MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem5 Structured version   Unicode version

Theorem sylow3lem5 15296
Description: Lemma for sylow3 15298, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 15292 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow3.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow3lem5.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow3lem5.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
sylow3lem5.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
sylow3lem5.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  K , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
Assertion
Ref Expression
sylow3lem5  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( ( Gs  K )  GrpAct  ( P pSyl 
G ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .-    x,  .(+) , y, z   
x, K, y, z   
x, X, y, z   
x, G, y, z    ph, x, y, z    x,  .+ , y, z    x, P, y, z

Proof of Theorem sylow3lem5
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem5.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
2 slwsubg 15275 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( P pSyl  G
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
4 sylow3.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
54subgss 14976 . . . . 5  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
63, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
7 ssid 3353 . . . 4  |-  ( P pSyl 
G )  C_  ( P pSyl  G )
8 resmpt2 6197 . . . 4  |-  ( ( K  C_  X  /\  ( P pSyl  G )  C_  ( P pSyl  G ) )  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )  |`  ( K  X.  ( P pSyl  G
) ) )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  ( P pSyl  G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) ) )
96, 7, 8sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G ) 
|->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) )  |`  ( K  X.  ( P pSyl  G ) ) )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  ( P pSyl  G ) 
|->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) ) )
10 sylow3lem5.m . . 3  |-  .(+)  =  ( x  e.  K , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
119, 10syl6eqr 2492 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G ) 
|->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) )  |`  ( K  X.  ( P pSyl  G ) ) )  =  .(+)  )
12 sylow3.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
13 sylow3.xf . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
14 sylow3.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
15 sylow3lem5.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
16 sylow3lem5.d . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
17 oveq2 6118 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  c  ->  (
x  .+  z )  =  ( x  .+  c ) )
1817oveq1d 6125 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  c  ->  (
( x  .+  z
)  .-  x )  =  ( ( x 
.+  c )  .-  x ) )
1918cbvmptv 4325 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) )  =  ( c  e.  y  |->  ( ( x 
.+  c )  .-  x ) )
20 oveq1 6117 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
x  .+  c )  =  ( a  .+  c ) )
21 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
2220, 21oveq12d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  .+  c
)  .-  x )  =  ( ( a 
.+  c )  .-  a ) )
2322mpteq2dv 4321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
c  e.  y  |->  ( ( x  .+  c
)  .-  x )
)  =  ( c  e.  y  |->  ( ( a  .+  c ) 
.-  a ) ) )
2419, 23syl5eq 2486 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
)  =  ( c  e.  y  |->  ( ( a  .+  c ) 
.-  a ) ) )
2524rneqd 5126 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ran  ( c  e.  y 
|->  ( ( a  .+  c )  .-  a
) ) )
26 mpteq1 4314 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
c  e.  y  |->  ( ( a  .+  c
)  .-  a )
)  =  ( c  e.  b  |->  ( ( a  .+  c ) 
.-  a ) ) )
2726rneqd 5126 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  ran  ( c  e.  y 
|->  ( ( a  .+  c )  .-  a
) )  =  ran  ( c  e.  b 
|->  ( ( a  .+  c )  .-  a
) ) )
2825, 27cbvmpt2v 6181 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G
)  |->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  =  ( a  e.  X ,  b  e.  ( P pSyl  G
)  |->  ran  ( c  e.  b  |->  ( ( a  .+  c ) 
.-  a ) ) )
294, 12, 13, 14, 15, 16, 28sylow3lem1 15292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )  e.  ( G  GrpAct  ( P pSyl  G
) ) )
30 eqid 2442 . . . 4  |-  ( Gs  K )  =  ( Gs  K )
3130gasubg 15110 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )  e.  ( G  GrpAct  ( P pSyl  G
) )  /\  K  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )  |`  ( K  X.  ( P pSyl  G
) ) )  e.  ( ( Gs  K ) 
GrpAct  ( P pSyl  G ) ) )
3229, 3, 31syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G ) 
|->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) )  |`  ( K  X.  ( P pSyl  G ) ) )  e.  ( ( Gs  K )  GrpAct  ( P pSyl  G
) ) )
3311, 32eqeltrrd 2517 1  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( ( Gs  K )  GrpAct  ( P pSyl 
G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727    C_ wss 3306    e. cmpt 4291    X. cxp 4905   ran crn 4908    |` cres 4909   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   Fincfn 7138   Primecprime 13110   Basecbs 13500   ↾s cress 13501   +g cplusg 13560   Grpcgrp 14716   -gcsg 14719  SubGrpcsubg 14969    GrpAct cga 15097   pSyl cslw 15197
This theorem is referenced by:  sylow3lem6  15297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-disj 4208  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-ec 6936  df-qs 6940  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-acn 7860  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-bc 11625  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511  df-dvds 12884  df-gcd 13038  df-prm 13111  df-pc 13242  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-mulg 14846  df-subg 14972  df-eqg 14974  df-ghm 15035  df-ga 15098  df-od 15198  df-pgp 15200  df-slw 15201
  Copyright terms: Public domain W3C validator