Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3 Unicode version

Theorem sylow3 14944
 Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of , where is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3.n pSyl
Assertion
Ref Expression
sylow3

Proof of Theorem sylow3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . . 4
2 sylow3.xf . . . 4
3 sylow3.p . . . 4
4 sylow3.x . . . . 5
54slwn0 14926 . . . 4 pSyl
61, 2, 3, 5syl3anc 1182 . . 3 pSyl
7 n0 3464 . . 3 pSyl pSyl
86, 7sylib 188 . 2 pSyl
9 sylow3.n . . . . . 6 pSyl
101adantr 451 . . . . . . 7 pSyl
112adantr 451 . . . . . . 7 pSyl
123adantr 451 . . . . . . 7 pSyl
13 eqid 2283 . . . . . . 7
14 eqid 2283 . . . . . . 7
15 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12
1615oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11
1716cbvmptv 4111 . . . . . . . . . 10
18 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12
19 id 19 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11
2120mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . 10
2217, 21syl5eq 2327 . . . . . . . . 9
2322rneqd 4906 . . . . . . . 8
24 mpteq1 4100 . . . . . . . . 9
2524rneqd 4906 . . . . . . . 8
2623, 25cbvmpt2v 5926 . . . . . . 7 pSyl pSyl
27 simpr 447 . . . . . . 7 pSyl pSyl
28 eqid 2283 . . . . . . 7 pSyl pSyl
29 eqid 2283 . . . . . . 7
304, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29sylow3lem4 14941 . . . . . 6 pSyl pSyl
319, 30syl5eqbr 4056 . . . . 5 pSyl
329oveq1i 5868 . . . . . 6 pSyl
3323, 25cbvmpt2v 5926 . . . . . . 7 pSyl pSyl
34 eqid 2283 . . . . . . 7
354, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34sylow3lem6 14943 . . . . . 6 pSyl pSyl
3632, 35syl5eq 2327 . . . . 5 pSyl
3731, 36jca 518 . . . 4 pSyl
3837ex 423 . . 3 pSyl
3938exlimdv 1664 . 2 pSyl
408, 39mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  crab 2547  c0 3455   class class class wbr 4023   cmpt 4077   crn 4690  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  cfn 6863  c1 8738   cdiv 9423   cmo 10973  cexp 11104  chash 11337   cdivides 12531  cprime 12758   cpc 12889  cbs 13148   cplusg 13208  cgrp 14362  csg 14365   pSyl cslw 14843 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-ga 14744  df-od 14844  df-pgp 14846  df-slw 14847
 Copyright terms: Public domain W3C validator