Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem6 Structured version   Unicode version

Theorem sylow3lem6 15268
 Description: Lemma for sylow3 15269, second part. Using the lemma sylow2a 15255, show that the number of sylow subgroups is equivalent to the number of fixed points under the group action. But is the unique element of the set of Sylow subgroups that is fixed under the group action, so there is exactly one fixed point and so pSyl . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem5.a
sylow3lem5.d
sylow3lem5.k pSyl
sylow3lem5.m pSyl
sylow3lem6.n
Assertion
Ref Expression
sylow3lem6 pSyl
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,   ,,,,   ,,,,   , ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem sylow3lem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5 s s
2 sylow3.x . . . . . 6
3 sylow3.g . . . . . 6
4 sylow3.xf . . . . . 6
5 sylow3.p . . . . . 6
6 sylow3lem5.a . . . . . 6
7 sylow3lem5.d . . . . . 6
8 sylow3lem5.k . . . . . 6 pSyl
9 sylow3lem5.m . . . . . 6 pSyl
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow3lem5 15267 . . . . 5 s pSyl
11 eqid 2438 . . . . . . 7 s s
1211slwpgp 15249 . . . . . 6 pSyl pGrp s
138, 12syl 16 . . . . 5 pGrp s
14 slwsubg 15246 . . . . . . . 8 pSyl SubGrp
158, 14syl 16 . . . . . . 7 SubGrp
1611subgbas 14950 . . . . . . 7 SubGrp s
1715, 16syl 16 . . . . . 6 s
182subgss 14947 . . . . . . . 8 SubGrp
1915, 18syl 16 . . . . . . 7
20 ssfi 7331 . . . . . . 7
214, 19, 20syl2anc 644 . . . . . 6
2217, 21eqeltrrd 2513 . . . . 5 s
23 pwfi 7404 . . . . . . 7
244, 23sylib 190 . . . . . 6
25 slwsubg 15246 . . . . . . . . 9 pSyl SubGrp
262subgss 14947 . . . . . . . . 9 SubGrp
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8 pSyl
28 vex 2961 . . . . . . . . 9
2928elpw 3807 . . . . . . . 8
3027, 29sylibr 205 . . . . . . 7 pSyl
3130ssriv 3354 . . . . . 6 pSyl
32 ssfi 7331 . . . . . 6 pSyl pSyl
3324, 31, 32sylancl 645 . . . . 5 pSyl
34 eqid 2438 . . . . 5 pSyl s pSyl s
35 eqid 2438 . . . . 5 pSyl s pSyl s
361, 10, 13, 22, 33, 34, 35sylow2a 15255 . . . 4 pSyl pSyl s
37 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . 14
3819adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pSyl
3938sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
4039biantrurd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
4137, 40syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
42 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
43 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl pSyl
44 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4645oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4746, 45oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4844, 47mpteq12dv 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948rneqd 5099 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5150mptex 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251rnex 5135 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5349, 9, 52ovmpt2a 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
5442, 43, 53syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
5554eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
56 slwsubg 15246 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl SubGrp
5756ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl SubGrp
58 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 sylow3lem6.n . . . . . . . . . . . . . . 15
602, 6, 7, 58, 59conjnmzb 15042 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
6157, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
6241, 55, 613bitr4d 278 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
6362ralbidva 2723 . . . . . . . . . . 11 pSyl
64 dfss3 3340 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl6bbr 256 . . . . . . . . . 10 pSyl
6617adantr 453 . . . . . . . . . . 11 pSyl s
6766raleqdv 2912 . . . . . . . . . 10 pSyl s
68 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 s s
693ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pSyl
7059, 2, 6nmzsubg 14983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl SubGrp
72 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s
7372subgbas 14950 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp s
7471, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl s
754ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
762subgss 14947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
7771, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
78 ssfi 7331 . . . . . . . . . . . . . . 15
7975, 77, 78syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
8074, 79eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl s
818ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl pSyl
82 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
8372subgslw 15252 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pSyl pSyl s
8471, 81, 82, 83syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl pSyl s
85 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl pSyl
8656ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl SubGrp
8759, 2, 6ssnmz 14984 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
8972subgslw 15252 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pSyl pSyl s
9071, 85, 88, 89syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl pSyl s
91 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
922, 91eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392rabex 4356 . . . . . . . . . . . . . . 15
9459, 93eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . 14
9572, 6ressplusg 13573 . . . . . . . . . . . . . 14 s
9694, 95ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13 s
97 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 s s
9868, 80, 84, 90, 96, 97sylow2 15262 . . . . . . . . . . . 12 pSyl s s
9959, 2, 6, 72nmznsg 14986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp NrmSGrps
10086, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl NrmSGrps
101 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s
10268, 96, 97, 101conjnsg 15043 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmSGrps s s
103100, 102sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl s s
104 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . . . . 14 s s
105103, 104syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl s s
106105rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . 12 pSyl s s
10798, 106mpd 15 . . . . . . . . . . 11 pSyl
108 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
10915ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl SubGrp
110108, 109eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl SubGrp
111110, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
112108, 111eqsstr3d 3385 . . . . . . . . . . 11 pSyl
113107, 112impbida 807 . . . . . . . . . 10 pSyl
11465, 67, 1133bitr3d 276 . . . . . . . . 9 pSyl s
115114rabbidva 2949 . . . . . . . 8 pSyl s pSyl
116 rabsn 3875 . . . . . . . . 9 pSyl pSyl
1178, 116syl 16 . . . . . . . 8 pSyl
118115, 117eqtrd 2470 . . . . . . 7 pSyl s
119118fveq2d 5734 . . . . . 6 pSyl s
120 hashsng 11649 . . . . . . 7 pSyl
1218, 120syl 16 . . . . . 6
122119, 121eqtrd 2470 . . . . 5 pSyl s
123122oveq2d 6099 . . . 4 pSyl pSyl s pSyl
12436, 123breqtrd 4238 . . 3 pSyl
125 prmnn 13084 . . . . 5
1265, 125syl 16 . . . 4
127 hashcl 11641 . . . . . 6 pSyl pSyl
12833, 127syl 16 . . . . 5 pSyl
129128nn0zd 10375 . . . 4 pSyl
130 1z 10313 . . . . 5
131130a1i 11 . . . 4
132 moddvds 12861 . . . 4 pSyl pSyl pSyl
133126, 129, 131, 132syl3anc 1185 . . 3 pSyl pSyl
134124, 133mpbird 225 . 2 pSyl
135 prmuz2 13099 . . 3
136 eluz2b2 10550 . . . 4
137 nnre 10009 . . . . 5
138 1mod 11275 . . . . 5
139137, 138sylan 459 . . . 4
140136, 139sylbi 189 . . 3
1415, 135, 1403syl 19 . 2
142134, 141eqtrd 2470 1 pSyl
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   wss 3322  cpw 3801  csn 3816  cpr 3817   class class class wbr 4214  copab 4267   cmpt 4268   crn 4881  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  cfn 7111  cr 8991  c1 8993   clt 9122   cmin 9293  cn 10002  c2 10051  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490   cmo 11252  chash 11620   cdivides 12854  cprime 13081  cbs 13471   ↾s cress 13472   cplusg 13531  cgrp 14687  csg 14690  SubGrpcsubg 14940  NrmSGrpcnsg 14941   pGrp cpgp 15167   pSyl cslw 15168 This theorem is referenced by:  sylow3  15269 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-eqg 14945  df-ghm 15006  df-ga 15069  df-od 15169  df-pgp 15171  df-slw 15172
 Copyright terms: Public domain W3C validator