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Theorem sylow3lem2 14955
 Description: Lemma for sylow3 14960, first part. The stabilizer of a given Sylow subgroup in the group action acting on all of is the normalizer NG(K). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem1.a
sylow3lem1.d
sylow3lem1.m pSyl
sylow3lem2.k pSyl
sylow3lem2.h
sylow3lem2.n
Assertion
Ref Expression
sylow3lem2
Distinct variable groups:   ,,,,   , ,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   , ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem sylow3lem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem2.n . . . . 5
2 ssrab2 3271 . . . . 5
31, 2eqsstri 3221 . . . 4
4 sseqin2 3401 . . . 4
53, 4mpbi 199 . . 3
6 simpr 447 . . . . . . . 8
7 sylow3lem2.k . . . . . . . . 9 pSyl
87adantr 451 . . . . . . . 8 pSyl
9 mptexg 5761 . . . . . . . . 9 pSyl
10 rnexg 4956 . . . . . . . . 9
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8
12 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
13 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13
1413oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12
1514, 13oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11
1612, 15mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . 10
1716rneqd 4922 . . . . . . . . 9
18 sylow3lem1.m . . . . . . . . 9 pSyl
1917, 18ovmpt2ga 5993 . . . . . . . 8 pSyl
206, 8, 11, 19syl3anc 1182 . . . . . . 7
2120adantr 451 . . . . . 6
22 slwsubg 14937 . . . . . . . . 9 pSyl SubGrp
237, 22syl 15 . . . . . . . 8 SubGrp
2423adantr 451 . . . . . . 7 SubGrp
25 sylow3.x . . . . . . . 8
26 sylow3lem1.a . . . . . . . 8
27 sylow3lem1.d . . . . . . . 8
28 eqid 2296 . . . . . . . 8
2925, 26, 27, 28, 1conjnmz 14732 . . . . . . 7 SubGrp
3024, 29sylan 457 . . . . . 6
3121, 30eqtr4d 2331 . . . . 5
32 simplr 731 . . . . . 6
33 simprl 732 . . . . . . . . . . 11
3420adantr 451 . . . . . . . . . . 11
3533, 34eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10
3635eleq2d 2363 . . . . . . . . 9
37 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12
38 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . 13
3938rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . 12
4028rnmpt 4941 . . . . . . . . . . . 12
4137, 39, 40elab2 2930 . . . . . . . . . . 11
42 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 sylow3.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4443ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4625subgss 14638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 SubGrp
4723, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4847ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5048, 49sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5125, 26, 27grpaddsubass 14571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5244, 45, 50, 45, 51syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5342, 52eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5425, 27grpsubcl 14562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5544, 50, 45, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
56 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5725, 26grplcan 14550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5844, 55, 56, 45, 57syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5953, 58mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
6025, 26, 27grpsubadd 14569 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6144, 50, 45, 56, 60syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
6259, 61mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14
6362, 49eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13
6463expr 598 . . . . . . . . . . . 12
6564rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . 11
6641, 65syl5bi 208 . . . . . . . . . 10
67 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
68 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15
7169, 28, 70fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . 14
7267, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
7343ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
7625, 26grpass 14512 . . . . . . . . . . . . . . 15
7773, 74, 75, 74, 76syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
7877oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13
7925, 26grpcl 14511 . . . . . . . . . . . . . . 15
8073, 74, 75, 79syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
8125, 26, 27grppncan 14572 . . . . . . . . . . . . . 14
8273, 80, 74, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
8372, 78, 823eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . 12
84 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14
8584, 28fnmpti 5388 . . . . . . . . . . . . 13
86 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . 13
8785, 67, 86sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
8883, 87eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11
8988ex 423 . . . . . . . . . 10
9066, 89impbid 183 . . . . . . . . 9
9136, 90bitrd 244 . . . . . . . 8
9291anassrs 629 . . . . . . 7
9392ralrimiva 2639 . . . . . 6
941elnmz 14672 . . . . . 6
9532, 93, 94sylanbrc 645 . . . . 5
9631, 95impbida 805 . . . 4
9796rabbi2dva 3390 . . 3
985, 97syl5eqr 2342 . 2
99 sylow3lem2.h . 2
10098, 99syl6reqr 2347 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801   cin 3164   wss 3165   cmpt 4093   crn 4706   wfn 5266  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cfn 6879  cprime 12774  cbs 13164   cplusg 13224  cgrp 14378  csg 14381  SubGrpcsubg 14631   pSyl cslw 14859 This theorem is referenced by:  sylow3lem3  14956 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-slw 14863
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