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Theorem symggrp 15030
Description: The symmetry group on  A is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symggrp.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
symggrp  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem symggrp
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2388 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  G
) )
2 eqidd 2388 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
3 symggrp.1 . . . 4  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
4 eqid 2387 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
5 eqid 2387 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
63, 4, 5symgcl 15028 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
763adant1 975 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
8 coass 5328 . . . 4  |-  ( ( x  o.  y )  o.  z )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) )
9 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  G ) )
10 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
113, 4, 5symgov 15027 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x  o.  y
) )
129, 10, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( x  o.  y ) )
1312coeq1d 4974 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y )  o.  z
)  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
14 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  G ) )
153, 4, 5symgov 15027 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  =  ( y  o.  z
) )
1610, 14, 15syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
1716coeq2d 4975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x  o.  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z
) ) )
188, 13, 173eqtr4a 2445 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y )  o.  z
)  =  ( x  o.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
199, 10, 6syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) )
203, 4, 5symgov 15027 . . . 4  |-  ( ( ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  z  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( x ( +g  `  G ) y )  o.  z ) )
2119, 14, 20syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( x ( +g  `  G
) y )  o.  z ) )
223, 4, 5symgcl 15028 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  ( Base `  G
) )
2310, 14, 22syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( Base `  G
) )
243, 4, 5symgov 15027 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( x  o.  (
y ( +g  `  G
) z ) ) )
259, 23, 24syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( x  o.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
2618, 21, 253eqtr4d 2429 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
27 f1oi 5653 . . 3  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
283, 4elsymgbas 15024 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
(  _I  |`  A )  e.  ( Base `  G
)  <->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A ) )
2927, 28mpbiri 225 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  A )  e.  ( Base `  G
) )
303, 4, 5symgov 15027 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  A )  e.  ( Base `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (  _I  |`  A ) ( +g  `  G ) x )  =  ( (  _I  |`  A )  o.  x ) )
3129, 30sylan 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( (  _I  |`  A ) ( +g  `  G
) x )  =  ( (  _I  |`  A )  o.  x ) )
323, 4elsymgbas 15024 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
3332biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
34 f1of 5614 . . . 4  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
35 fcoi2 5558 . . . 4  |-  ( x : A --> A  -> 
( (  _I  |`  A )  o.  x )  =  x )
3633, 34, 353syl 19 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( (  _I  |`  A )  o.  x )  =  x )
3731, 36eqtrd 2419 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( (  _I  |`  A ) ( +g  `  G
) x )  =  x )
38 f1ocnv 5627 . . . . 5  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A -1-1-onto-> A )
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A -1-1-onto-> A ) )
403, 4elsymgbas 15024 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' x  e.  ( Base `  G )  <->  `' x : A -1-1-onto-> A ) )
4139, 32, 403imtr4d 260 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  ->  `' x  e.  ( Base `  G ) ) )
4241imp 419 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x  e.  ( Base `  G ) )
433, 4, 5symgov 15027 . . . 4  |-  ( ( `' x  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( `' x ( +g  `  G ) x )  =  ( `' x  o.  x
) )
4442, 43sylancom 649 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( `' x ( +g  `  G ) x )  =  ( `' x  o.  x
) )
45 f1ococnv1 5644 . . . 4  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  ( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  A ) )
4633, 45syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  A )
)
4744, 46eqtrd 2419 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( `' x ( +g  `  G ) x )  =  (  _I  |`  A )
)
481, 2, 7, 26, 29, 37, 42, 47isgrpd 14757 1  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    _I cid 4434   `'ccnv 4817    |` cres 4820    o. ccom 4822   -->wf 5390   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   Grpcgrp 14612   SymGrpcsymg 15019
This theorem is referenced by:  symgid  15031  symginv  15032  galactghm  15033  symgga  15036  symgtgp  18052  symgsssg  27077  symgfisg  27078  symggen  27080  symgtrinv  27082  psgnunilem5  27086  psgnunilem2  27087  psgnuni  27091  psgneldm2  27096  psgnghm  27106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-plusg 13469  df-tset 13475  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-symg 15020
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