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Theorem sylow2blem3 15219
Description: Sylow's second theorem. Putting together the results of sylow2a 15216 and the orbit-stabilizer theorem to show that  P does not divide the set of all fixed points under the group action, we get that there is a fixed point of the group action, so that there is some  g  e.  X with  h g K  =  g K for all  h  e.  H. This implies that  inv g ( g ) h g  e.  K, so  h is in the conjugated subgroup  g K inv g ( g ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2b.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2b.h  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow2b.r  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
sylow2b.m  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow2blem3.hp  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
sylow2blem3.kn  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
sylow2blem3.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
sylow2blem3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, G    g, K, x, y, z    .x. , g, x, y, z    .+ , g, x, y, z    .~ , g, x, y, z    ph, g,
z    x,  .- , z    g, H, x, y, z    g, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    P( x, y, z, g)    .- ( y, g)

Proof of Theorem sylow2blem3
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2blem3.hp . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
2 pgpprm 15190 . . . . . . . . 9  |-  ( P pGrp  ( Gs  H )  ->  P  e.  Prime )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4 sylow2b.h . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
5 subgrcl 14912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
7 sylow2b.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
87grpbn0 14797 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
96, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
10 sylow2b.xf . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
11 hashnncl 11608 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
139, 12mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
14 pcndvds2 13204 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( ( # `  X )  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
153, 13, 14syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  (
( # `  X )  /  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
16 sylow2b.r . . . . . . . . . . 11  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
17 sylow2b.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
187, 16, 17, 10lagsubg2 14964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  =  ( (
# `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `  K
) ) )
1918oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( # `  K ) )  =  ( ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `
 K ) )  /  ( # `  K
) ) )
20 sylow2blem3.kn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
2120oveq2d 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( # `  K ) )  =  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
22 pwfi 7368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
2310, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  Fin )
247, 16eqger 14953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .~  Er  X )
2625qsss 6932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X /.  .~  )  C_  ~P X )
27 ssfi 7296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  ( X /.  .~  )  C_  ~P X )  ->  ( X /.  .~  )  e.  Fin )
2823, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X /.  .~  )  e.  Fin )
29 hashcl 11602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  NN0 )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  CC )
32 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3332subg0cl 14915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  K
)
3417, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  K )
35 ne0i 3602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0g `  G )  e.  K  ->  K  =/=  (/) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  =/=  (/) )
377subgss 14908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
3817, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
39 ssfi 7296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  K  C_  X )  ->  K  e.  Fin )
4010, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  Fin )
41 hashnncl 11608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Fin  ->  (
( # `  K )  e.  NN  <->  K  =/=  (/) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  K
)  e.  NN  <->  K  =/=  (/) ) )
4336, 42mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  e.  NN )
4443nncnd 9980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  e.  CC )
4543nnne0d 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =/=  0 )
4631, 44, 45divcan4d 9760 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `
 K ) )  /  ( # `  K
) )  =  (
# `  ( X /.  .~  ) ) )
4719, 21, 463eqtr3d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  =  ( # `  ( X /.  .~  ) ) )
4847breq2d 4192 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( # `  X )  /  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) ) ) )
4915, 48mtbid 292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) ) )
50 prmz 13046 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
513, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
5230nn0zd 10337 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  ZZ )
53 ssrab2 3396 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  C_  ( X /.  .~  )
54 ssfi 7296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X /.  .~  )  e.  Fin  /\  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  C_  ( X /.  .~  ) )  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  e.  Fin )
5528, 53, 54sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin )
56 hashcl 11602 . . . . . . . . 9  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e. 
NN0 )
5755, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e. 
NN0 )
5857nn0zd 10337 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e.  ZZ )
59 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( Gs  H ) )  =  ( Base `  ( Gs  H ) )
60 sylow2b.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
61 sylow2b.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
627, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem2 15218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .x.  e.  ( ( Gs  H )  GrpAct  ( X /.  .~  ) ) )
63 eqid 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Gs  H )  =  ( Gs  H )
6463subgbas 14911 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  =  ( Base `  ( Gs  H
) ) )
654, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  =  ( Base `  ( Gs  H ) ) )
667subgss 14908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
674, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  C_  X )
68 ssfi 7296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  H  C_  X )  ->  H  e.  Fin )
6910, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
7065, 69eqeltrrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( Gs  H ) )  e. 
Fin )
71 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }
72 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( X /.  .~  )  /\  E. g  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( g  .x.  x )  =  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( X /.  .~  )  /\  E. g  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( g  .x.  x )  =  y ) }
7359, 62, 1, 70, 28, 71, 72sylow2a 15216 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  ( X /.  .~  ) )  -  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
74 dvdssub2 12850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  e.  ZZ )  /\  P  ||  ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  -  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )  ->  ( P  ||  ( # `  ( X /.  .~  ) )  <-> 
P  ||  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } ) ) )
7551, 52, 58, 73, 74syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) )  <->  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
7649, 75mtbid 292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) )
77 hasheq0 11607 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  <->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =  (/) ) )
7855, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  <->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =  (/) ) )
79 dvds0 12828 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  ||  0 )
8051, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  0 )
81 breq2 4184 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  =  0  ->  ( P  ||  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  <->  P  ||  0
) )
8280, 81syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  ->  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
8378, 82sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =  (/) 
->  P  ||  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } ) ) )
8483necon3bd 2612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =/=  (/) ) )
8576, 84mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =/=  (/) )
86 rabn0 3615 . . . 4  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z )
8785, 86sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z )
8865raleqdv 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  <->  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z ) )
8988rexbidv 2695 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z ) )
9087, 89mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )
91 vex 2927 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
9291elqs 6924 . . . 4  |-  ( z  e.  ( X /.  .~  )  <->  E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  )
93 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  z  =  [ g ]  .~  )
9493oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  z )  =  ( u  .x.  [ g ]  .~  ) )
95 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  z )  =  z )
96 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ph )
97 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  H )
98 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  g  e.  X )
997, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem1 15217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  u  e.  H  /\  g  e.  X
)  ->  ( u  .x.  [ g ]  .~  )  =  [ (
u  .+  g ) ]  .~  )
10096, 97, 98, 99syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  [ g ]  .~  )  =  [ (
u  .+  g ) ]  .~  )
10194, 95, 1003eqtr3d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  z  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  )
10293, 101eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  [ g ]  .~  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  )
10325ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  .~  Er  X
)
104103, 98erth 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .~  ( u  .+  g
)  <->  [ g ]  .~  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  ) )
105102, 104mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  g  .~  ( u  .+  g ) )
1066ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  G  e.  Grp )
10738ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  K  C_  X
)
108 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1097, 108, 60, 16eqgval 14952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  K  C_  X )  -> 
( g  .~  (
u  .+  g )  <->  ( g  e.  X  /\  ( u  .+  g )  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) ) )
110106, 107, 109syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .~  ( u  .+  g
)  <->  ( g  e.  X  /\  ( u 
.+  g )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) ) )
111105, 110mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  e.  X  /\  (
u  .+  g )  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) )
112111simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K )
113 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) )  ->  (
g  .+  x )  =  ( g  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
114113oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) )  ->  (
( g  .+  x
)  .-  g )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
115 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  =  ( x  e.  K  |->  ( ( g 
.+  x )  .-  g ) )
116 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  .+  ( ( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) 
.-  g )  e. 
_V
117114, 115, 116fvmpt 5773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
118112, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
1197, 60, 32, 108grprinv 14815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  X )  ->  ( g  .+  (
( inv g `  G ) `  g
) )  =  ( 0g `  G ) )
120106, 98, 119syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .+  ( ( inv g `  G ) `  g
) )  =  ( 0g `  G ) )
121120oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  g )
) )
1227, 108grpinvcl 14813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  g
)  e.  X )
123106, 98, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 g )  e.  X )
12467ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  H  C_  X
)
125124, 97sseldd 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  X )
1267, 60grpcl 14781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  g  e.  X )  ->  ( u  .+  g
)  e.  X )
127106, 125, 98, 126syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .+  g )  e.  X
)
1287, 60grpass 14782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( g  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  g
)  e.  X  /\  ( u  .+  g )  e.  X ) )  ->  ( ( g 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( g  .+  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
129106, 98, 123, 127, 128syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( g  .+  (
( ( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
1307, 60, 32grplid 14798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  g )  e.  X )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  g )
)  =  ( u 
.+  g ) )
131106, 127, 130syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( u  .+  g ) )  =  ( u 
.+  g ) )
132121, 129, 1313eqtr3d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( u  .+  g ) )
133132oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) 
.-  g )  =  ( ( u  .+  g )  .-  g
) )
134 sylow2blem3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .-  =  ( -g `  G )
1357, 60, 134grppncan 14842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  g  e.  X )  ->  ( ( u  .+  g )  .-  g
)  =  u )
136106, 125, 98, 135syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
u  .+  g )  .-  g )  =  u )
137118, 133, 1363eqtrd 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  u )
138 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  .+  x ) 
.-  g )  e. 
_V
139138, 115fnmpti 5540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  Fn  K
140 fnfvelrn 5834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) )  Fn  K  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K )  ->  ( ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) `
 ( ( ( inv g `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  e. 
ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g 
.+  x )  .-  g ) ) )
141139, 112, 140sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( inv g `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
142137, 141eqeltrrd 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
143142expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  u  e.  H )  ->  ( ( u  .x.  z )  =  z  ->  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
144143ralimdva 2752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
145144imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
146145an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [
g ]  .~  )
)  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
147 dfss3 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( H 
C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  <->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
148146, 147sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [
g ]  .~  )
)  ->  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
149148expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  g  e.  X )  ->  ( z  =  [
g ]  .~  ->  H 
C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) )
150149reximdva 2786 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) )
151150ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) ) )
152151com23 74 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [
g ]  .~  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) ) )
15392, 152syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X /.  .~  )  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) ) )
154153rexlimdv 2797 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
15590, 154mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ~Pcpw 3767   {cpr 3783   class class class wbr 4180   {copab 4233    e. cmpt 4234   ran crn 4846    Fn wfn 5416   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    e. cmpt2 6050    Er wer 6869   [cec 6870   /.cqs 6871   Fincfn 7076   0cc0 8954    x. cmul 8959    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ^cexp 11345   #chash 11581    || cdivides 12815   Primecprime 13042    pCnt cpc 13173   Basecbs 13432   ↾s cress 13433   +g cplusg 13492   0gc0g 13686   Grpcgrp 14648   inv gcminusg 14649   -gcsg 14651  SubGrpcsubg 14901   ~QG cqg 14903   pGrp cpgp 15128
This theorem is referenced by:  sylow2b  15220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-disj 4151  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-ec 6874  df-qs 6878  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-prm 13043  df-pc 13174  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-eqg 14906  df-ga 15030  df-od 15130  df-pgp 15132
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