Theorem symdif2 2256

Description: Two ways to express symmetric difference.

Assertion

Ref	Expression
symdif2	|- ((A \ B) u. (B \ A)) = {x | -. (x e. A <-> x e. B)}

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem symdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 2163	. . 3 |- (x e. ((A \ B) u. (B \ A)) <-> (x e. (A \ B) \/ x e. (B \ A)))
2		eldif 2047	. . . . 5 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
3		pm4.13 161	. . . . . 6 |- (x e. A <-> -. -. x e. A)
4	3	anbi1i 480	. . . . 5 |- ((x e. A /\ -. x e. B) <-> (-. -. x e. A /\ -. x e. B))
5	2, 4	bitr 173	. . . 4 |- (x e. (A \ B) <-> (-. -. x e. A /\ -. x e. B))
6		eldif 2047	. . . . 5 |- (x e. (B \ A) <-> (x e. B /\ -. x e. A))
7		ancom 435	. . . . 5 |- ((x e. B /\ -. x e. A) <-> (-. x e. A /\ x e. B))
8	6, 7	bitr 173	. . . 4 |- (x e. (B \ A) <-> (-. x e. A /\ x e. B))
9	5, 8	orbi12i 257	. . 3 |- ((x e. (A \ B) \/ x e. (B \ A)) <-> ((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)))
10		orcom 246	. . . 4 |- (((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)) <-> ((-. x e. A /\ x e. B) \/ (-. -. x e. A /\ -. x e. B)))
11		dfbi 668	. . . 4 |- ((-. x e. A <-> x e. B) <-> ((-. x e. A /\ x e. B) \/ (-. -. x e. A /\ -. x e. B)))
12		nbbn 659	. . . 4 |- ((-. x e. A <-> x e. B) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
13	10, 11, 12	3bitr2 179	. . 3 |- (((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
14	1, 9, 13	3bitr 177	. 2 |- (x e. ((A \ B) u. (B \ A)) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
15	14	abbi2i 1566	1 |- ((A \ B) u. (B \ A)) = {x | -. (x e. A <-> x e. B)}

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456   \ cdif 2034   u. cun 2035

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040

Copyright terms: Public domain