Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem3 Structured version   Unicode version

Theorem sylow3lem3 15263
 Description: Lemma for sylow3 15267, first part. The number of Sylow subgroups is the same as the index (number of cosets) of the normalizer of the Sylow subgroup . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem1.a
sylow3lem1.d
sylow3lem1.m pSyl
sylow3lem2.k pSyl
sylow3lem2.h
sylow3lem2.n
Assertion
Ref Expression
sylow3lem3 pSyl ~QG
Distinct variable groups:   ,,,,   , ,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   , ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem sylow3lem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.xf . . . . . 6
2 pwfi 7402 . . . . . 6
31, 2sylib 189 . . . . 5
4 slwsubg 15244 . . . . . . . 8 pSyl SubGrp
5 sylow3.x . . . . . . . . 9
65subgss 14945 . . . . . . . 8 SubGrp
74, 6syl 16 . . . . . . 7 pSyl
8 vex 2959 . . . . . . . 8
98elpw 3805 . . . . . . 7
107, 9sylibr 204 . . . . . 6 pSyl
1110ssriv 3352 . . . . 5 pSyl
12 ssfi 7329 . . . . 5 pSyl pSyl
133, 11, 12sylancl 644 . . . 4 pSyl
14 hashcl 11639 . . . 4 pSyl pSyl
1513, 14syl 16 . . 3 pSyl
1615nn0cnd 10276 . 2 pSyl
17 sylow3.g . . . . . . . 8
18 sylow3lem2.n . . . . . . . . 9
19 sylow3lem1.a . . . . . . . . 9
2018, 5, 19nmzsubg 14981 . . . . . . . 8 SubGrp
2117, 20syl 16 . . . . . . 7 SubGrp
22 eqid 2436 . . . . . . . 8 ~QG ~QG
235, 22eqger 14990 . . . . . . 7 SubGrp ~QG
2421, 23syl 16 . . . . . 6 ~QG
2524qsss 6965 . . . . 5 ~QG
26 ssfi 7329 . . . . 5 ~QG ~QG
273, 25, 26syl2anc 643 . . . 4 ~QG
28 hashcl 11639 . . . 4 ~QG ~QG
2927, 28syl 16 . . 3 ~QG
3029nn0cnd 10276 . 2 ~QG
31 eqid 2436 . . . . . . 7
3231subg0cl 14952 . . . . . 6 SubGrp
3321, 32syl 16 . . . . 5
34 ne0i 3634 . . . . 5
3533, 34syl 16 . . . 4
365subgss 14945 . . . . . . 7 SubGrp
3721, 36syl 16 . . . . . 6
38 ssfi 7329 . . . . . 6
391, 37, 38syl2anc 643 . . . . 5
40 hashnncl 11645 . . . . 5
4139, 40syl 16 . . . 4
4235, 41mpbird 224 . . 3
4342nncnd 10016 . 2
4442nnne0d 10044 . 2
45 sylow3.p . . . . 5
46 sylow3lem1.d . . . . 5
47 sylow3lem1.m . . . . 5 pSyl
485, 17, 1, 45, 19, 46, 47sylow3lem1 15261 . . . 4 pSyl
49 sylow3lem2.k . . . 4 pSyl
50 sylow3lem2.h . . . . 5
51 eqid 2436 . . . . 5 ~QG ~QG
52 eqid 2436 . . . . 5 pSyl pSyl
535, 50, 51, 52orbsta2 15091 . . . 4 pSyl pSyl pSyl
5448, 49, 1, 53syl21anc 1183 . . 3 pSyl
555, 22, 21, 1lagsubg2 15001 . . 3 ~QG
5652, 5gaorber 15085 . . . . . . . 8 pSyl pSyl pSyl
5748, 56syl 16 . . . . . . 7 pSyl pSyl
5857ecss 6946 . . . . . 6 pSyl pSyl
5949adantr 452 . . . . . . . . . 10 pSyl pSyl
60 simpr 448 . . . . . . . . . 10 pSyl pSyl
611adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
625, 61, 60, 59, 19, 46sylow2 15260 . . . . . . . . . . 11 pSyl
63 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . 13
64 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
6559adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl pSyl
66 mptexg 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pSyl
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pSyl
68 rnexg 5131 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
70 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7271oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372, 71oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7470, 73mpteq12dv 4287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675, 47ovmpt2ga 6203 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
7764, 65, 69, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
7877eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
7963, 78syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
8079rexbidva 2722 . . . . . . . . . . 11 pSyl
8162, 80mpbird 224 . . . . . . . . . 10 pSyl
8252gaorb 15084 . . . . . . . . . 10 pSyl pSyl pSyl
8359, 60, 81, 82syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9 pSyl pSyl
84 elecg 6943 . . . . . . . . . 10 pSyl pSyl pSyl pSyl
8560, 59, 84syl2anc 643 . . . . . . . . 9 pSyl pSyl pSyl
8683, 85mpbird 224 . . . . . . . 8 pSyl pSyl
8786ex 424 . . . . . . 7 pSyl pSyl
8887ssrdv 3354 . . . . . 6 pSyl pSyl
8958, 88eqssd 3365 . . . . 5 pSyl pSyl
9089fveq2d 5732 . . . 4 pSyl pSyl
915, 17, 1, 45, 19, 46, 47, 49, 50, 18sylow3lem2 15262 . . . . 5
9291fveq2d 5732 . . . 4
9390, 92oveq12d 6099 . . 3 pSyl pSyl
9454, 55, 933eqtr3rd 2477 . 2 pSyl ~QG
9516, 30, 43, 44, 94mulcan2ad 9658 1 pSyl ~QG
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  cpr 3815   class class class wbr 4212  copab 4265   cmpt 4266   crn 4879  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083   wer 6902  cec 6903  cqs 6904  cfn 7109   cmul 8995  cn 10000  cn0 10221  chash 11618  cprime 13079  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723  cgrp 14685  csg 14688  SubGrpcsubg 14938   ~QG cqg 14940   cga 15066   pSyl cslw 15166 This theorem is referenced by:  sylow3lem4  15264 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-ga 15067  df-od 15167  df-pgp 15169  df-slw 15170
 Copyright terms: Public domain W3C validator