MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem5 Unicode version

Theorem sylow3lem5 14958
Description: Lemma for sylow3 14960, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 14954 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow3.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow3lem5.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow3lem5.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
sylow3lem5.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
sylow3lem5.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  K , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
Assertion
Ref Expression
sylow3lem5  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( ( Gs  K )  GrpAct  ( P pSyl 
G ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .-    x,  .(+) , y, z   
x, K, y, z   
x, X, y, z   
x, G, y, z    ph, x, y, z    x,  .+ , y, z    x, P, y, z

Proof of Theorem sylow3lem5
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem5.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
2 slwsubg 14937 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( P pSyl  G
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
4 sylow3.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
54subgss 14638 . . . . 5  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
63, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
7 ssid 3210 . . . 4  |-  ( P pSyl 
G )  C_  ( P pSyl  G )
8 resmpt2 5958 . . . 4  |-  ( ( K  C_  X  /\  ( P pSyl  G )  C_  ( P pSyl  G ) )  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )  |`  ( K  X.  ( P pSyl  G
) ) )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  ( P pSyl  G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) ) )
96, 7, 8sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G ) 
|->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) )  |`  ( K  X.  ( P pSyl  G ) ) )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  ( P pSyl  G ) 
|->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) ) )
10 sylow3lem5.m . . 3  |-  .(+)  =  ( x  e.  K , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
119, 10syl6eqr 2346 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G ) 
|->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) )  |`  ( K  X.  ( P pSyl  G ) ) )  =  .(+)  )
12 sylow3.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
13 sylow3.xf . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
14 sylow3.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
15 sylow3lem5.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
16 sylow3lem5.d . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
17 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  c  ->  (
x  .+  z )  =  ( x  .+  c ) )
1817oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  c  ->  (
( x  .+  z
)  .-  x )  =  ( ( x 
.+  c )  .-  x ) )
1918cbvmptv 4127 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) )  =  ( c  e.  y  |->  ( ( x 
.+  c )  .-  x ) )
20 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
x  .+  c )  =  ( a  .+  c ) )
21 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
2220, 21oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  .+  c
)  .-  x )  =  ( ( a 
.+  c )  .-  a ) )
2322mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
c  e.  y  |->  ( ( x  .+  c
)  .-  x )
)  =  ( c  e.  y  |->  ( ( a  .+  c ) 
.-  a ) ) )
2419, 23syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
)  =  ( c  e.  y  |->  ( ( a  .+  c ) 
.-  a ) ) )
2524rneqd 4922 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ran  ( c  e.  y 
|->  ( ( a  .+  c )  .-  a
) ) )
26 mpteq1 4116 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
c  e.  y  |->  ( ( a  .+  c
)  .-  a )
)  =  ( c  e.  b  |->  ( ( a  .+  c ) 
.-  a ) ) )
2726rneqd 4922 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  ran  ( c  e.  y 
|->  ( ( a  .+  c )  .-  a
) )  =  ran  ( c  e.  b 
|->  ( ( a  .+  c )  .-  a
) ) )
2825, 27cbvmpt2v 5942 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G
)  |->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  =  ( a  e.  X ,  b  e.  ( P pSyl  G
)  |->  ran  ( c  e.  b  |->  ( ( a  .+  c ) 
.-  a ) ) )
294, 12, 13, 14, 15, 16, 28sylow3lem1 14954 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )  e.  ( G  GrpAct  ( P pSyl  G
) ) )
30 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Gs  K )  =  ( Gs  K )
3130gasubg 14772 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )  e.  ( G  GrpAct  ( P pSyl  G
) )  /\  K  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )  |`  ( K  X.  ( P pSyl  G
) ) )  e.  ( ( Gs  K ) 
GrpAct  ( P pSyl  G ) ) )
3229, 3, 31syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  ( P pSyl  G ) 
|->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) )  |`  ( K  X.  ( P pSyl  G ) ) )  e.  ( ( Gs  K )  GrpAct  ( P pSyl  G
) ) )
3311, 32eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( ( Gs  K )  GrpAct  ( P pSyl 
G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Fincfn 6879   Primecprime 12774   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381  SubGrpcsubg 14631    GrpAct cga 14759   pSyl cslw 14859
This theorem is referenced by:  sylow3lem6  14959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-ga 14760  df-od 14860  df-pgp 14862  df-slw 14863
  Copyright terms: Public domain W3C validator