Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symggen Unicode version

Theorem symggen 27514
 Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t pmTrsp
symgtrf.g
symgtrf.b
symggen.k mrClsSubMnd
Assertion
Ref Expression
symggen
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem symggen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . . . 4
2 symgtrf.g . . . . . . 7
32symggrp 14796 . . . . . 6
4 grpmnd 14510 . . . . . 6
53, 4syl 15 . . . . 5
6 symgtrf.b . . . . . 6
76submacs 14458 . . . . 5 SubMnd ACS
8 acsmre 13570 . . . . 5 SubMnd ACS SubMnd Moore
95, 7, 83syl 18 . . . 4 SubMnd Moore
101, 9syl 15 . . 3 SubMnd Moore
11 symgtrf.t . . . . . 6 pmTrsp
1211, 2, 6symgtrf 27513 . . . . 5
1312a1i 10 . . . 4
14 2onn 6654 . . . . . 6
15 nnfi 7069 . . . . . 6
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5
17 eqid 2296 . . . . . . . . 9 pmTrsp pmTrsp
1817, 11pmtrfb 27509 . . . . . . . 8
1918simp3bi 972 . . . . . . 7
20 enfi 7095 . . . . . . 7
2119, 20syl 15 . . . . . 6
2221adantl 452 . . . . 5
2316, 22mpbiri 224 . . . 4
2413, 23ssrabdv 3265 . . 3
252, 6symgfisg 27512 . . . 4 SubGrp
26 subgsubm 14655 . . . 4 SubGrp SubMnd
2725, 26syl 15 . . 3 SubMnd
28 symggen.k . . . 4 mrClsSubMnd
2928mrcsscl 13538 . . 3 SubMnd Moore SubMnd
3010, 24, 27, 29syl3anc 1182 . 2
31 vex 2804 . . . . . . 7
3231a1i 10 . . . . . 6
33 finnum 7597 . . . . . 6
34 domfi 7100 . . . . . . . 8
352, 6elsymgbas2 14789 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635ibi 232 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14
38 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . 14
39 fnnfpeq0 26861 . . . . . . . . . . . . . 14
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
412, 6elbasfv 13207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4241adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
432symgid 14797 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
4542, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubMnd Moore
4628mrccl 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubMnd Moore SubMnd
4745, 12, 46sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubMnd
48 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948subm0cl 14445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubMnd
5047, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
5144, 50eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . 14
52 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . . . . 14
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
5440, 53sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12
5554adantr 451 . . . . . . . . . . 11
56 n0 3477 . . . . . . . . . . . 12
5742adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
59 f1omvdmvd 27489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6037, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
61 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
63 prssi 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6458, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
65 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
66 dmss 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
68 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6937, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7067, 69syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7264, 71sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7337adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7473, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7570sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
76 fnelnfp 26860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7774, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7858, 77mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7978necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
80 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
81 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82 pr2nelem 7650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8380, 81, 82mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8479, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8517, 11pmtrrn 27502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp
8657, 72, 84, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmTrsp
8712, 86sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp
88 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
902, 6, 89symgov 14793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
9187, 88, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmTrsp pmTrsp
9291oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp
9342, 3syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9493adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
956, 89grpcl 14511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmTrsp pmTrsp
9694, 87, 88, 95syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp
9791, 96eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmTrsp
982, 6, 89symgov 14793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp
9987, 97, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp
100 coass 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp
10117, 11pmtrfinv 27505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
10286, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmTrsp pmTrsp
103102coeq1d 4861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp pmTrsp
104 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105 fcoi2 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10673, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107103, 106eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmTrsp pmTrsp
108100, 107syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmTrsp pmTrsp
10992, 99, 1083eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmTrsp pmTrsp
110109adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmTrsp pmTrsp
11147ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubMnd
11228mrcssid 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SubMnd Moore
11345, 12, 112sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114113adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115114, 86sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmTrsp
116115adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmTrsp
11791difeq1d 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmTrsp pmTrsp
118117dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp pmTrsp
119 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120 mvdco 27491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 pmTrsp pmTrsp
12117pmtrmvd 27501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 pmTrsp
12257, 72, 84, 121syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 pmTrsp
123122, 64eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 pmTrsp
124 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
125124a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
126123, 125unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 pmTrsp
127120, 126syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp
128 fvco2 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 pmTrsp pmTrsp
12974, 75, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 pmTrsp pmTrsp
130 prcom 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
131130fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 pmTrsp pmTrsp
132131fveq1i 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 pmTrsp pmTrsp
13371, 62sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13417pmtrprfv 27499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 pmTrsp
13557, 133, 75, 78, 134syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 pmTrsp
136132, 135syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 pmTrsp
137129, 136eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 pmTrsp
1382, 6elsymgbas2 14789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
139138ibi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 pmTrsp pmTrsp
140 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 pmTrsp pmTrsp
14197, 139, 1403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 pmTrsp
142 fnelnfp 26860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
143142necon2bbid 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
144141, 75, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 pmTrsp pmTrsp
145137, 144mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 pmTrsp
14658, 145jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp
147 ssnelpss 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
148127, 146, 147sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmTrsp
149 php3 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmTrsp pmTrsp
150119, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp
151118, 150eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmTrsp
152151adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmTrsp
15396adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmTrsp
154 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp
155 difeq1 3300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 pmTrsp pmTrsp
156155dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp pmTrsp
157156breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmTrsp pmTrsp
158 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp pmTrsp
159 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp pmTrsp
160158, 159imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
161157, 160imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp
162154, 161spcv 2887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
163162ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
164152, 153, 163mp2d 41 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmTrsp
16589submcl 14446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubMnd pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp
166111, 116, 164, 165syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmTrsp pmTrsp
167110, 166eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14
168167ex 423 . . . . . . . . . . . . 13
169168exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . 12
17056, 169syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11
17155, 170pm2.61dne 2536 . . . . . . . . . 10
172171exp31 587 . . . . . . . . 9
173172com23 72 . . . . . . . 8
17434, 173syl 15 . . . . . . 7
1751743impia 1148 . . . . . 6
176 eleq1 2356 . . . . . . 7
177 eleq1 2356 . . . . . . 7
178176, 177imbi12d 311 . . . . . 6
179 eleq1 2356 . . . . . . 7
180 eleq1 2356 . . . . . . 7
181179, 180imbi12d 311 . . . . . 6
182 difeq1 3300 . . . . . . 7
183182dmeqd 4897 . . . . . 6
184 difeq1 3300 . . . . . . 7
185184dmeqd 4897 . . . . . 6
18632, 33, 175, 178, 181, 183, 185indcardi 7684 . . . . 5
187186impcom 419 . . . 4
1881873adant1 973 . . 3
189188rabssdv 3266 . 2
19030, 189eqssd 3209 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358  wal 1530  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   wss 3165   wpss 3166  c0 3468  csn 3653  cpr 3654   class class class wbr 4039   cid 4320  com 4672   cdm 4705   crn 4706   cres 4707   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  c2o 6489   cen 6876   cdom 6877   csdm 6878  cfn 6879  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  ACScacs 13503  cmnd 14377  cgrp 14378  SubMndcsubmnd 14430  SubGrpcsubg 14631  csymg 14785  pmTrspcpmtr 27487 This theorem is referenced by:  symggen2  27515  psgneldm2  27530 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-symg 14786  df-pmtr 27488
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