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Theorem sylow2blem3 15256
Description: Sylow's second theorem. Putting together the results of sylow2a 15253 and the orbit-stabilizer theorem to show that  P does not divide the set of all fixed points under the group action, we get that there is a fixed point of the group action, so that there is some  g  e.  X with  h g K  =  g K for all  h  e.  H. This implies that  inv g ( g ) h g  e.  K, so  h is in the conjugated subgroup  g K inv g ( g ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2b.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2b.h  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow2b.r  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
sylow2b.m  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow2blem3.hp  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
sylow2blem3.kn  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
sylow2blem3.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
sylow2blem3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, G    g, K, x, y, z    .x. , g, x, y, z    .+ , g, x, y, z    .~ , g, x, y, z    ph, g,
z    x,  .- , z    g, H, x, y, z    g, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    P( x, y, z, g)    .- ( y, g)

Proof of Theorem sylow2blem3
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2blem3.hp . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
2 pgpprm 15227 . . . . . . . . 9  |-  ( P pGrp  ( Gs  H )  ->  P  e.  Prime )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4 sylow2b.h . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
5 subgrcl 14949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
7 sylow2b.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
87grpbn0 14834 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
96, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
10 sylow2b.xf . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
11 hashnncl 11645 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
139, 12mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
14 pcndvds2 13241 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( ( # `  X )  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
153, 13, 14syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  (
( # `  X )  /  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
16 sylow2b.r . . . . . . . . . . 11  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
17 sylow2b.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
187, 16, 17, 10lagsubg2 15001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  =  ( (
# `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `  K
) ) )
1918oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( # `  K ) )  =  ( ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `
 K ) )  /  ( # `  K
) ) )
20 sylow2blem3.kn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
2120oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( # `  K ) )  =  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
22 pwfi 7402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
2310, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  Fin )
247, 16eqger 14990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .~  Er  X )
2625qsss 6965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X /.  .~  )  C_  ~P X )
27 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  ( X /.  .~  )  C_  ~P X )  ->  ( X /.  .~  )  e.  Fin )
2823, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X /.  .~  )  e.  Fin )
29 hashcl 11639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  NN0 )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  CC )
32 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3332subg0cl 14952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  K
)
3417, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  K )
35 ne0i 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0g `  G )  e.  K  ->  K  =/=  (/) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  =/=  (/) )
377subgss 14945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
3817, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
39 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  K  C_  X )  ->  K  e.  Fin )
4010, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  Fin )
41 hashnncl 11645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Fin  ->  (
( # `  K )  e.  NN  <->  K  =/=  (/) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  K
)  e.  NN  <->  K  =/=  (/) ) )
4336, 42mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  e.  NN )
4443nncnd 10016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  e.  CC )
4543nnne0d 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =/=  0 )
4631, 44, 45divcan4d 9796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `
 K ) )  /  ( # `  K
) )  =  (
# `  ( X /.  .~  ) ) )
4719, 21, 463eqtr3d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  =  ( # `  ( X /.  .~  ) ) )
4847breq2d 4224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( # `  X )  /  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) ) ) )
4915, 48mtbid 292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) ) )
50 prmz 13083 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
513, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
5230nn0zd 10373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  ZZ )
53 ssrab2 3428 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  C_  ( X /.  .~  )
54 ssfi 7329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X /.  .~  )  e.  Fin  /\  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  C_  ( X /.  .~  ) )  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  e.  Fin )
5528, 53, 54sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin )
56 hashcl 11639 . . . . . . . . 9  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e. 
NN0 )
5755, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e. 
NN0 )
5857nn0zd 10373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e.  ZZ )
59 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( Gs  H ) )  =  ( Base `  ( Gs  H ) )
60 sylow2b.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
61 sylow2b.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
627, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem2 15255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .x.  e.  ( ( Gs  H )  GrpAct  ( X /.  .~  ) ) )
63 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Gs  H )  =  ( Gs  H )
6463subgbas 14948 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  =  ( Base `  ( Gs  H
) ) )
654, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  =  ( Base `  ( Gs  H ) ) )
667subgss 14945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
674, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  C_  X )
68 ssfi 7329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  H  C_  X )  ->  H  e.  Fin )
6910, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
7065, 69eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( Gs  H ) )  e. 
Fin )
71 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }
72 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( X /.  .~  )  /\  E. g  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( g  .x.  x )  =  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( X /.  .~  )  /\  E. g  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( g  .x.  x )  =  y ) }
7359, 62, 1, 70, 28, 71, 72sylow2a 15253 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  ( X /.  .~  ) )  -  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
74 dvdssub2 12887 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  e.  ZZ )  /\  P  ||  ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  -  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )  ->  ( P  ||  ( # `  ( X /.  .~  ) )  <-> 
P  ||  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } ) ) )
7551, 52, 58, 73, 74syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) )  <->  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
7649, 75mtbid 292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) )
77 hasheq0 11644 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  <->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =  (/) ) )
7855, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  <->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =  (/) ) )
79 dvds0 12865 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  ||  0 )
8051, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  0 )
81 breq2 4216 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  =  0  ->  ( P  ||  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  <->  P  ||  0
) )
8280, 81syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  ->  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
8378, 82sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =  (/) 
->  P  ||  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } ) ) )
8483necon3bd 2638 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =/=  (/) ) )
8576, 84mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =/=  (/) )
86 rabn0 3647 . . . 4  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z )
8785, 86sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z )
8865raleqdv 2910 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  <->  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z ) )
8988rexbidv 2726 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z ) )
9087, 89mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )
91 vex 2959 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
9291elqs 6957 . . . 4  |-  ( z  e.  ( X /.  .~  )  <->  E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  )
93 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  z  =  [ g ]  .~  )
9493oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  z )  =  ( u  .x.  [ g ]  .~  ) )
95 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  z )  =  z )
96 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ph )
97 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  H )
98 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  g  e.  X )
997, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem1 15254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  u  e.  H  /\  g  e.  X
)  ->  ( u  .x.  [ g ]  .~  )  =  [ (
u  .+  g ) ]  .~  )
10096, 97, 98, 99syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  [ g ]  .~  )  =  [ (
u  .+  g ) ]  .~  )
10194, 95, 1003eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  z  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  )
10293, 101eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  [ g ]  .~  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  )
10325ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  .~  Er  X
)
104103, 98erth 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .~  ( u  .+  g
)  <->  [ g ]  .~  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  ) )
105102, 104mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  g  .~  ( u  .+  g ) )
1066ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  G  e.  Grp )
10738ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  K  C_  X
)
108 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1097, 108, 60, 16eqgval 14989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  K  C_  X )  -> 
( g  .~  (
u  .+  g )  <->  ( g  e.  X  /\  ( u  .+  g )  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) ) )
110106, 107, 109syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .~  ( u  .+  g
)  <->  ( g  e.  X  /\  ( u 
.+  g )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) ) )
111105, 110mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  e.  X  /\  (
u  .+  g )  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) )
112111simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K )
113 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) )  ->  (
g  .+  x )  =  ( g  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
114113oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) )  ->  (
( g  .+  x
)  .-  g )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
115 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  =  ( x  e.  K  |->  ( ( g 
.+  x )  .-  g ) )
116 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  .+  ( ( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) 
.-  g )  e. 
_V
117114, 115, 116fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
118112, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
1197, 60, 32, 108grprinv 14852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  X )  ->  ( g  .+  (
( inv g `  G ) `  g
) )  =  ( 0g `  G ) )
120106, 98, 119syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .+  ( ( inv g `  G ) `  g
) )  =  ( 0g `  G ) )
121120oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  g )
) )
1227, 108grpinvcl 14850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  g
)  e.  X )
123106, 98, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 g )  e.  X )
12467ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  H  C_  X
)
125124, 97sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  X )
1267, 60grpcl 14818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  g  e.  X )  ->  ( u  .+  g
)  e.  X )
127106, 125, 98, 126syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .+  g )  e.  X
)
1287, 60grpass 14819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( g  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  g
)  e.  X  /\  ( u  .+  g )  e.  X ) )  ->  ( ( g 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( g  .+  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
129106, 98, 123, 127, 128syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( g  .+  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
1307, 60, 32grplid 14835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  g )  e.  X )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  g )
)  =  ( u 
.+  g ) )
131106, 127, 130syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( u  .+  g ) )  =  ( u 
.+  g ) )
132121, 129, 1313eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( u  .+  g ) )
133132oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) 
.-  g )  =  ( ( u  .+  g )  .-  g
) )
134 sylow2blem3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .-  =  ( -g `  G )
1357, 60, 134grppncan 14879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  g  e.  X )  ->  ( ( u  .+  g )  .-  g
)  =  u )
136106, 125, 98, 135syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
u  .+  g )  .-  g )  =  u )
137118, 133, 1363eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  u )
138 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  .+  x ) 
.-  g )  e. 
_V
139138, 115fnmpti 5573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  Fn  K
140 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) )  Fn  K  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K )  ->  ( ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) `
 ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  e. 
ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g 
.+  x )  .-  g ) ) )
141139, 112, 140sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
142137, 141eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
143142expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  u  e.  H )  ->  ( ( u  .x.  z )  =  z  ->  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
144143ralimdva 2784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
145144imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
146145an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [
g ]  .~  )
)  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
147 dfss3 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( H 
C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  <->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
148146, 147sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [
g ]  .~  )
)  ->  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
149148expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  g  e.  X )  ->  ( z  =  [
g ]  .~  ->  H 
C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) )
150149reximdva 2818 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) )
151150ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) ) )
152151com23 74 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [
g ]  .~  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) ) )
15392, 152syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X /.  .~  )  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) ) )
154153rexlimdv 2829 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
15590, 154mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {cpr 3815   class class class wbr 4212   {copab 4265    e. cmpt 4266   ran crn 4879    Fn wfn 5449   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083    Er wer 6902   [cec 6903   /.cqs 6904   Fincfn 7109   0cc0 8990    x. cmul 8995    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ^cexp 11382   #chash 11618    || cdivides 12852   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686   -gcsg 14688  SubGrpcsubg 14938   ~QG cqg 14940   pGrp cpgp 15165
This theorem is referenced by:  sylow2b  15257
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-eqg 14943  df-ga 15067  df-od 15167  df-pgp 15169
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