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Theorem symggen 27379
Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
symgtrf.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgtrf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
symggen.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
Assertion
Ref Expression
symggen  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
Distinct variable groups:    x, B    x, T    x, K    x, D    x, G    x, V

Proof of Theorem symggen
Dummy variables  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  _V )
2 symgtrf.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
32symggrp 15095 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
4 grpmnd 14809 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( D  e.  _V  ->  G  e.  Mnd )
6 symgtrf.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
76submacs 14757 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
8 acsmre 13869 . . . . 5  |-  ( (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )
)
95, 7, 83syl 19 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B ) )
101, 9syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B ) )
11 symgtrf.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
1211, 2, 6symgtrf 27378 . . . . 5  |-  T  C_  B
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  T  C_  B )
14 2onn 6875 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
15 nnfi 7291 . . . . . 6  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  2o  e.  Fin
17 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  D )
1817, 11pmtrfb 27374 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  x : D -1-1-onto-> D  /\  dom  (
x  \  _I  )  ~~  2o ) )
1918simp3bi 974 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  T  ->  dom  ( x  \  _I  )  ~~  2o )
20 enfi 7317 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  ~~  2o  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  T  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
2221adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  ( dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin 
<->  2o  e.  Fin )
)
2316, 22mpbiri 225 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
2413, 23ssrabdv 3414 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  T  C_ 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
252, 6symgfisg 27377 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
26 subgsubm 14954 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G )  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G
) )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G ) )
28 symggen.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
2928mrcsscl 13837 . . 3  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  /\  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G ) )  ->  ( K `  T )  C_  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
3010, 24, 27, 29syl3anc 1184 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  C_ 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
31 vex 2951 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  x  e.  _V )
33 finnum 7827 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  dom  card )
34 domfi 7322 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
352, 6elsymgbas2 15088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  <->  y : D
-1-1-onto-> D ) )
3635ibi 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
3736adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  y : D -1-1-onto-> D
)
38 f1ofn 5667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  y  Fn  D )
39 fnnfpeq0 26730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  Fn  D  ->  ( dom  ( y  \  _I  )  =  (/)  <->  y  =  (  _I  |`  D ) ) )
4037, 38, 393syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  <->  y  =  (  _I  |`  D )
) )
412, 6elbasfv 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  B  ->  D  e.  _V )
4241adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  D  e.  _V )
432symgid 15096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  _V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G ) )
4542, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )
)
4628mrccl 13828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  B )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G ) )
4745, 12, 46sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G ) )
48 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4948subm0cl 14744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( K `  T ) )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( K `  T ) )
5144, 50eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (  _I  |`  D )  e.  ( K `  T ) )
52 eleq1a 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  D )  e.  ( K `  T
)  ->  ( y  =  (  _I  |`  D )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( y  =  (  _I  |`  D )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5440, 53sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5554adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
56 n0 3629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  =/=  (/)  <->  E. u  u  e. 
dom  ( y  \  _I  ) )
5742adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  D  e.  _V )
58 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
59 f1omvdmvd 27354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y : D -1-1-onto-> D  /\  u  e.  dom  ( y 
\  _I  ) )  ->  ( y `  u )  e.  ( dom  ( y  \  _I  )  \  { u } ) )
6037, 59sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  ( dom  ( y 
\  _I  )  \  { u } ) )
6160eldifad 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
62 prssi 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  dom  (
y  \  _I  )  /\  ( y `  u
)  e.  dom  (
y  \  _I  )
)  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
6358, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
64 difss 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y 
\  _I  )  C_  y
65 dmss 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  \  _I  )  C_  y  ->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  dom  y )
6664, 65ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  (
y  \  _I  )  C_ 
dom  y
67 f1odm 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  y  =  D )
6837, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  dom  y  =  D )
6966, 68syl5sseq 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  D )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  D )
7163, 70sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  D )
7237adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7372, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  Fn  D )
7469sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  e.  D )
75 fnelnfp 26729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  ( u  e.  dom  ( y  \  _I  ) 
<->  ( y `  u
)  =/=  u ) )
7673, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
u  e.  dom  (
y  \  _I  )  <->  ( y `  u )  =/=  u ) )
7758, 76mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  =/=  u )
7877necomd 2681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  =/=  ( y `  u
) )
79 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  u  e. 
_V
80 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y `
 u )  e. 
_V
81 pr2nelem 7880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  _V  /\  ( y `  u
)  e.  _V  /\  u  =/=  ( y `  u ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8279, 80, 81mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =/=  ( y `  u )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8378, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8417, 11pmtrrn 27367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  _V  /\  { u ,  ( y `
 u ) } 
C_  D  /\  {
u ,  ( y `
 u ) } 
~~  2o )  -> 
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T )
8557, 71, 83, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T
)
8612, 85sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B
)
87 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  e.  B )
88 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
892, 6, 88symgov 15092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )
9086, 87, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )
9190oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) ) )
9242, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  G  e.  Grp )
946, 88grpcl 14810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  B )
9593, 86, 87, 94syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B )
9690, 95eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B )
972, 6, 88symgov 15092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) ) )
9886, 96, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) ) )
99 coass 5380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) )
10017, 11pmtrfinv 27370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  =  (  _I  |`  D )
)
10185, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  =  (  _I  |`  D )
)
102101coeq1d 5026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  ( (  _I  |`  D )  o.  y ) )
103 f1of 5666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  y : D
--> D )
104 fcoi2 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y : D --> D  -> 
( (  _I  |`  D )  o.  y )  =  y )
10572, 103, 1043syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(  _I  |`  D )  o.  y )  =  y )
106102, 105eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  y )
10799, 106syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  y )
10891, 98, 1073eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  y )
109108adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  y )
11047ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G )
)
11128mrcssid 13834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  B )  ->  T  C_  ( K `  T )
)
11245, 12, 111sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  T  C_  ( K `  T )
)
113112adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  T  C_  ( K `  T
) )
114113, 85sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T ) )
115114adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T ) )
11690difeq1d 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  =  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )
117116dmeqd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )
118 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
119 mvdco 27356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  ( dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  u.  dom  ( y  \  _I  ) )
12017pmtrmvd 27366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  _V  /\  { u ,  ( y `
 u ) } 
C_  D  /\  {
u ,  ( y `
 u ) } 
~~  2o )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  =  { u ,  ( y `  u ) } )
12157, 71, 83, 120syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  =  { u ,  ( y `  u ) } )
122121, 63eqsstrd 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  C_ 
dom  ( y  \  _I  ) )
123 ssid 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  (
y  \  _I  )  C_ 
dom  ( y  \  _I  )
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  dom  ( y 
\  _I  ) )
125122, 124unssd 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  u.  dom  ( y  \  _I  ) )  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
126119, 125syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
127 fvco2 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) `  ( y `
 u ) ) )
12873, 74, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) `  ( y `
 u ) ) )
129 prcom 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { u ,  ( y `  u ) }  =  { ( y `  u ) ,  u }
130129fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  =  ( (pmTrsp `  D ) `  {
( y `  u
) ,  u }
)
131130fveq1i 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) `  (
y `  u )
)  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { ( y `  u ) ,  u } ) `  (
y `  u )
)
13270, 61sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  D )
13317pmtrprfv 27364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  _V  /\  ( ( y `  u )  e.  D  /\  u  e.  D  /\  ( y `  u
)  =/=  u ) )  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { ( y `  u ) ,  u } ) `  (
y `  u )
)  =  u )
13457, 132, 74, 77, 133syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { (
y `  u ) ,  u } ) `  ( y `  u
) )  =  u )
135131, 134syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) `
 ( y `  u ) )  =  u )
136128, 135eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u )
1372, 6elsymgbas2 15088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  ->  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  <->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) : D -1-1-onto-> D ) )
138137ibi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
) : D -1-1-onto-> D )
139 f1ofn 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) : D -1-1-onto-> D  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
)  Fn  D )
14096, 138, 1393syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  Fn  D )
141 fnelnfp 26729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y )  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  (
u  e.  dom  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  <->  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) `  u )  =/=  u
) )
142141necon2bbid 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y )  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  (
( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u  <->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
143140, 74, 142syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u  <->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
144136, 143mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  \  _I  ) )
145126, 58, 144ssnelpssd 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C.  dom  ( y  \  _I  ) )
146 php3 7285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
)  \  _I  )  C.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) )
147118, 145, 146syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) )
148117, 147eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )
)
149148adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )
)
15095adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B )
151 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  _V
152 difeq1 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  \  _I  )  =  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  ) )
153152dmeqd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  ->  dom  ( z  \  _I  )  =  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  ) )
154153breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) 
<->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) ) )
155 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  e.  B  <->  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B ) )
156 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  e.  ( K `  T )  <-> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) ) )
157155, 156imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T ) )  <->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  B  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) ) ) )
158154, 157imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  <->  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) ) )
159151, 158spcv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  -> 
( dom  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) )
160159ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) )
161149, 150, 160mp2d 43 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) )
16288submcl 14745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K `  T
)  e.  (SubMnd `  G )  /\  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T )  /\  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( K `  T ) )
163110, 115, 161, 162syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( K `  T ) )
164109, 163eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  e.  ( K `  T
) )
165164ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( u  e. 
dom  ( y  \  _I  )  ->  y  e.  ( K `  T
) ) )
166165exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( E. u  u  e.  dom  ( y 
\  _I  )  -> 
y  e.  ( K `
 T ) ) )
16756, 166syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
16855, 167pm2.61dne 2675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  y  e.  ( K `  T ) )
169168exp31 588 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  ->  (
y  e.  B  -> 
( A. z ( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `
 T ) ) )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) ) )
170169com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  ->  ( A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) ) ) )
17134, 170syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  ) )  ->  ( A. z
( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T ) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  ( K `
 T ) ) ) )
1721713impia 1150 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
173 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
174 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( K `
 T )  <->  z  e.  ( K `  T ) ) )
175173, 174imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) )  <-> 
( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `
 T ) ) ) )
176 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
177 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( K `
 T )  <->  x  e.  ( K `  T ) ) )
178176, 177imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) )  <-> 
( x  e.  B  ->  x  e.  ( K `
 T ) ) ) )
179 difeq1 3450 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
180179dmeqd 5064 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  dom  ( y  \  _I  )  =  dom  ( z 
\  _I  ) )
181 difeq1 3450 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  \  _I  )  =  ( x  \  _I  ) )
182181dmeqd 5064 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  dom  ( y  \  _I  )  =  dom  ( x 
\  _I  ) )
18332, 33, 172, 175, 178, 180, 182indcardi 7914 . . . . 5  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( K `  T ) ) )
184183impcom 420 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  /\  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )  ->  x  e.  ( K `
 T ) )
1851843adant1 975 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  B  /\  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )  ->  x  e.  ( K `
 T ) )
186185rabssdv 3415 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( K `  T )
)
18730, 186eqssd 3357 1  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312    C. wpss 3313   (/)c0 3620   {csn 3806   {cpr 3807   class class class wbr 4204    _I cid 4485   omcom 4837   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   2oc2o 6710    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100   Fincfn 7101   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715  Moorecmre 13799  mrClscmrc 13800  ACScacs 13802   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677  SubMndcsubmnd 14729  SubGrpcsubg 14930   SymGrpcsymg 15084  pmTrspcpmtr 27352
This theorem is referenced by:  symggen2  27380  psgneldm2  27395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-tset 13540  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-symg 15085  df-pmtr 27353
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