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Theorem sylow2blem3 14933
Description: Sylow's second theorem. Putting together the results of sylow2a 14930 and the orbit-stabilizer theorem to show that  P does not divide the set of all fixed points under the group action, we get that there is a fixed point of the group action, so that there is some  g  e.  X with  h g K  =  g K for all  h  e.  H. This implies that  inv g ( g ) h g  e.  K, so  h is in the conjugated subgroup  g K inv g ( g ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2b.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2b.h  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow2b.r  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
sylow2b.m  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow2blem3.hp  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
sylow2blem3.kn  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
sylow2blem3.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
sylow2blem3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, G    g, K, x, y, z    .x. , g, x, y, z    .+ , g, x, y, z    .~ , g, x, y, z    ph, g,
z    x,  .- , z    g, H, x, y, z    g, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    P( x, y, z, g)    .- ( y, g)

Proof of Theorem sylow2blem3
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2blem3.hp . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
2 pgpprm 14904 . . . . . . . . 9  |-  ( P pGrp  ( Gs  H )  ->  P  e.  Prime )
31, 2syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4 sylow2b.h . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
5 subgrcl 14626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
7 sylow2b.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
87grpbn0 14511 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
96, 8syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
10 sylow2b.xf . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
11 hashnncl 11354 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
139, 12mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
14 pcndvds2 12920 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( ( # `  X )  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
153, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  (
( # `  X )  /  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
16 sylow2b.r . . . . . . . . . . 11  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
17 sylow2b.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
187, 16, 17, 10lagsubg2 14678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  =  ( (
# `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `  K
) ) )
1918oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( # `  K ) )  =  ( ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `
 K ) )  /  ( # `  K
) ) )
20 sylow2blem3.kn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
2120oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( # `  K ) )  =  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
22 pwfi 7151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
2310, 22sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  Fin )
247, 16eqger 14667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
2517, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .~  Er  X )
2625qsss 6720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X /.  .~  )  C_  ~P X )
27 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  ( X /.  .~  )  C_  ~P X )  ->  ( X /.  .~  )  e.  Fin )
2823, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X /.  .~  )  e.  Fin )
29 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  NN0 )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  CC )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3332subg0cl 14629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  K
)
3417, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  K )
35 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0g `  G )  e.  K  ->  K  =/=  (/) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  =/=  (/) )
377subgss 14622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
3817, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
39 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  K  C_  X )  ->  K  e.  Fin )
4010, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  Fin )
41 hashnncl 11354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Fin  ->  (
( # `  K )  e.  NN  <->  K  =/=  (/) ) )
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  K
)  e.  NN  <->  K  =/=  (/) ) )
4336, 42mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  e.  NN )
4443nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  e.  CC )
4543nnne0d 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =/=  0 )
4631, 44, 45divcan4d 9542 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `
 K ) )  /  ( # `  K
) )  =  (
# `  ( X /.  .~  ) ) )
4719, 21, 463eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  =  ( # `  ( X /.  .~  ) ) )
4847breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( # `  X )  /  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) ) ) )
4915, 48mtbid 291 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) ) )
50 prmz 12762 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
513, 50syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
5230nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  ZZ )
53 ssrab2 3258 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  C_  ( X /.  .~  )
54 ssfi 7083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X /.  .~  )  e.  Fin  /\  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  C_  ( X /.  .~  ) )  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  e.  Fin )
5528, 53, 54sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin )
56 hashcl 11350 . . . . . . . . 9  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e. 
NN0 )
5755, 56syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e. 
NN0 )
5857nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e.  ZZ )
59 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( Gs  H ) )  =  ( Base `  ( Gs  H ) )
60 sylow2b.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
61 sylow2b.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
627, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem2 14932 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .x.  e.  ( ( Gs  H )  GrpAct  ( X /.  .~  ) ) )
63 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Gs  H )  =  ( Gs  H )
6463subgbas 14625 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  =  ( Base `  ( Gs  H
) ) )
654, 64syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  =  ( Base `  ( Gs  H ) ) )
667subgss 14622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
674, 66syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  C_  X )
68 ssfi 7083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  H  C_  X )  ->  H  e.  Fin )
6910, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
7065, 69eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( Gs  H ) )  e. 
Fin )
71 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }
72 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( X /.  .~  )  /\  E. g  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( g  .x.  x )  =  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( X /.  .~  )  /\  E. g  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( g  .x.  x )  =  y ) }
7359, 62, 1, 70, 28, 71, 72sylow2a 14930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  ( X /.  .~  ) )  -  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
74 dvdssub2 12566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  e.  ZZ )  /\  P  ||  ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  -  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )  ->  ( P  ||  ( # `  ( X /.  .~  ) )  <-> 
P  ||  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } ) ) )
7551, 52, 58, 73, 74syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) )  <->  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
7649, 75mtbid 291 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) )
77 hasheq0 11353 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  <->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =  (/) ) )
7855, 77syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  <->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =  (/) ) )
79 dvds0 12544 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  ||  0 )
8051, 79syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  0 )
81 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  =  0  ->  ( P  ||  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  <->  P  ||  0
) )
8280, 81syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  ->  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
8378, 82sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =  (/) 
->  P  ||  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } ) ) )
8483necon3bd 2483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =/=  (/) ) )
8576, 84mpd 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =/=  (/) )
86 rabn0 3474 . . . 4  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z )
8785, 86sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z )
8865raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  <->  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z ) )
8988rexbidv 2564 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z ) )
9087, 89mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )
91 vex 2791 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
9291elqs 6712 . . . 4  |-  ( z  e.  ( X /.  .~  )  <->  E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  )
93 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  z  =  [ g ]  .~  )
9493oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  z )  =  ( u  .x.  [ g ]  .~  ) )
95 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  z )  =  z )
96 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ph )
97 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  H )
98 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  g  e.  X )
997, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem1 14931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  u  e.  H  /\  g  e.  X
)  ->  ( u  .x.  [ g ]  .~  )  =  [ (
u  .+  g ) ]  .~  )
10096, 97, 98, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  [ g ]  .~  )  =  [ (
u  .+  g ) ]  .~  )
10194, 95, 1003eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  z  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  )
10293, 101eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  [ g ]  .~  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  )
10325ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  .~  Er  X
)
104103, 98erth 6704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .~  ( u  .+  g
)  <->  [ g ]  .~  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  ) )
105102, 104mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  g  .~  ( u  .+  g ) )
1066ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  G  e.  Grp )
10738ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  K  C_  X
)
108 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1097, 108, 60, 16eqgval 14666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  K  C_  X )  -> 
( g  .~  (
u  .+  g )  <->  ( g  e.  X  /\  ( u  .+  g )  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) ) )
110106, 107, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .~  ( u  .+  g
)  <->  ( g  e.  X  /\  ( u 
.+  g )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) ) )
111105, 110mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  e.  X  /\  (
u  .+  g )  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) )
112111simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K )
113 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) )  ->  (
g  .+  x )  =  ( g  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
114113oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) )  ->  (
( g  .+  x
)  .-  g )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
115 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  =  ( x  e.  K  |->  ( ( g 
.+  x )  .-  g ) )
116 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  .+  ( ( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) 
.-  g )  e. 
_V
117114, 115, 116fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
118112, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
1197, 60, 32, 108grprinv 14529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  X )  ->  ( g  .+  (
( inv g `  G ) `  g
) )  =  ( 0g `  G ) )
120106, 98, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .+  ( ( inv g `  G ) `  g
) )  =  ( 0g `  G ) )
121120oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  g )
) )
1227, 108grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  g
)  e.  X )
123106, 98, 122syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 g )  e.  X )
12467ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  H  C_  X
)
125124, 97sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  X )
1267, 60grpcl 14495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  g  e.  X )  ->  ( u  .+  g
)  e.  X )
127106, 125, 98, 126syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .+  g )  e.  X
)
1287, 60grpass 14496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( g  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  g
)  e.  X  /\  ( u  .+  g )  e.  X ) )  ->  ( ( g 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( g  .+  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
129106, 98, 123, 127, 128syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( g  .+  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
1307, 60, 32grplid 14512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  g )  e.  X )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  g )
)  =  ( u 
.+  g ) )
131106, 127, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( u  .+  g ) )  =  ( u 
.+  g ) )
132121, 129, 1313eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( u  .+  g ) )
133132oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) 
.-  g )  =  ( ( u  .+  g )  .-  g
) )
134 sylow2blem3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .-  =  ( -g `  G )
1357, 60, 134grppncan 14556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  g  e.  X )  ->  ( ( u  .+  g )  .-  g
)  =  u )
136106, 125, 98, 135syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
u  .+  g )  .-  g )  =  u )
137118, 133, 1363eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  u )
138 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  .+  x ) 
.-  g )  e. 
_V
139138, 115fnmpti 5372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  Fn  K
140 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) )  Fn  K  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K )  ->  ( ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) `
 ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  e. 
ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g 
.+  x )  .-  g ) ) )
141139, 112, 140sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
142137, 141eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
143142expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  u  e.  H )  ->  ( ( u  .x.  z )  =  z  ->  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
144143ralimdva 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
145144imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
146145an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [
g ]  .~  )
)  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
147 dfss3 3170 . . . . . . . . 9  |-  ( H 
C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  <->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
148146, 147sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [
g ]  .~  )
)  ->  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
149148expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  g  e.  X )  ->  ( z  =  [
g ]  .~  ->  H 
C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) )
150149reximdva 2655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) )
151150ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) ) )
152151com23 72 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [
g ]  .~  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) ) )
15392, 152syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X /.  .~  )  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) ) )
154153rexlimdv 2666 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
15590, 154mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   class class class wbr 4023   {copab 4076    e. cmpt 4077   ran crn 4690    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    Er wer 6657   [cec 6658   /.cqs 6659   Fincfn 6863   0cc0 8737    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104   #chash 11337    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365  SubGrpcsubg 14615   ~QG cqg 14617   pGrp cpgp 14842
This theorem is referenced by:  sylow2b  14934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ga 14744  df-od 14844  df-pgp 14846
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