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Theorem sylow3lem1 15253
Description: Lemma for sylow3 15259, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow3.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow3lem1.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow3lem1.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
sylow3lem1.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
Assertion
Ref Expression
sylow3lem1  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  ( P pSyl  G )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .-    x,  .(+) , y, z   
x, X, y, z   
x, G, y, z    ph, x, y, z    x,  .+ , y, z    x, P, y, z

Proof of Theorem sylow3lem1
Dummy variables  a 
b  c  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 ovex 6098 . . 3  |-  ( P pSyl 
G )  e.  _V
31, 2jctir 525 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\  ( P pSyl  G )  e.  _V ) )
4 sylow3.xf . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
5 sylow3.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
6 sylow3.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  G
)
76fislw 15251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  P  e.  Prime )  ->  (
y  e.  ( P pSyl 
G )  <->  ( y  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `  y
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
81, 4, 5, 7syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( P pSyl  G )  <->  ( y  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `  y
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
98biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( y  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `  y
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
109adantrl 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  (
y  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `
 y )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
1110simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  y  e.  (SubGrp `  G )
)
12 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  x  e.  X )
13 sylow3lem1.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
14 sylow3lem1.d . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  G )
15 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) )  =  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )
166, 13, 14, 15conjsubg 15029 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
1711, 12, 16syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
186, 13, 14, 15conjsubgen 15030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  y  ~~  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) )
1911, 12, 18syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  y  ~~  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) )
204adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  X  e.  Fin )
216subgss 14937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  y  C_  X )
2211, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  y  C_  X )
23 ssfi 7321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  y  C_  X )  -> 
y  e.  Fin )
2420, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  y  e.  Fin )
256subgss 14937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  C_  X
)
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  C_  X
)
27 ssfi 7321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  C_  X
)  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) )  e.  Fin )
2820, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  Fin )
29 hashen 11623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  y )  =  (
# `  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  <->  y  ~~  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) ) ) )
3024, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  (
( # `  y )  =  ( # `  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) ) )  <->  y  ~~  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) ) ) )
3119, 30mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ( # `
 y )  =  ( # `  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) ) ) )
3210simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ( # `
 y )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) )
3331, 32eqtr3d 2469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
346fislw 15251 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  P  e.  Prime )  ->  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  ( P pSyl  G )  <->  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
351, 4, 5, 34syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) )  e.  ( P pSyl  G
)  <->  ( ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
3635adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  ( P pSyl  G )  <->  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
3717, 33, 36mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  ( P pSyl  G ) )
3837ralrimivva 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  ( P pSyl  G ) ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
)  e.  ( P pSyl 
G ) )
39 sylow3lem1.m . . . . 5  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
4039fmpt2 6410 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ( P pSyl  G ) ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) )  e.  ( P pSyl  G
)  <->  .(+)  : ( X  X.  ( P pSyl  G
) ) --> ( P pSyl 
G ) )
4138, 40sylib 189 . . 3  |-  ( ph  -> 
.(+)  : ( X  X.  ( P pSyl  G )
) --> ( P pSyl  G
) )
421adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  G  e.  Grp )
43 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
446, 43grpidcl 14825 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
4542, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
46 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  a  e.  ( P pSyl  G )
)
47 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
48 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  x  =  ( 0g
`  G ) )
4948oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) )
5049, 48oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )
5147, 50mpteq12dv 4279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G )  .+  z
)  .-  ( 0g `  G ) ) ) )
5251rneqd 5089 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G ) 
.+  z )  .-  ( 0g `  G ) ) ) )
53 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
5453mptex 5958 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )  e. 
_V
5554rnex 5125 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G )  .+  z
)  .-  ( 0g `  G ) ) )  e.  _V
5652, 39, 55ovmpt2a 6196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G ) 
.+  z )  .-  ( 0g `  G ) ) ) )
5745, 46, 56syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G )  .+  z
)  .-  ( 0g `  G ) ) ) )
581ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  G  e.  Grp )
59 slwsubg 15236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( P pSyl  G
)  ->  a  e.  (SubGrp `  G ) )
6059adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  a  e.  (SubGrp `  G ) )
616subgss 14937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  (SubGrp `  G
)  ->  a  C_  X )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  a  C_  X )
6362sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  z  e.  X )
646, 13, 43grplid 14827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  z )
6558, 63, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  z )  =  z )
6665oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( 0g `  G )  .+  z
)  .-  ( 0g `  G ) )  =  ( z  .-  ( 0g `  G ) ) )
676, 43, 14grpsubid1 14866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .-  ( 0g `  G ) )  =  z )
6858, 63, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  (
z  .-  ( 0g `  G ) )  =  z )
6966, 68eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( 0g `  G )  .+  z
)  .-  ( 0g `  G ) )  =  z )
7069mpteq2dva 4287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )  =  ( z  e.  a 
|->  z ) )
71 mptresid 5187 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  z )  =  (  _I  |`  a
)
7270, 71syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )  =  (  _I  |`  a
) )
7372rneqd 5089 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )  =  ran  (  _I  |`  a
) )
74 rnresi 5211 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  a )  =  a
7573, 74syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )  =  a )
7657, 75eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  a )
77 ovex 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  .+  z ) 
.-  c )  e. 
_V
78 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( ( c 
.+  z )  .-  c )  ->  (
b  .+  w )  =  ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) ) )
7978oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( ( c 
.+  z )  .-  c )  ->  (
( b  .+  w
)  .-  b )  =  ( ( b 
.+  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) )  .-  b ) )
8077, 79abrexco 5978 . . . . . . . . 9  |-  { u  |  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( ( c  .+  z )  .-  c
) } u  =  ( ( b  .+  w )  .-  b
) }  =  {
u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) )  .-  b
) }
81 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
c  e.  X )
82 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
a  e.  ( P pSyl 
G ) )
83 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
84 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  x  =  c )
8584oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( c 
.+  z ) )
8685, 84oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) )
8783, 86mpteq12dv 4279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z
)  .-  c )
) )
8887rneqd 5089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) ) )
8953mptex 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) )  e.  _V
9089rnex 5125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z
)  .-  c )
)  e.  _V
9188, 39, 90ovmpt2a 6196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  ->  (
c  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) ) )
9281, 82, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) ) )
93 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) )
9493rnmpt 5108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z
)  .-  c )
)  =  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( ( c  .+  z
)  .-  c ) }
9592, 94syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c  .(+)  a )  =  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) } )
9695rexeqdv 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( E. w  e.  ( c  .(+)  a ) u  =  ( ( b  .+  w ) 
.-  b )  <->  E. w  e.  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) } u  =  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) ) )
9796abbidv 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a ) u  =  ( ( b  .+  w )  .-  b
) }  =  {
u  |  E. w  e.  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) } u  =  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) } )
9842adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  G  e.  Grp )
9998adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  G  e.  Grp )
100 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
1016, 13grpcl 14810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( b  .+  c
)  e.  X )
10298, 100, 81, 101syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( b  .+  c
)  e.  X )
103102adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
b  .+  c )  e.  X )
10463adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  z  e.  X )
1056, 13grpcl 14810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  .+  c
)  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( b  .+  c )  .+  z
)  e.  X )
10699, 103, 104, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  e.  X )
10781adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  c  e.  X )
108100adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  b  e.  X )
1096, 13, 14grpsubsub4 14873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  e.  X  /\  c  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  c
)  .-  b )  =  ( ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) )
11099, 106, 107, 108, 109syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  c
)  .-  b )  =  ( ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) )
1116, 13grpass 14811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
11299, 108, 107, 104, 111syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
113112oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  c )  =  ( ( b 
.+  ( c  .+  z ) )  .-  c ) )
1146, 13grpcl 14810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  c  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( c  .+  z
)  e.  X )
11599, 107, 104, 114syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
c  .+  z )  e.  X )
1166, 13, 14grpaddsubass 14870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  ( c  .+  z
)  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( (
b  .+  ( c  .+  z ) )  .-  c )  =  ( b  .+  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) ) )
11799, 108, 115, 107, 116syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( b  .+  (
c  .+  z )
)  .-  c )  =  ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) ) )
118113, 117eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  c )  =  ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) ) )
119118oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  c
)  .-  b )  =  ( ( b 
.+  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) )  .-  b ) )
120110, 119eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  ( b  .+  c ) )  =  ( ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) )  .-  b
) )
121120eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
u  =  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) )  <->  u  =  ( ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) )  .-  b
) ) )
122121rexbidva 2714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( E. z  e.  a  u  =  ( ( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  ( b  .+  c ) )  <->  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) )  .-  b
) ) )
123122abbidv 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) }  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b 
.+  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) )  .-  b ) } )
12480, 97, 1233eqtr4a 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a ) u  =  ( ( b  .+  w )  .-  b
) }  =  {
u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  (
b  .+  c )
) } )
125 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) )  =  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w )  .-  b
) )
126125rnmpt 5108 . . . . . . . 8  |-  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w
)  .-  b )
)  =  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( ( b  .+  w ) 
.-  b ) }
127 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) )  =  ( z  e.  a 
|->  ( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  (
b  .+  c )
) )
128127rnmpt 5108 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  ( b  .+  c ) ) )  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) }
129124, 126, 1283eqtr4g 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  ran  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w )  .-  b
) )  =  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  (
b  .+  c )
) ) )
13041ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  .(+)  : ( X  X.  ( P pSyl  G )
) --> ( P pSyl  G
) )
131130, 81, 82fovrnd 6210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c  .(+)  a )  e.  ( P pSyl  G
) )
132 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
y  =  ( c 
.(+)  a ) )
133 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  ->  x  =  b )
134133oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( x  .+  z
)  =  ( b 
.+  z ) )
135134, 133oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( b  .+  z ) 
.-  b ) )
136132, 135mpteq12dv 4279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( ( b  .+  z
)  .-  b )
) )
137 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
b  .+  z )  =  ( b  .+  w ) )
138137oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( b  .+  z
)  .-  b )  =  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) )
139138cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b 
.+  z )  .-  b ) )  =  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w )  .-  b
) )
140136, 139syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w
)  .-  b )
) )
141140rneqd 5089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ran  ( w  e.  (
c  .(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w
)  .-  b )
) )
142 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
.(+)  a )  e. 
_V
143142mptex 5958 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) )  e. 
_V
144143rnex 5125 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w
)  .-  b )
)  e.  _V
145141, 39, 144ovmpt2a 6196 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  X  /\  ( c  .(+)  a )  e.  ( P pSyl  G
) )  ->  (
b  .(+)  ( c  .(+)  a ) )  =  ran  ( w  e.  (
c  .(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w
)  .-  b )
) )
146100, 131, 145syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) )  =  ran  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) ) )
147 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
148 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  x  =  ( b 
.+  c ) )
149148oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )
150149, 148oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) )
151147, 150mpteq12dv 4279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  ( b  .+  c ) ) ) )
152151rneqd 5089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) ) )
15353mptex 5958 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) )  e. 
_V
154153rnex 5125 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  ( b  .+  c ) ) )  e.  _V
155152, 39, 154ovmpt2a 6196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  X  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  ->  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) ) )
156102, 82, 155syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( b  .+  c )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) ) )
157129, 146, 1563eqtr4rd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a )
) )
158157ralrimivva 2790 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) )
15976, 158jca 519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( (
( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) ) )
160159ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ( P pSyl  G ) ( ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) )
16141, 160jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  (  .(+)  : ( X  X.  ( P pSyl  G
) ) --> ( P pSyl 
G )  /\  A. a  e.  ( P pSyl  G ) ( ( ( 0g `  G ) 
.(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) ) ) )
1626, 13, 43isga 15060 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  ( P pSyl 
G ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P pSyl  G )  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  ( P pSyl 
G ) ) --> ( P pSyl  G )  /\  A. a  e.  ( P pSyl 
G ) ( ( ( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) ) ) ) )
1633, 161, 162sylanbrc 646 1  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  ( P pSyl  G )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    _I cid 4485    X. cxp 4868   ran crn 4871    |` cres 4872   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075    ~~ cen 7098   Fincfn 7101   ^cexp 11374   #chash 11610   Primecprime 13071    pCnt cpc 13202   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   -gcsg 14680  SubGrpcsubg 14930    GrpAct cga 15058   pSyl cslw 15158
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  15255  sylow3lem5  15257
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-eqg 14935  df-ghm 14996  df-ga 15059  df-od 15159  df-pgp 15161  df-slw 15162
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