MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbas Structured version   Unicode version

Theorem symgbas 15095
Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symgbas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgbas  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    G( x)

Proof of Theorem symgbas
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 f1of 5674 . . . . . . . 8  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
3 elmapg 7031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
x : A --> A ) )
43anidms 627 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
x  e.  ( A  ^m  A )  <->  x : A
--> A ) )
52, 4syl5ibr 213 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  ( A  ^m  A ) ) )
65abssdv 3417 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  ( A  ^m  A
) )
7 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  A )  e. 
_V
8 ssexg 4349 . . . . . 6  |-  ( ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  ( A  ^m  A )  /\  ( A  ^m  A )  e.  _V )  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V )
96, 7, 8sylancl 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V )
10 eqid 2436 . . . . . 6  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e. 
{ x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }
1110topgrpbas 13617 . . . . 5  |-  ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (
Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e. 
{ x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
129, 11syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
13 symgbas.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
14 eqid 2436 . . . . . 6  |-  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
15 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) )  =  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) )
16 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
1713, 14, 15, 16symgval 15094 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } )
1817fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
1912, 18eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  G
) )
20 base0 13506 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
21 f1odm 5678 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  dom  x  =  A )
22 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2322dmex 5132 . . . . . . . . 9  |-  dom  x  e.  _V
2421, 23syl6eqelr 2525 . . . . . . . 8  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  A  e.  _V )
2524con3i 129 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  x : A -1-1-onto-> A )
2625pm2.21d 100 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  (/) ) )
2726abssdv 3417 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  (/) )
28 ss0 3658 . . . . 5  |-  ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  (/)  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (/) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (/) )
30 fvprc 5722 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
SymGrp `  A )  =  (/) )
3113, 30syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  G  =  (/) )
3231fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  ( Base `  (/) ) )
3320, 29, 323eqtr4a 2494 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (
Base `  G )
)
3419, 33pm2.61i 158 . 2  |-  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  G
)
351, 34eqtr4i 2459 1  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   {ctp 3816   <.cop 3817    X. cxp 4876   dom cdm 4878    o. ccom 4882   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083    ^m cmap 7018   ndxcnx 13466   Basecbs 13469   +g cplusg 13529  TopSetcts 13535   Xt_cpt 13666   SymGrpcsymg 15092
This theorem is referenced by:  elsymgbas2  15096  symghash  15098  symgplusg  15099  symgtset  15102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-tset 13548  df-symg 15093
  Copyright terms: Public domain W3C validator