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Theorem symgfisg 27512
Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgsssg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgfisg  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G
Allowed substitution hints:    D( x)    V( x)

Proof of Theorem symgfisg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2297 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  =  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } ) )
2 eqidd 2297 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  G
) )
3 eqidd 2297 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
4 ssrab2 3271 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  B
5 symgsssg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5sseqtri 3223 . . 3  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( Base `  G )
76a1i 10 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( Base `  G ) )
8 symgsssg.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
98symggrp 14796 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
115, 10grpidcl 14526 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 15 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
138symgid 14797 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
1413difeq1d 3306 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  ( ( 0g `  G )  \  _I  ) )
1514dmeqd 4897 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( (  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
16 resss 4995 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  D )  C_  _I
17 ssdif0 3526 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  D )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/) )
1816, 17mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/)
1918dmeqi 4896 . . . . . 6  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  (/)
20 dm0 4908 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
2119, 20eqtri 2316 . . . . 5  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  (/)
22 0fin 7103 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
2321, 22eqeltri 2366 . . . 4  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  e. 
Fin
2415, 23syl6eqelr 2385 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( ( 0g `  G )  \  _I  )  e.  Fin )
25 difeq1 3300 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2625dmeqd 4897 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2726eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( 0g `  G ) 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
2827elrab 2936 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( ( 0g `  G )  e.  B  /\  dom  (
( 0g `  G
)  \  _I  )  e.  Fin ) )
2912, 24, 28sylanbrc 645 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
30 biid 227 . . 3  |-  ( D  e.  V  <->  D  e.  V )
31 difeq1 3300 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  \  _I  )  =  ( y  \  _I  ) )
3231dmeqd 4897 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
3332eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
3433elrab 2936 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( y  e.  B  /\  dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin ) )
35 difeq1 3300 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
3635dmeqd 4897 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( z  \  _I  ) )
3736eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( z 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
3837elrab 2936 . . 3  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )
3993ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  G  e.  Grp )
40 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
y  e.  B )
41 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
z  e.  B )
42 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
435, 42grpcl 14511 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
4439, 40, 41, 43syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
458, 5, 42symgov 14793 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4640, 41, 45syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4746difeq1d 3306 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  ( (
y  o.  z ) 
\  _I  ) )
4847dmeqd 4897 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  ) )
49 simp2r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
50 simp3r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( z  \  _I  )  e.  Fin )
51 unfi 7140 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( z  \  _I  )  e.  Fin )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin )
5249, 50, 51syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin )
53 mvdco 27491 . . . . . 6  |-  dom  (
( y  o.  z
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )
54 ssfi 7099 . . . . . 6  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin  /\ 
dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  C_  ( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z 
\  _I  ) ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  )  e. 
Fin )
5552, 53, 54sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  e.  Fin )
5648, 55eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  e.  Fin )
57 difeq1 3300 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5857dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5958eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  e.  Fin ) )
6059elrab 2936 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <-> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  e.  Fin ) )
6144, 56, 60sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin } )
6230, 34, 38, 61syl3anb 1225 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  /\  z  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
639adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  G  e.  Grp )
64 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  y  e.  B )
65 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
665, 65grpinvcl 14543 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
6763, 64, 66syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
688, 5, 65symginv 14798 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  =  `' y )
6968ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  =  `' y )
7069difeq1d 3306 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  ( `' y 
\  _I  ) )
7170dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  \  _I  )  =  dom  ( `' y  \  _I  )
)
728, 5elsymgbas2 14789 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  <->  y : D
-1-1-onto-> D ) )
7372ibi 232 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7473ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  y : D -1-1-onto-> D )
75 f1omvdcnv 27490 . . . . . . 7  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7674, 75syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7771, 76eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
78 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
7977, 78eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin )
80 difeq1 3300 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( x  \  _I  )  =  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8180dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8281eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin ) )
8382elrab 2936 . . . 4  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  B  /\  dom  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin ) )
8467, 79, 83sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
8534, 84sylan2b 461 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
861, 2, 3, 7, 29, 62, 85, 9issubgrpd2 15957 1  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468    _I cid 4320   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707    o. ccom 4709   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  SubGrpcsubg 14631   SymGrpcsymg 14785
This theorem is referenced by:  symggen  27514  psgndmsubg  27528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-symg 14786
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