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Theorem symdifass 23782
Description: Symmetric difference associates. (Contributed by Scott Fenton, 24-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
symdifass  |-  ( A(++) ( B(++) C ) )  =  ( ( A(++) B )(++) C
)

Proof of Theorem symdifass
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biass 348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) ) )
21notbii 287 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  x  e.  C
)  <->  -.  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) ) )
3 xor3 346 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  -.  x  e.  C ) )
4 notbi 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  -.  x  e.  C ) )
53, 4bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
65con1bii 321 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  x  e.  C
)  <->  ( -.  (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
7 xor3 346 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  B  <->  x  e.  C ) )  <->  ( x  e.  A  <->  -.  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) ) )
82, 6, 73bitr3ri 267 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  <->  -.  (
x  e.  B  <->  x  e.  C ) )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
9 elsymdif 23778 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B(++) C
)  <->  -.  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) )
109bibi2i 304 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B(++) C ) )  <-> 
( x  e.  A  <->  -.  ( x  e.  B  <->  x  e.  C ) ) )
11 elsymdif 23778 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A(++) B
)  <->  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
1211bibi1i 305 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A(++) B )  <->  x  e.  C )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
138, 10, 123bitr4i 268 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B(++) C ) )  <-> 
( x  e.  ( A(++) B )  <->  x  e.  C ) )
1413notbii 287 . . 3  |-  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B(++) C
) )  <->  -.  (
x  e.  ( A(++) B )  <->  x  e.  C ) )
15 elsymdif 23778 . . 3  |-  ( x  e.  ( A(++) ( B(++) C ) )  <->  -.  (
x  e.  A  <->  x  e.  ( B(++) C ) ) )
16 elsymdif 23778 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A(++) B )(++) C )  <->  -.  ( x  e.  ( A(++) B )  <->  x  e.  C ) )
1714, 15, 163bitr4i 268 . 2  |-  ( x  e.  ( A(++) ( B(++) C ) )  <->  x  e.  ( ( A(++) B
)(++) C ) )
1817eqriv 2280 1  |-  ( A(++) ( B(++) C ) )  =  ( ( A(++) B )(++) C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684  (++)csymdif 23772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-symdif 23773
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