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Theorem symdifass 25664
Description: Symmetric difference associates. (Contributed by Scott Fenton, 24-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
symdifass  |-  ( A(++) ( B(++) C ) )  =  ( ( A(++) B )(++) C
)

Proof of Theorem symdifass
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biass 349 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) ) )
21notbii 288 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  x  e.  C
)  <->  -.  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) ) )
3 xor3 347 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  -.  x  e.  C ) )
4 notbi 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  -.  x  e.  C ) )
53, 4bitr4i 244 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
65con1bii 322 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  x  e.  C
)  <->  ( -.  (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
7 xor3 347 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  B  <->  x  e.  C ) )  <->  ( x  e.  A  <->  -.  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) ) )
82, 6, 73bitr3ri 268 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  <->  -.  (
x  e.  B  <->  x  e.  C ) )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
9 elsymdif 25660 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B(++) C
)  <->  -.  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) )
109bibi2i 305 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B(++) C ) )  <-> 
( x  e.  A  <->  -.  ( x  e.  B  <->  x  e.  C ) ) )
11 elsymdif 25660 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A(++) B
)  <->  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
1211bibi1i 306 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A(++) B )  <->  x  e.  C )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
138, 10, 123bitr4i 269 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B(++) C ) )  <-> 
( x  e.  ( A(++) B )  <->  x  e.  C ) )
1413notbii 288 . . 3  |-  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B(++) C
) )  <->  -.  (
x  e.  ( A(++) B )  <->  x  e.  C ) )
15 elsymdif 25660 . . 3  |-  ( x  e.  ( A(++) ( B(++) C ) )  <->  -.  (
x  e.  A  <->  x  e.  ( B(++) C ) ) )
16 elsymdif 25660 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A(++) B )(++) C )  <->  -.  ( x  e.  ( A(++) B )  <->  x  e.  C ) )
1714, 15, 163bitr4i 269 . 2  |-  ( x  e.  ( A(++) ( B(++) C ) )  <->  x  e.  ( ( A(++) B
)(++) C ) )
1817eqriv 2432 1  |-  ( A(++) ( B(++) C ) )  =  ( ( A(++) B )(++) C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725  (++)csymdif 25654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-symdif 25655
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