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Theorem sylow2blem1 15181
Description: Lemma for sylow2b 15184. Evaluate the group action on a left coset. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2b.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2b.h  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow2b.r  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
sylow2b.m  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
sylow2blem1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( B  .x.  [ C ]  .~  )  =  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, K, y, z    x,  .x. , y,
z    x,  .+ , y, z   
x,  .~ , y, z    ph, z    x, B, y, z    x, C, y, z    x, H, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem sylow2blem1
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  B  e.  H )
2 sylow2b.r . . . . 5  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
3 ovex 6045 . . . . 5  |-  ( G ~QG  K )  e.  _V
42, 3eqeltri 2457 . . . 4  |-  .~  e.  _V
5 simp3 959 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  C  e.  X )
6 ecelqsg 6895 . . . 4  |-  ( (  .~  e.  _V  /\  C  e.  X )  ->  [ C ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
74, 5, 6sylancr 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ C ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
8 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  B  /\  y  =  [ C ]  .~  )  ->  y  =  [ C ]  .~  )
9 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  B  /\  y  =  [ C ]  .~  )  ->  x  =  B )
109oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  B  /\  y  =  [ C ]  .~  )  ->  (
x  .+  z )  =  ( B  .+  z ) )
118, 10mpteq12dv 4228 . . . . 5  |-  ( ( x  =  B  /\  y  =  [ C ]  .~  )  ->  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) )
1211rneqd 5037 . . . 4  |-  ( ( x  =  B  /\  y  =  [ C ]  .~  )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) ) )
13 sylow2b.m . . . 4  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
14 ecexg 6845 . . . . . . 7  |-  (  .~  e.  _V  ->  [ C ]  .~  e.  _V )
154, 14ax-mp 8 . . . . . 6  |-  [ C ]  .~  e.  _V
1615mptex 5905 . . . . 5  |-  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  e. 
_V
1716rnex 5073 . . . 4  |-  ran  (
z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  e. 
_V
1812, 13, 17ovmpt2a 6143 . . 3  |-  ( ( B  e.  H  /\  [ C ]  .~  e.  ( X /.  .~  )
)  ->  ( B  .x.  [ C ]  .~  )  =  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) )
191, 7, 18syl2anc 643 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( B  .x.  [ C ]  .~  )  =  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) )
20 sylow2b.xf . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
21 sylow2b.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
22 sylow2b.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
2322, 2eqger 14917 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
2421, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .~  Er  X )
2524ecss 6882 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  C_  X )
26 ssfi 7265 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  [ ( B  .+  C
) ]  .~  C_  X
)  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  Fin )
2720, 25, 26syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  Fin )
28273ad2ant1 978 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  Fin )
29 vex 2902 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
30 elecg 6879 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  C  e.  X )  ->  ( z  e.  [ C ]  .~  <->  C  .~  z ) )
3129, 5, 30sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  [ C ]  .~  <->  C  .~  z ) )
3231biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  z  e.  [ C ]  .~  )  ->  C  .~  z
)
33 sylow2b.h . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
34 subgrcl 14876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
36353ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
3722subgss 14872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
3833, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H  C_  X )
39383ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  H  C_  X
)
4039, 1sseldd 3292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  B  e.  X )
41 sylow2b.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4222, 41grpcl 14745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B  .+  C
)  e.  X )
4336, 40, 5, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( B  .+  C )  e.  X
)
4443adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  ( B  .+  C )  e.  X )
4536adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  G  e.  Grp )
4640adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  B  e.  X )
4722subgss 14872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
4821, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
49 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
5022, 49, 41, 2eqgval 14916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  K  C_  X )  -> 
( C  .~  z  <->  ( C  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 C )  .+  z )  e.  K
) ) )
5135, 48, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  .~  z  <->  ( C  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 C )  .+  z )  e.  K
) ) )
52513ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( C  .~  z  <->  ( C  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  C
)  .+  z )  e.  K ) ) )
5352biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  ( C  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 C )  .+  z )  e.  K
) )
5453simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  z  e.  X )
5522, 41grpcl 14745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( B  .+  z
)  e.  X )
5645, 46, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  ( B  .+  z )  e.  X )
5722, 49grpinvcl 14777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( B  .+  C )  e.  X )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) )  e.  X )
5836, 43, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  e.  X )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) )  e.  X )
6022, 41grpass 14746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  e.  X  /\  B  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  ( B  .+  C ) )  .+  B )  .+  z
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) ) )
6145, 59, 46, 54, 60syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  .+  B )  .+  z
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) ) )
6222, 41, 49grpinvadd 14794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  C )  .+  ( ( inv g `  G ) `  B
) ) )
6336, 40, 5, 62syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 C )  .+  ( ( inv g `  G ) `  B
) ) )
6422, 49grpinvcl 14777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  C
)  e.  X )
6536, 5, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 C )  e.  X )
66 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
6722, 41, 49, 66grpsubval 14775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  C
)  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 C ) (
-g `  G ) B )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  C
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) )
6865, 40, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  C
) ( -g `  G
) B )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 C )  .+  ( ( inv g `  G ) `  B
) ) )
6963, 68eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 C ) (
-g `  G ) B ) )
7069oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  B )  =  ( ( ( ( inv g `  G
) `  C )
( -g `  G ) B )  .+  B
) )
7122, 41, 66grpnpcan 14807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  C
)  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( ( inv g `  G
) `  C )
( -g `  G ) B )  .+  B
)  =  ( ( inv g `  G
) `  C )
)
7236, 65, 40, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  C
) ( -g `  G
) B )  .+  B )  =  ( ( inv g `  G ) `  C
) )
7370, 72eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  B )  =  ( ( inv g `  G ) `  C
) )
7473oveq1d 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  B )  .+  z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  C
)  .+  z )
)
7574adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  .+  B )  .+  z
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  C
)  .+  z )
)
7661, 75eqtr3d 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 C )  .+  z ) )
7753simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  C
)  .+  z )  e.  K )
7876, 77eqeltrd 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) )  e.  K )
7922, 49, 41, 2eqgval 14916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  K  C_  X )  -> 
( ( B  .+  C )  .~  ( B  .+  z )  <->  ( ( B  .+  C )  e.  X  /\  ( B 
.+  z )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) )  e.  K ) ) )
8035, 48, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  .+  C )  .~  ( B  .+  z )  <->  ( ( B  .+  C )  e.  X  /\  ( B 
.+  z )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) )  e.  K ) ) )
81803ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( B  .+  C )  .~  ( B  .+  z )  <-> 
( ( B  .+  C )  e.  X  /\  ( B  .+  z
)  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  .+  ( B  .+  z ) )  e.  K ) ) )
8281adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( B  .+  C
)  .~  ( B  .+  z )  <->  ( ( B  .+  C )  e.  X  /\  ( B 
.+  z )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) )  e.  K ) ) )
8344, 56, 78, 82mpbir3and 1137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  ( B  .+  C )  .~  ( B  .+  z ) )
84 ovex 6045 . . . . . . . 8  |-  ( B 
.+  z )  e. 
_V
85 ovex 6045 . . . . . . . 8  |-  ( B 
.+  C )  e. 
_V
8684, 85elec 6880 . . . . . . 7  |-  ( ( B  .+  z )  e.  [ ( B 
.+  C ) ]  .~  <->  ( B  .+  C )  .~  ( B  .+  z ) )
8783, 86sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  ( B  .+  z )  e. 
[ ( B  .+  C ) ]  .~  )
8832, 87syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  z  e.  [ C ]  .~  )  ->  ( B  .+  z )  e.  [
( B  .+  C
) ]  .~  )
89 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  =  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) )
9088, 89fmptd 5832 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  --> [ ( B 
.+  C ) ]  .~  )
91 frn 5537 . . . 4  |-  ( ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  --> [ ( B  .+  C ) ]  .~  ->  ran  ( z  e. 
[ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  C_  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )
9290, 91syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  C_  [ ( B  .+  C
) ]  .~  )
93 eqid 2387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  X  |->  ( B 
.+  z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z ) )
9422, 41, 93grplmulf1o 14792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z
) ) : X -1-1-onto-> X
)
9536, 40, 94syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  X  |->  ( B 
.+  z ) ) : X -1-1-onto-> X )
96 f1of1 5613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z ) ) : X -1-1-onto-> X  -> 
( z  e.  X  |->  ( B  .+  z
) ) : X -1-1-> X )
9795, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  X  |->  ( B 
.+  z ) ) : X -1-1-> X )
9824ecss 6882 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  [ C ]  .~  C_  X )
99983ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ C ]  .~  C_  X )
100 f1ssres 5586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z
) ) : X -1-1-> X  /\  [ C ]  .~  C_  X )  -> 
( ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z ) )  |`  [ C ]  .~  ) : [ C ]  .~  -1-1-> X )
10197, 99, 100syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
z  e.  X  |->  ( B  .+  z ) )  |`  [ C ]  .~  ) : [ C ]  .~  -1-1-> X )
102 resmpt 5131 . . . . . . . 8  |-  ( [ C ]  .~  C_  X  ->  ( ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z ) )  |`  [ C ]  .~  )  =  ( z  e. 
[ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) )
103 f1eq1 5574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z
) )  |`  [ C ]  .~  )  =  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  -> 
( ( ( z  e.  X  |->  ( B 
.+  z ) )  |`  [ C ]  .~  ) : [ C ]  .~ 
-1-1-> X  <->  ( z  e. 
[ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  -1-1-> X ) )
10499, 102, 1033syl 19 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( z  e.  X  |->  ( B  .+  z
) )  |`  [ C ]  .~  ) : [ C ]  .~  -1-1-> X  <->  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  -1-1-> X ) )
105101, 104mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  -1-1-> X )
106 f1f1orn 5625 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  -1-1-> X  ->  ( z  e. 
[ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~ 
-1-1-onto-> ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) ) )
107105, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~ 
-1-1-onto-> ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) ) )
10815f1oen 7064 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  -1-1-onto-> ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) )  ->  [ C ]  .~  ~~  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) )
109 ensym 7092 . . . . 5  |-  ( [ C ]  .~  ~~  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) )  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  ~~  [ C ]  .~  )
110107, 108, 1093syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  ~~  [ C ]  .~  )
111213ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
11222, 2eqgen 14920 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  [ C ]  .~  e.  ( X /.  .~  )
)  ->  K  ~~  [ C ]  .~  )
113111, 7, 112syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  K  ~~  [ C ]  .~  )
114 ensym 7092 . . . . . 6  |-  ( K 
~~  [ C ]  .~  ->  [ C ]  .~  ~~  K )
115113, 114syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ C ]  .~  ~~  K )
116 ecelqsg 6895 . . . . . . 7  |-  ( (  .~  e.  _V  /\  ( B  .+  C )  e.  X )  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
1174, 43, 116sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
11822, 2eqgen 14920 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  [
( B  .+  C
) ]  .~  e.  ( X /.  .~  )
)  ->  K  ~~  [ ( B  .+  C
) ]  .~  )
119111, 117, 118syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  K  ~~  [ ( B  .+  C
) ]  .~  )
120 entr 7095 . . . . 5  |-  ( ( [ C ]  .~  ~~  K  /\  K  ~~  [ ( B  .+  C
) ]  .~  )  ->  [ C ]  .~  ~~ 
[ ( B  .+  C ) ]  .~  )
121115, 119, 120syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ C ]  .~  ~~  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )
122 entr 7095 . . . 4  |-  ( ( ran  ( z  e. 
[ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  ~~  [ C ]  .~  /\  [ C ]  .~  ~~  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) ) 
~~  [ ( B 
.+  C ) ]  .~  )
123110, 121, 122syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  ~~  [ ( B  .+  C
) ]  .~  )
124 fisseneq 7256 . . 3  |-  ( ( [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  Fin  /\  ran  (
z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  C_  [ ( B  .+  C
) ]  .~  /\  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) ) 
~~  [ ( B 
.+  C ) ]  .~  )  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) )  =  [ ( B 
.+  C ) ]  .~  )
12528, 92, 123, 124syl3anc 1184 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  =  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )
12619, 125eqtrd 2419 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( B  .x.  [ C ]  .~  )  =  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ran crn 4819    |` cres 4820   -->wf 5390   -1-1->wf1 5391   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022    Er wer 6838   [cec 6839   /.cqs 6840    ~~ cen 7042   Fincfn 7045   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   Grpcgrp 14612   inv gcminusg 14613   -gcsg 14615  SubGrpcsubg 14865   ~QG cqg 14867
This theorem is referenced by:  sylow2blem2  15182  sylow2blem3  15183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-ec 6843  df-qs 6847  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-eqg 14870
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