Theorem symggrp 10403

Description: The symmetry group on A is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
symggrp	|- (A e. B -> (SymGrp` A) e. Grp)

Proof of Theorem symggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3730	. . 3 |- (x = A -> (SymGrp` x) = (SymGrp` A))
2	1	eleq1d 1543	. 2 |- (x = A -> ((SymGrp` x) e. Grp <-> (SymGrp` A) e. Grp))
3		visset 1816	. . 3 |- x e. V
4	3	symggrpi 10401	. 2 |- (SymGrp` x) e. Grp
5	2, 4	vtoclg 1850	1 |- (A e. B -> (SymGrp` A) e. Grp)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  Grpcgr 8030  SymGrpcsymgrp 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-symgrp 10395

Copyright terms: Public domain