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Theorem symggen 27514
Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
symgtrf.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgtrf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
symggen.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
Assertion
Ref Expression
symggen  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
Distinct variable groups:    x, B    x, T    x, K    x, D    x, G    x, V

Proof of Theorem symggen
Dummy variables  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  _V )
2 symgtrf.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
32symggrp 14796 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
4 grpmnd 14510 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( D  e.  _V  ->  G  e.  Mnd )
6 symgtrf.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
76submacs 14458 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
8 acsmre 13570 . . . . 5  |-  ( (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )
)
95, 7, 83syl 18 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B ) )
101, 9syl 15 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B ) )
11 symgtrf.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
1211, 2, 6symgtrf 27513 . . . . 5  |-  T  C_  B
1312a1i 10 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  T  C_  B )
14 2onn 6654 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
15 nnfi 7069 . . . . . 6  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  2o  e.  Fin
17 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  D )
1817, 11pmtrfb 27509 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  x : D -1-1-onto-> D  /\  dom  (
x  \  _I  )  ~~  2o ) )
1918simp3bi 972 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  T  ->  dom  ( x  \  _I  )  ~~  2o )
20 enfi 7095 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  ~~  2o  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
2119, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  T  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
2221adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  ( dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin 
<->  2o  e.  Fin )
)
2316, 22mpbiri 224 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
2413, 23ssrabdv 3265 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  T  C_ 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
252, 6symgfisg 27512 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
26 subgsubm 14655 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G )  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G
) )
2725, 26syl 15 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G ) )
28 symggen.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
2928mrcsscl 13538 . . 3  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  /\  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G ) )  ->  ( K `  T )  C_  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
3010, 24, 27, 29syl3anc 1182 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  C_ 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
31 vex 2804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3231a1i 10 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  x  e.  _V )
33 finnum 7597 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  dom  card )
34 domfi 7100 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
352, 6elsymgbas2 14789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  <->  y : D
-1-1-onto-> D ) )
3635ibi 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
3736adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  y : D -1-1-onto-> D
)
38 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  y  Fn  D )
39 fnnfpeq0 26861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  Fn  D  ->  ( dom  ( y  \  _I  )  =  (/)  <->  y  =  (  _I  |`  D ) ) )
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  <->  y  =  (  _I  |`  D )
) )
412, 6elbasfv 13207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  B  ->  D  e.  _V )
4241adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  D  e.  _V )
432symgid 14797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  _V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G ) )
4542, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )
)
4628mrccl 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  B )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G ) )
4745, 12, 46sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G ) )
48 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4948subm0cl 14445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( K `  T ) )
5047, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( K `  T ) )
5144, 50eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (  _I  |`  D )  e.  ( K `  T ) )
52 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  D )  e.  ( K `  T
)  ->  ( y  =  (  _I  |`  D )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( y  =  (  _I  |`  D )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5440, 53sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
56 n0 3477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  =/=  (/)  <->  E. u  u  e. 
dom  ( y  \  _I  ) )
5742adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  D  e.  _V )
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
59 f1omvdmvd 27489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y : D -1-1-onto-> D  /\  u  e.  dom  ( y 
\  _I  ) )  ->  ( y `  u )  e.  ( dom  ( y  \  _I  )  \  { u } ) )
6037, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  ( dom  ( y 
\  _I  )  \  { u } ) )
61 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y `  u )  e.  ( dom  (
y  \  _I  )  \  { u } )  ->  ( y `  u )  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
63 prssi 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  dom  (
y  \  _I  )  /\  ( y `  u
)  e.  dom  (
y  \  _I  )
)  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
6458, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
65 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y 
\  _I  )  C_  y
66 dmss 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  \  _I  )  C_  y  ->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  dom  y )
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  (
y  \  _I  )  C_ 
dom  y
68 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  y  =  D )
6937, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  dom  y  =  D )
7067, 69syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  D )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  D )
7264, 71sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  D )
7337adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7473, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  Fn  D )
7570sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  e.  D )
76 fnelnfp 26860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  ( u  e.  dom  ( y  \  _I  ) 
<->  ( y `  u
)  =/=  u ) )
7774, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
u  e.  dom  (
y  \  _I  )  <->  ( y `  u )  =/=  u ) )
7858, 77mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  =/=  u )
7978necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  =/=  ( y `  u
) )
80 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  u  e. 
_V
81 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y `
 u )  e. 
_V
82 pr2nelem 7650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  _V  /\  ( y `  u
)  e.  _V  /\  u  =/=  ( y `  u ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8380, 81, 82mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =/=  ( y `  u )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8479, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8517, 11pmtrrn 27502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  _V  /\  { u ,  ( y `
 u ) } 
C_  D  /\  {
u ,  ( y `
 u ) } 
~~  2o )  -> 
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T )
8657, 72, 84, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T
)
8712, 86sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B
)
88 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  e.  B )
89 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
902, 6, 89symgov 14793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )
9187, 88, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )
9291oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) ) )
9342, 3syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
9493adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  G  e.  Grp )
956, 89grpcl 14511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  B )
9694, 87, 88, 95syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B )
9791, 96eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B )
982, 6, 89symgov 14793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) ) )
9987, 97, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) ) )
100 coass 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) )
10117, 11pmtrfinv 27505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  =  (  _I  |`  D )
)
10286, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  =  (  _I  |`  D )
)
103102coeq1d 4861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  ( (  _I  |`  D )  o.  y ) )
104 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  y : D
--> D )
105 fcoi2 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y : D --> D  -> 
( (  _I  |`  D )  o.  y )  =  y )
10673, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(  _I  |`  D )  o.  y )  =  y )
107103, 106eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  y )
108100, 107syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  y )
10992, 99, 1083eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  y )
110109adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  y )
11147ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G )
)
11228mrcssid 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  B )  ->  T  C_  ( K `  T )
)
11345, 12, 112sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  T  C_  ( K `  T )
)
114113adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  T  C_  ( K `  T
) )
115114, 86sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T ) )
116115adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T ) )
11791difeq1d 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  =  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )
118117dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )
119 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
120 mvdco 27491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  ( dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  u.  dom  ( y  \  _I  ) )
12117pmtrmvd 27501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  _V  /\  { u ,  ( y `
 u ) } 
C_  D  /\  {
u ,  ( y `
 u ) } 
~~  2o )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  =  { u ,  ( y `  u ) } )
12257, 72, 84, 121syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  =  { u ,  ( y `  u ) } )
123122, 64eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  C_ 
dom  ( y  \  _I  ) )
124 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  (
y  \  _I  )  C_ 
dom  ( y  \  _I  )
125124a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  dom  ( y 
\  _I  ) )
126123, 125unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  u.  dom  ( y  \  _I  ) )  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
127120, 126syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
128 fvco2 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) `  ( y `
 u ) ) )
12974, 75, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) `  ( y `
 u ) ) )
130 prcom 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  { u ,  ( y `  u ) }  =  { ( y `  u ) ,  u }
131130fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  =  ( (pmTrsp `  D ) `  {
( y `  u
) ,  u }
)
132131fveq1i 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) `  (
y `  u )
)  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { ( y `  u ) ,  u } ) `  (
y `  u )
)
13371, 62sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  D )
13417pmtrprfv 27499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( D  e.  _V  /\  ( ( y `  u )  e.  D  /\  u  e.  D  /\  ( y `  u
)  =/=  u ) )  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { ( y `  u ) ,  u } ) `  (
y `  u )
)  =  u )
13557, 133, 75, 78, 134syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { (
y `  u ) ,  u } ) `  ( y `  u
) )  =  u )
136132, 135syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) `
 ( y `  u ) )  =  u )
137129, 136eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u )
1382, 6elsymgbas2 14789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  ->  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  <->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) : D -1-1-onto-> D ) )
139138ibi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
) : D -1-1-onto-> D )
140 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) : D -1-1-onto-> D  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
)  Fn  D )
14197, 139, 1403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  Fn  D )
142 fnelnfp 26860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y )  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  (
u  e.  dom  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  <->  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) `  u )  =/=  u
) )
143142necon2bbid 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y )  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  (
( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u  <->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
144141, 75, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u  <->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
145137, 144mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  \  _I  ) )
14658, 145jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
u  e.  dom  (
y  \  _I  )  /\  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
147 ssnelpss 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( ( u  e.  dom  ( y 
\  _I  )  /\  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )  ->  dom  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  \  _I  )  C.  dom  (
y  \  _I  )
) )
148127, 146, 147sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C.  dom  ( y  \  _I  ) )
149 php3 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
)  \  _I  )  C.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) )
150119, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) )
151118, 150eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )
)
152151adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )
)
15396adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B )
154 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  _V
155 difeq1 3300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  \  _I  )  =  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  ) )
156155dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  ->  dom  ( z  \  _I  )  =  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  ) )
157156breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) 
<->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) ) )
158 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  e.  B  <->  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B ) )
159 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  e.  ( K `  T )  <-> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) ) )
160158, 159imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T ) )  <->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  B  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) ) ) )
161157, 160imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  <->  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) ) )
162154, 161spcv 2887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  -> 
( dom  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) )
163162ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) )
164152, 153, 163mp2d 41 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) )
16589submcl 14446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K `  T
)  e.  (SubMnd `  G )  /\  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T )  /\  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( K `  T ) )
166111, 116, 164, 165syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( K `  T ) )
167110, 166eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  e.  ( K `  T
) )
168167ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( u  e. 
dom  ( y  \  _I  )  ->  y  e.  ( K `  T
) ) )
169168exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( E. u  u  e.  dom  ( y 
\  _I  )  -> 
y  e.  ( K `
 T ) ) )
17056, 169syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
17155, 170pm2.61dne 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  y  e.  ( K `  T ) )
172171exp31 587 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  ->  (
y  e.  B  -> 
( A. z ( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `
 T ) ) )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) ) )
173172com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  ->  ( A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) ) ) )
17434, 173syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  ) )  ->  ( A. z
( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T ) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  ( K `
 T ) ) ) )
1751743impia 1148 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
176 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
177 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( K `
 T )  <->  z  e.  ( K `  T ) ) )
178176, 177imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) )  <-> 
( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `
 T ) ) ) )
179 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
180 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( K `
 T )  <->  x  e.  ( K `  T ) ) )
181179, 180imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) )  <-> 
( x  e.  B  ->  x  e.  ( K `
 T ) ) ) )
182 difeq1 3300 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
183182dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  dom  ( y  \  _I  )  =  dom  ( z 
\  _I  ) )
184 difeq1 3300 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  \  _I  )  =  ( x  \  _I  ) )
185184dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  dom  ( y  \  _I  )  =  dom  ( x 
\  _I  ) )
18632, 33, 175, 178, 181, 183, 185indcardi 7684 . . . . 5  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( K `  T ) ) )
187186impcom 419 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  /\  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )  ->  x  e.  ( K `
 T ) )
1881873adant1 973 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  B  /\  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )  ->  x  e.  ( K `
 T ) )
189188rabssdv 3266 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( K `  T )
)
19030, 189eqssd 3209 1  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165    C. wpss 3166   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   class class class wbr 4039    _I cid 4320   omcom 4672   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   2oc2o 6489    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   Fincfn 6879   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  ACScacs 13503   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378  SubMndcsubmnd 14430  SubGrpcsubg 14631   SymGrpcsymg 14785  pmTrspcpmtr 27487
This theorem is referenced by:  symggen2  27515  psgneldm2  27530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-symg 14786  df-pmtr 27488
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