Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symggen2 Unicode version

Theorem symggen2 27081
Description: A finite permutation group is generated by the transpositions. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
symgtrf.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgtrf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
symggen.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
Assertion
Ref Expression
symggen2  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( K `  T )  =  B )

Proof of Theorem symggen2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrf.t . . 3  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2 symgtrf.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
3 symgtrf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 symggen.k . . 3  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
51, 2, 3, 4symggen 27080 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
6 difss 3417 . . . . . . 7  |-  ( x 
\  _I  )  C_  x
7 dmss 5009 . . . . . . 7  |-  ( ( x  \  _I  )  C_  x  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  dom  x )
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  (
x  \  _I  )  C_ 
dom  x
92, 3elsymgbas2 15023 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  B  <->  x : D
-1-1-onto-> D ) )
109ibi 233 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  x : D -1-1-onto-> D )
11 f1odm 5618 . . . . . . 7  |-  ( x : D -1-1-onto-> D  ->  dom  x  =  D )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  dom  x  =  D )
138, 12syl5sseq 3339 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  dom  ( x  \  _I  )  C_  D )
14 ssfi 7265 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  dom  ( x  \  _I  )  C_  D )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1513, 14sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1615ralrimiva 2732 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  A. x  e.  B  dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin )
17 rabid2 2828 . . 3  |-  ( B  =  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  A. x  e.  B  dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin )
1816, 17sylibr 204 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  B  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
195, 18eqtr4d 2422 1  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( K `  T )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   {crab 2653    \ cdif 3260    C_ wss 3263    _I cid 4434   dom cdm 4818   ran crn 4819   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394   Fincfn 7045   Basecbs 13396  mrClscmrc 13735  SubMndcsubmnd 14664   SymGrpcsymg 15019  pmTrspcpmtr 27053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-tset 13475  df-0g 13654  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-subg 14868  df-symg 15020  df-pmtr 27054
  Copyright terms: Public domain W3C validator