) }  e.  Fin
10199, 100eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  Fin
102 hashen 11362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( [ w ]  .~  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( (
# `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
10357, 101, 102sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
10498, 103bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
105 en1b 6945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ w ]  .~  ~~  1o 
<->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } )
106104, 105syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )
10747adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  Y )
1084ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
1096gaf 14765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
110108, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
111 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  h  e.  X )
112 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 
.(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  h  e.  X  /\  w  e.  Y )  ->  ( h  .(+)  w )  e.  Y )
113110, 111, 107, 112syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  Y )
114 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h 
.(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )
115 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  h  ->  (
k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )
116115eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  h  ->  (
( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )  <->  ( h  .(+)  w )  =  ( h 
.(+)  w ) ) )
117116rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h  e.  X  /\  ( h  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )
)
118111, 114, 117sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )
1195gaorb 14777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  .~  ( h  .(+)  w )  <->  ( w  e.  Y  /\  ( h 
.(+)  w )  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) ) )
120107, 113, 118, 119syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  .~  ( h  .(+)  w ) )
121 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h 
.(+)  w )  e.  _V
122121, 49elec 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h  .(+)  w )  e.  [ w ]  .~  <->  w  .~  ( h  .(+)  w ) )
123120, 122sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  [ w ]  .~  )
124 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } )
125123, 124eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  { U. [
w ]  .~  }
)
126121elsnc 3676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h  .(+)  w )  e.  { U. [ w ]  .~  }  <->  ( h  .(+) 
w )  =  U. [ w ]  .~  )
127125, 126sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  =  U. [ w ]  .~  )
12851adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
129128, 124eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  { U. [
w ]  .~  }
)
13049elsnc 3676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { U. [
w ]  .~  }  <->  w  =  U. [ w ]  .~  )
131129, 130sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  =  U. [ w ]  .~  )
132127, 131eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  =  w )
133132expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  h  e.  X )  ->  ( [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  }  ->  (
h  .(+)  w )  =  w ) )
134133ralrimdva 2646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  }  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
135106, 134sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
13663, 135syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  =  0  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
13762, 136sylbird 226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
138 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  (
h  .(+)  u )  =  ( h  .(+)  w ) )
139 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  u  =  w )
140138, 139eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  w  ->  (
( h  .(+)  u )  =  u  <->  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
141140ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  ( A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
142 sylow2a.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
143141, 142elrab2 2938 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  Z  <->  ( w  e.  Y  /\  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
144143baib 871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  Y  ->  (
w  e.  Z  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
145144adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
146137, 145sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  w  e.  Z
) )
1476, 4, 14, 17, 1, 142, 5sylow2alem1 14944 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  =  { w } )
148 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Z )
149148snssd 3776 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  C_  Z )
150147, 149eqsstrd 3225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  C_  Z )
151150ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
152151adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
153146, 152syld 40 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
154153con1d 116 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  [ w ]  .~  C_  Z  ->  P  ||  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) )
15536, 44, 154ectocld 6742 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( -.  z  e.  ~P Z  ->  P  ||  ( # `  z ) ) )
156155impr 602 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  -.  z  e. 
~P Z ) )  ->  P  ||  ( # `
 z ) )
15735, 156sylan2b 461 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  P  ||  ( # `  z
) )
15813, 23, 34, 157fsumdvds 12588 1  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   {copab 4092    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488    Er wer 6673   [cec 6674   /.cqs 6675    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120   #chash 11353   sum_csu 12174    || cdivides 12547   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905   Basecbs 13164   Grpcgrp 14378   ~QG cqg 14633    GrpAct cga 14759   pGrp cpgp 14858
This theorem is referenced by:  sylow2a  14946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-ga 14760  df-od 14860  df-pgp 14862
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