MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symginv Unicode version

Theorem symginv 14798
Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symggrp.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symginv.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symginv.3  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
symginv  |-  ( F  e.  B  ->  ( N `  F )  =  `' F )

Proof of Theorem symginv
StepHypRef Expression
1 symggrp.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symginv.2 . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2elsymgbas2 14789 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  e.  B  <->  F : A
-1-1-onto-> A ) )
43ibi 232 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  F : A -1-1-onto-> A )
5 f1ocnv 5501 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
7 cnvexg 5224 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  `' F  e.  _V )
81, 2elsymgbas2 14789 . . . . . 6  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F  e.  B  <->  `' F : A -1-1-onto-> A ) )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' F  e.  B  <->  `' F : A -1-1-onto-> A ) )
106, 9mpbird 223 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  `' F  e.  B )
11 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
121, 2, 11symgov 14793 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  `' F  e.  B
)  ->  ( F
( +g  `  G ) `' F )  =  ( F  o.  `' F
) )
1310, 12mpdan 649 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( F  o.  `' F ) )
14 f1ococnv2 5516 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
154, 14syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  o.  `' F
)  =  (  _I  |`  A ) )
161, 2elbasfv 13207 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  A  e.  _V )
171symgid 14797 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (  _I  |`  A )  =  ( 0g `  G
) )
1816, 17syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  (  _I  |`  A )  =  ( 0g `  G
) )
1913, 15, 183eqtrd 2332 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( 0g `  G ) )
201symggrp 14796 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
2116, 20syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  G  e.  Grp )
22 id 19 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  B )
23 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
24 symginv.3 . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  G )
252, 11, 23, 24grpinvid1 14546 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  `' F  e.  B
)  ->  ( ( N `  F )  =  `' F  <->  ( F ( +g  `  G ) `' F )  =  ( 0g `  G ) ) )
2621, 22, 10, 25syl3anc 1182 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  (
( N `  F
)  =  `' F  <->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( 0g `  G ) ) )
2719, 26mpbird 223 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( N `  F )  =  `' F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   SymGrpcsymg 14785
This theorem is referenced by:  symgtgp  17800  symgsssg  27511  symgfisg  27512  symgtrinv  27516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-symg 14786
  Copyright terms: Public domain W3C validator