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Theorem sylow2blem3 15256
 Description: Sylow's second theorem. Putting together the results of sylow2a 15253 and the orbit-stabilizer theorem to show that does not divide the set of all fixed points under the group action, we get that there is a fixed point of the group action, so that there is some with for all . This implies that , so is in the conjugated subgroup . (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x
sylow2b.xf
sylow2b.h SubGrp
sylow2b.k SubGrp
sylow2b.a
sylow2b.r ~QG
sylow2b.m
sylow2blem3.hp pGrp s
sylow2blem3.kn
sylow2blem3.d
Assertion
Ref Expression
sylow2blem3
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   , ,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem sylow2blem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2blem3.hp . . . . . . . . 9 pGrp s
2 pgpprm 15227 . . . . . . . . 9 pGrp s
31, 2syl 16 . . . . . . . 8
4 sylow2b.h . . . . . . . . . . 11 SubGrp
5 subgrcl 14949 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10
7 sylow2b.x . . . . . . . . . . 11
87grpbn0 14834 . . . . . . . . . 10
96, 8syl 16 . . . . . . . . 9
10 sylow2b.xf . . . . . . . . . 10
11 hashnncl 11645 . . . . . . . . . 10
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9
139, 12mpbird 224 . . . . . . . 8
14 pcndvds2 13241 . . . . . . . 8
153, 13, 14syl2anc 643 . . . . . . 7
16 sylow2b.r . . . . . . . . . . 11 ~QG
17 sylow2b.k . . . . . . . . . . 11 SubGrp
187, 16, 17, 10lagsubg2 15001 . . . . . . . . . 10
1918oveq1d 6096 . . . . . . . . 9
20 sylow2blem3.kn . . . . . . . . . 10
2120oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
22 pwfi 7402 . . . . . . . . . . . . . 14
2310, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13
247, 16eqger 14990 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
2625qsss 6965 . . . . . . . . . . . . 13
27 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . 13
2823, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
29 hashcl 11639 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11
3130nn0cnd 10276 . . . . . . . . . 10
32 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332subg0cl 14952 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
3417, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
35 ne0i 3634 . . . . . . . . . . . . 13
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12
377subgss 14945 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
3817, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
39 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . . 14
4010, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
41 hashnncl 11645 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4336, 42mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
4443nncnd 10016 . . . . . . . . . 10
4543nnne0d 10044 . . . . . . . . . 10
4631, 44, 45divcan4d 9796 . . . . . . . . 9
4719, 21, 463eqtr3d 2476 . . . . . . . 8
4847breq2d 4224 . . . . . . 7
4915, 48mtbid 292 . . . . . 6
50 prmz 13083 . . . . . . . 8
513, 50syl 16 . . . . . . 7
5230nn0zd 10373 . . . . . . 7
53 ssrab2 3428 . . . . . . . . . 10 s
54 ssfi 7329 . . . . . . . . . 10 s s
5528, 53, 54sylancl 644 . . . . . . . . 9 s
56 hashcl 11639 . . . . . . . . 9 s s
5755, 56syl 16 . . . . . . . 8 s
5857nn0zd 10373 . . . . . . 7 s
59 eqid 2436 . . . . . . . 8 s s
60 sylow2b.a . . . . . . . . 9
61 sylow2b.m . . . . . . . . 9
627, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem2 15255 . . . . . . . 8 s
63 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11 s s
6463subgbas 14948 . . . . . . . . . 10 SubGrp s
654, 64syl 16 . . . . . . . . 9 s
667subgss 14945 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
674, 66syl 16 . . . . . . . . . 10
68 ssfi 7329 . . . . . . . . . 10
6910, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . 9
7065, 69eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8 s
71 eqid 2436 . . . . . . . 8 s s
72 eqid 2436 . . . . . . . 8 s s
7359, 62, 1, 70, 28, 71, 72sylow2a 15253 . . . . . . 7 s
74 dvdssub2 12887 . . . . . . 7 s s s
7551, 52, 58, 73, 74syl31anc 1187 . . . . . 6 s
7649, 75mtbid 292 . . . . 5 s
77 hasheq0 11644 . . . . . . . 8 s s s
7855, 77syl 16 . . . . . . 7 s s
79 dvds0 12865 . . . . . . . . 9
8051, 79syl 16 . . . . . . . 8
81 breq2 4216 . . . . . . . 8 s s
8280, 81syl5ibrcom 214 . . . . . . 7 s s
8378, 82sylbird 227 . . . . . 6 s s
8483necon3bd 2638 . . . . 5 s s
8576, 84mpd 15 . . . 4 s
86 rabn0 3647 . . . 4 s s
8785, 86sylib 189 . . 3 s
8865raleqdv 2910 . . . 4 s
8988rexbidv 2726 . . 3 s
9087, 89mpbird 224 . 2
91 vex 2959 . . . . 5
9291elqs 6957 . . . 4
93 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9493oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
96 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
97 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
997, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem1 15254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10096, 97, 98, 99syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10194, 95, 1003eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10293, 101eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10325ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104103, 98erth 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105102, 104mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1066ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10738ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1097, 108, 60, 16eqgval 14989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110106, 107, 109syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111105, 110mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112111simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114113oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117114, 115, 116fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118112, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
1197, 60, 32, 108grprinv 14852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120106, 98, 119syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121120oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1227, 108grpinvcl 14850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123106, 98, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12467ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
125124, 97sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1267, 60grpcl 14818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127106, 125, 98, 126syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1287, 60grpass 14819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129106, 98, 123, 127, 128syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1307, 60, 32grplid 14835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131106, 127, 130syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132121, 129, 1313eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133132oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15
134 sylow2blem3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1357, 60, 134grppncan 14879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136106, 125, 98, 135syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
137118, 133, 1363eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
138 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139138, 115fnmpti 5573 . . . . . . . . . . . . . . 15
140 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15
141139, 112, 140sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14
142137, 141eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13
143142expr 599 . . . . . . . . . . . 12
144143ralimdva 2784 . . . . . . . . . . 11
145144imp 419 . . . . . . . . . 10
146145an32s 780 . . . . . . . . 9
147 dfss3 3338 . . . . . . . . 9
148146, 147sylibr 204 . . . . . . . 8
149148expr 599 . . . . . . 7
150149reximdva 2818 . . . . . 6
151150ex 424 . . . . 5
152151com23 74 . . . 4
15392, 152syl5bi 209 . . 3
154153rexlimdv 2829 . 2
15590, 154mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  cpr 3815   class class class wbr 4212  copab 4265   cmpt 4266   crn 4879   wfn 5449  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083   wer 6902  cec 6903  cqs 6904  cfn 7109  cc0 8990   cmul 8995   cmin 9291   cdiv 9677  cn 10000  cn0 10221  cz 10282  cexp 11382  chash 11618   cdivides 12852  cprime 13079   cpc 13210  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529  c0g 13723  cgrp 14685  cminusg 14686  csg 14688  SubGrpcsubg 14938   ~QG cqg 14940   pGrp cpgp 15165 This theorem is referenced by:  sylow2b  15257 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-eqg 14943  df-ga 15067  df-od 15167  df-pgp 15169
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