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Theorem sylow3lem2 14955
Description: Lemma for sylow3 14960, first part. The stabilizer of a given Sylow subgroup  K in the group action  .(+) acting on all of  G is the normalizer NG(K). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow3.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow3lem1.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow3lem1.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
sylow3lem1.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
sylow3lem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
sylow3lem2.h  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  K )  =  K }
sylow3lem2.n  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K ) }
Assertion
Ref Expression
sylow3lem2  |-  ( ph  ->  H  =  N )
Distinct variable groups:    x, u, y, z,  .-    u,  .(+) , x, y, z    x, H, y    u, K, x, y, z    u, N, z    u, X, x, y, z    u, G, x, y, z    ph, u, x, y, z    u,  .+ , x, y, z    u, P, x, y, z
Allowed substitution hints:    H( z, u)    N( x, y)

Proof of Theorem sylow3lem2
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem2.n . . . . 5  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K ) }
2 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K
) }  C_  X
31, 2eqsstri 3221 . . . 4  |-  N  C_  X
4 sseqin2 3401 . . . 4  |-  ( N 
C_  X  <->  ( X  i^i  N )  =  N )
53, 4mpbi 199 . . 3  |-  ( X  i^i  N )  =  N
6 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  u  e.  X )
7 sylow3lem2.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
87adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  K  e.  ( P pSyl  G ) )
9 mptexg 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( P pSyl  G
)  ->  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  e.  _V )
10 rnexg 4956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  e.  _V  ->  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  e.  _V )
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  e.  _V )
12 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  y  =  K )
13 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  x  =  u )
1413oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( u 
.+  z ) )
1514, 13oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )
1612, 15mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
1716rneqd 4922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
18 sylow3lem1.m . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
1917, 18ovmpt2ga 5993 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  X  /\  K  e.  ( P pSyl  G )  /\  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  e.  _V )  ->  ( u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
206, 8, 11, 19syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  (
u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
2120adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  (
u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
22 slwsubg 14937 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( P pSyl  G
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
237, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
2423adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  K  e.  (SubGrp `  G )
)
25 sylow3.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
26 sylow3lem1.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
27 sylow3lem1.d . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  G )
28 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  =  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) )
2925, 26, 27, 28, 1conjnmz 14732 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  u  e.  N )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
3024, 29sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
3121, 30eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  (
u  .(+)  K )  =  K )
32 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  u  e.  X )
33 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( u  .(+)  K )  =  K )
3420adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
3533, 34eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
3635eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) ) )
37 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u 
.+  w )  e. 
_V
38 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  .+  w )  ->  (
v  =  ( ( u  .+  z ) 
.-  u )  <->  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
3938rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( u  .+  w )  ->  ( E. z  e.  K  v  =  ( (
u  .+  z )  .-  u )  <->  E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
4028rnmpt 4941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  =  { v  |  E. z  e.  K  v  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u ) }
4137, 39, 40elab2 2930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  <->  E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) )
42 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)
43 sylow3.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4443ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  G  e.  Grp )
45 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  u  e.  X
)
4625subgss 14638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
4723, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
4847ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  K  C_  X
)
49 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  z  e.  K
)
5048, 49sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  z  e.  X
)
5125, 26, 27grpaddsubass 14571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  z  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  z
)  .-  u )  =  ( u  .+  ( z  .-  u
) ) )
5244, 45, 50, 45, 51syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( u 
.+  z )  .-  u )  =  ( u  .+  ( z 
.-  u ) ) )
5342, 52eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( u  .+  ( z  .-  u
) )  =  ( u  .+  w ) )
5425, 27grpsubcl 14562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( z  .-  u
)  e.  X )
5544, 50, 45, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( z  .-  u )  e.  X
)
56 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  w  e.  X
)
5725, 26grplcan 14550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( z  .-  u )  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  (
z  .-  u )
)  =  ( u 
.+  w )  <->  ( z  .-  u )  =  w ) )
5844, 55, 56, 45, 57syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( u 
.+  ( z  .-  u ) )  =  ( u  .+  w
)  <->  ( z  .-  u )  =  w ) )
5953, 58mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  w )
6025, 26, 27grpsubadd 14569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  u  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( z  .-  u
)  =  w  <->  ( w  .+  u )  =  z ) )
6144, 50, 45, 56, 60syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( z 
.-  u )  =  w  <->  ( w  .+  u )  =  z ) )
6259, 61mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( w  .+  u )  =  z )
6362, 49eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( w  .+  u )  e.  K
)
6463expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  z  e.  K )  ->  (
( u  .+  w
)  =  ( ( u  .+  z ) 
.-  u )  -> 
( w  .+  u
)  e.  K ) )
6564rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )  ->  ( w  .+  u
)  e.  K ) )
6641, 65syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  ->  (
w  .+  u )  e.  K ) )
67 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( w  .+  u )  e.  K
)
68 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  .+  u )  ->  (
u  .+  z )  =  ( u  .+  ( w  .+  u ) ) )
6968oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  .+  u )  ->  (
( u  .+  z
)  .-  u )  =  ( ( u 
.+  ( w  .+  u ) )  .-  u ) )
70 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) 
.-  u )  e. 
_V
7169, 28, 70fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  .+  u )  e.  K  ->  (
( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) ) `  (
w  .+  u )
)  =  ( ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) 
.-  u ) )
7267, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  =  ( ( u  .+  ( w  .+  u ) )  .-  u ) )
7343ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  G  e.  Grp )
74 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  u  e.  X )
75 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  w  e.  X )
7625, 26grpass 14512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  w
)  .+  u )  =  ( u  .+  ( w  .+  u ) ) )
7773, 74, 75, 74, 76syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
u  .+  w )  .+  u )  =  ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) )
7877oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
( u  .+  w
)  .+  u )  .-  u )  =  ( ( u  .+  (
w  .+  u )
)  .-  u )
)
7925, 26grpcl 14511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( u  .+  w
)  e.  X )
8073, 74, 75, 79syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( u  .+  w )  e.  X
)
8125, 26, 27grppncan 14572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  w )  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  (
( ( u  .+  w )  .+  u
)  .-  u )  =  ( u  .+  w ) )
8273, 80, 74, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
( u  .+  w
)  .+  u )  .-  u )  =  ( u  .+  w ) )
8372, 78, 823eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  =  ( u  .+  w
) )
84 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  .+  z ) 
.-  u )  e. 
_V
8584, 28fnmpti 5388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  Fn  K
86 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  Fn  K  /\  ( w  .+  u
)  e.  K )  ->  ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) `
 ( w  .+  u ) )  e. 
ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
8785, 67, 86sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  e. 
ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
8883, 87eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) ) )
8988ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( w  .+  u )  e.  K  ->  ( u  .+  w
)  e.  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) ) )
9066, 89impbid 183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) )
9136, 90bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K ) )
9291anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( u  .(+)  K )  =  K )  /\  w  e.  X )  ->  ( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K ) )
9392ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  A. w  e.  X  ( (
u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) )
941elnmz 14672 . . . . . 6  |-  ( u  e.  N  <->  ( u  e.  X  /\  A. w  e.  X  ( (
u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) ) )
9532, 93, 94sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  u  e.  N )
9631, 95impbida 805 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  (
u  e.  N  <->  ( u  .(+) 
K )  =  K ) )
9796rabbi2dva 3390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  N
)  =  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  K )  =  K } )
985, 97syl5eqr 2342 . 2  |-  ( ph  ->  N  =  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  K )  =  K } )
99 sylow3lem2.h . 2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  K )  =  K }
10098, 99syl6reqr 2347 1  |-  ( ph  ->  H  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165    e. cmpt 4093   ran crn 4706    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Fincfn 6879   Primecprime 12774   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381  SubGrpcsubg 14631   pSyl cslw 14859
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  14956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-slw 14863
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