Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem4 Structured version   Unicode version

Theorem sylow3lem4 15264
 Description: Lemma for sylow3 15267, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of reduced by the size of a Sylow subgroup of . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem1.a
sylow3lem1.d
sylow3lem1.m pSyl
sylow3lem2.k pSyl
sylow3lem2.h
sylow3lem2.n
Assertion
Ref Expression
sylow3lem4 pSyl
Distinct variable groups:   ,,,,   , ,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   , ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem sylow3lem4
StepHypRef Expression
1 sylow3.x . . 3
2 sylow3.g . . 3
3 sylow3.xf . . 3
4 sylow3.p . . 3
5 sylow3lem1.a . . 3
6 sylow3lem1.d . . 3
7 sylow3lem1.m . . 3 pSyl
8 sylow3lem2.k . . 3 pSyl
9 sylow3lem2.h . . 3
10 sylow3lem2.n . . 3
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sylow3lem3 15263 . 2 pSyl ~QG
12 slwsubg 15244 . . . . . . . . . 10 pSyl SubGrp
138, 12syl 16 . . . . . . . . 9 SubGrp
14 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11 s s
1510, 1, 5, 14nmznsg 14984 . . . . . . . . . 10 SubGrp NrmSGrps
16 nsgsubg 14972 . . . . . . . . . 10 NrmSGrps SubGrps
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrps
1813, 17syl 16 . . . . . . . 8 SubGrps
1910, 1, 5nmzsubg 14981 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
202, 19syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp
2114subgbas 14948 . . . . . . . . . 10 SubGrp s
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9 s
231subgss 14945 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
25 ssfi 7329 . . . . . . . . . 10
263, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . 9
2722, 26eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8 s
28 eqid 2436 . . . . . . . . 9 s s
2928lagsubg 15002 . . . . . . . 8 SubGrps s s
3018, 27, 29syl2anc 643 . . . . . . 7 s
3122fveq2d 5732 . . . . . . 7 s
3230, 31breqtrrd 4238 . . . . . 6
33 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
3433subg0cl 14952 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
3513, 34syl 16 . . . . . . . . . 10
36 ne0i 3634 . . . . . . . . . 10
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9
381subgss 14945 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
3913, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11
40 ssfi 7329 . . . . . . . . . . 11
413, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
42 hashnncl 11645 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9
4437, 43mpbird 224 . . . . . . . 8
4544nnzd 10374 . . . . . . 7
46 hashcl 11639 . . . . . . . . 9
4726, 46syl 16 . . . . . . . 8
4847nn0zd 10373 . . . . . . 7
49 pwfi 7402 . . . . . . . . . . 11
503, 49sylib 189 . . . . . . . . . 10
51 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13 ~QG ~QG
521, 51eqger 14990 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp ~QG
5320, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11 ~QG
5453qsss 6965 . . . . . . . . . 10 ~QG
55 ssfi 7329 . . . . . . . . . 10 ~QG ~QG
5650, 54, 55syl2anc 643 . . . . . . . . 9 ~QG
57 hashcl 11639 . . . . . . . . 9 ~QG ~QG
5856, 57syl 16 . . . . . . . 8 ~QG
5958nn0zd 10373 . . . . . . 7 ~QG
60 dvdscmul 12876 . . . . . . 7 ~QG ~QG ~QG
6145, 48, 59, 60syl3anc 1184 . . . . . 6 ~QG ~QG
6232, 61mpd 15 . . . . 5 ~QG ~QG
63 hashcl 11639 . . . . . . . . 9
643, 63syl 16 . . . . . . . 8
6564nn0cnd 10276 . . . . . . 7
6644nncnd 10016 . . . . . . 7
6744nnne0d 10044 . . . . . . 7
6865, 66, 67divcan1d 9791 . . . . . 6
691, 51, 20, 3lagsubg2 15001 . . . . . 6 ~QG
7068, 69eqtrd 2468 . . . . 5 ~QG
7162, 70breqtrrd 4238 . . . 4 ~QG
721lagsubg 15002 . . . . . . 7 SubGrp
7313, 3, 72syl2anc 643 . . . . . 6
7464nn0zd 10373 . . . . . . 7
75 dvdsval2 12855 . . . . . . 7
7645, 67, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . 6
7773, 76mpbid 202 . . . . 5
78 dvdsmulcr 12879 . . . . 5 ~QG ~QG ~QG
7959, 77, 45, 67, 78syl112anc 1188 . . . 4 ~QG ~QG
8071, 79mpbid 202 . . 3 ~QG
811, 3, 8slwhash 15258 . . . 4
8281oveq2d 6097 . . 3
8380, 82breqtrd 4236 . 2 ~QG
8411, 83eqbrtrd 4232 1 pSyl
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  crab 2709   wss 3320  c0 3628  cpw 3799   class class class wbr 4212   cmpt 4266   crn 4879  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083   wer 6902  cqs 6904  cfn 7109  cc0 8990   cmul 8995   cdiv 9677  cn 10000  cn0 10221  cz 10282  cexp 11382  chash 11618   cdivides 12852  cprime 13079   cpc 13210  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529  c0g 13723  cgrp 14685  csg 14688  SubGrpcsubg 14938  NrmSGrpcnsg 14939   ~QG cqg 14940   pSyl cslw 15166 This theorem is referenced by:  sylow3  15267 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-ga 15067  df-od 15167  df-pgp 15169  df-slw 15170
 Copyright terms: Public domain W3C validator