Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2blem2 Unicode version

Theorem sylow2blem2 14948
 Description: Lemma for sylow2b 14950. Left multiplication in a subgroup is a group action on the set of all left cosets of . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x
sylow2b.xf
sylow2b.h SubGrp
sylow2b.k SubGrp
sylow2b.a
sylow2b.r ~QG
sylow2b.m
Assertion
Ref Expression
sylow2blem2 s
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   , ,,   , ,,   , ,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem sylow2blem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2b.h . . . 4 SubGrp
2 eqid 2296 . . . . 5 s s
32subggrp 14640 . . . 4 SubGrp s
41, 3syl 15 . . 3 s
5 sylow2b.k . . . . . 6 SubGrp
6 sylow2b.x . . . . . . 7
7 sylow2b.r . . . . . . 7 ~QG
86, 7eqger 14683 . . . . . 6 SubGrp
95, 8syl 15 . . . . 5
109qsss 6736 . . . 4
11 sylow2b.xf . . . . 5
12 pwfi 7167 . . . . 5
1311, 12sylib 188 . . . 4
14 ssexg 4176 . . . 4
1510, 13, 14syl2anc 642 . . 3
164, 15jca 518 . 2 s
17 sylow2b.m . . . . . . 7
18 vex 2804 . . . . . . . . 9
1918mptex 5762 . . . . . . . 8
2019rnex 4958 . . . . . . 7
2117, 20fnmpt2i 6209 . . . . . 6
2221a1i 10 . . . . 5
23 eqid 2296 . . . . . . . 8
24 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
2524eleq1d 2362 . . . . . . . 8
26 sylow2b.a . . . . . . . . . . 11
276, 11, 1, 5, 26, 7, 17sylow2blem1 14947 . . . . . . . . . 10
28 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12 ~QG
297, 28eqeltri 2366 . . . . . . . . . . 11
30 subgrcl 14642 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
311, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
32313ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12
336subgss 14638 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
341, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
3534sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13
36353adant3 975 . . . . . . . . . . . 12
37 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12
386, 26grpcl 14511 . . . . . . . . . . . 12
3932, 36, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
40 ecelqsg 6730 . . . . . . . . . . 11
4129, 39, 40sylancr 644 . . . . . . . . . 10
4227, 41eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9
43423expa 1151 . . . . . . . 8
4423, 25, 43ectocld 6742 . . . . . . 7
4544ralrimiva 2639 . . . . . 6
4645ralrimiva 2639 . . . . 5
47 ffnov 5964 . . . . 5
4822, 46, 47sylanbrc 645 . . . 4
492subgbas 14641 . . . . . . 7 SubGrp s
501, 49syl 15 . . . . . 6 s
5150xpeq1d 4728 . . . . 5 s
5251feq2d 5396 . . . 4 s
5348, 52mpbid 201 . . 3 s
54 oveq2 5882 . . . . . . 7 s s
55 id 19 . . . . . . 7
5654, 55eqeq12d 2310 . . . . . 6 s s
57 oveq2 5882 . . . . . . . 8 s s
58 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
5958oveq2d 5890 . . . . . . . 8
6057, 59eqeq12d 2310 . . . . . . 7 s s
61602ralbidv 2598 . . . . . 6 s s s s s s
6256, 61anbi12d 691 . . . . 5 s s s s s s s s
63 simpl 443 . . . . . . . 8
641adantr 451 . . . . . . . . 9 SubGrp
65 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
6665subg0cl 14645 . . . . . . . . 9 SubGrp
6764, 66syl 15 . . . . . . . 8
68 simpr 447 . . . . . . . 8
696, 11, 1, 5, 26, 7, 17sylow2blem1 14947 . . . . . . . 8
7063, 67, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . . 7
712, 65subg0 14643 . . . . . . . . 9 SubGrp s
7264, 71syl 15 . . . . . . . 8 s
7372oveq1d 5889 . . . . . . 7 s
746, 26, 65grplid 14528 . . . . . . . . 9
7531, 74sylan 457 . . . . . . . 8
76 eceq1 6712 . . . . . . . 8
7775, 76syl 15 . . . . . . 7
7870, 73, 773eqtr3d 2336 . . . . . 6 s
7963adantr 451 . . . . . . . . . 10
8064adantr 451 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
81 simprl 732 . . . . . . . . . . 11
82 simprr 733 . . . . . . . . . . 11
8326subgcl 14647 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
8480, 81, 82, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
8568adantr 451 . . . . . . . . . 10
866, 11, 1, 5, 26, 7, 17sylow2blem1 14947 . . . . . . . . . 10
8779, 84, 85, 86syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
886, 11, 1, 5, 26, 7, 17sylow2blem1 14947 . . . . . . . . . . . 12
8979, 82, 85, 88syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
9089oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
9180, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
9280, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
9392, 81sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . 13
9492, 82sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . 13
956, 26grpass 14512 . . . . . . . . . . . . 13
9691, 93, 94, 85, 95syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
97 eceq1 6712 . . . . . . . . . . . 12
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . 11
996, 26grpcl 14511 . . . . . . . . . . . . 13
10091, 94, 85, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
1016, 11, 1, 5, 26, 7, 17sylow2blem1 14947 . . . . . . . . . . . 12
10279, 81, 100, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
10398, 102eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10
10490, 103eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9
10587, 104eqtr4d 2331 . . . . . . . 8
106105ralrimivva 2648 . . . . . . 7
10764, 49syl 15 . . . . . . . 8 s
1082, 26ressplusg 13266 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp s
1091, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 s
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 s
111110oveqd 5891 . . . . . . . . . . 11 s
112111oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 s
113112eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9 s
114107, 113raleqbidv 2761 . . . . . . . 8 s s
115107, 114raleqbidv 2761 . . . . . . 7 s s s
116106, 115mpbid 201 . . . . . 6 s s s
11778, 116jca 518 . . . . 5 s s s s
11823, 62, 117ectocld 6742 . . . 4 s s s s
119118ralrimiva 2639 . . 3 s s s s
12053, 119jca 518 . 2 s s s s s
121 eqid 2296 . . 3 s s
122 eqid 2296 . . 3 s s
123 eqid 2296 . . 3 s s
124121, 122, 123isga 14761 . 2 s s s s s s s
12516, 120, 124sylanbrc 645 1 s
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801   wss 3165  cpw 3638   cmpt 4093   cxp 4703   crn 4706   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876   wer 6673  cec 6674  cqs 6675  cfn 6879  cbs 13164   ↾s cress 13165   cplusg 13224  c0g 13416  cgrp 14378  SubGrpcsubg 14631   ~QG cqg 14633   cga 14759 This theorem is referenced by:  sylow2blem3  14949 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-ga 14760
 Copyright terms: Public domain W3C validator