Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3 Structured version   Unicode version

Theorem sylow3 15272
 Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of , where is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3.n pSyl
Assertion
Ref Expression
sylow3

Proof of Theorem sylow3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . . 4
2 sylow3.xf . . . 4
3 sylow3.p . . . 4
4 sylow3.x . . . . 5
54slwn0 15254 . . . 4 pSyl
61, 2, 3, 5syl3anc 1185 . . 3 pSyl
7 n0 3639 . . 3 pSyl pSyl
86, 7sylib 190 . 2 pSyl
9 sylow3.n . . . 4 pSyl
101adantr 453 . . . . 5 pSyl
112adantr 453 . . . . 5 pSyl
123adantr 453 . . . . 5 pSyl
13 eqid 2438 . . . . 5
14 eqid 2438 . . . . 5
15 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10
1615oveq1d 6099 . . . . . . . . 9
1716cbvmptv 4303 . . . . . . . 8
18 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10
19 id 21 . . . . . . . . . 10
2018, 19oveq12d 6102 . . . . . . . . 9
2120mpteq2dv 4299 . . . . . . . 8
2217, 21syl5eq 2482 . . . . . . 7
2322rneqd 5100 . . . . . 6
24 mpteq1 4292 . . . . . . 7
2524rneqd 5100 . . . . . 6
2623, 25cbvmpt2v 6155 . . . . 5 pSyl pSyl
27 simpr 449 . . . . 5 pSyl pSyl
28 eqid 2438 . . . . 5 pSyl pSyl
29 eqid 2438 . . . . 5
304, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29sylow3lem4 15269 . . . 4 pSyl pSyl
319, 30syl5eqbr 4248 . . 3 pSyl
329oveq1i 6094 . . . 4 pSyl
3323, 25cbvmpt2v 6155 . . . . 5 pSyl pSyl
34 eqid 2438 . . . . 5
354, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34sylow3lem6 15271 . . . 4 pSyl pSyl
3632, 35syl5eq 2482 . . 3 pSyl
3731, 36jca 520 . 2 pSyl
388, 37exlimddv 1649 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  crab 2711  c0 3630   class class class wbr 4215   cmpt 4269   crn 4882  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  cfn 7112  c1 8996   cdiv 9682   cmo 11255  cexp 11387  chash 11623   cdivides 12857  cprime 13084   cpc 13215  cbs 13474   cplusg 13534  cgrp 14690  csg 14693   pSyl cslw 15171 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085  df-pc 13216  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-nsg 14947  df-eqg 14948  df-ghm 15009  df-ga 15072  df-od 15172  df-pgp 15174  df-slw 15175
 Copyright terms: Public domain W3C validator