MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgplusg Unicode version

Theorem symgplusg 14875
Description: The value of the symmetry group function at  A. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgplusg.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symgplusg.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symgplusg.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
symgplusg  |-  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) )
Distinct variable groups:    f, g, A    B, f, g
Allowed substitution hints:    .+ ( f, g)    G( f, g)

Proof of Theorem symgplusg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgplusg.1 . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symgplusg.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2symgbas 14871 . . . . 5  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
4 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )
5 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
61, 3, 4, 5symgval 14870 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } )
76fveq2d 5612 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } ) )
8 symgplusg.3 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
9 fvex 5622 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
102, 9eqeltri 2428 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1110, 10mpt2ex 6285 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V
12 eqid 2358 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. }
1312topgrpplusg 13394 . . . 4  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V  ->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } ) )
1411, 13ax-mp 8 . . 3  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } )
157, 8, 143eqtr4g 2415 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) ) )
16 fvprc 5602 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
SymGrp `  A )  =  (/) )
171, 16syl5eq 2402 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  G  =  (/) )
1817fveq2d 5612 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  (/) ) )
19 plusgid 13340 . . . . 5  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
2019str0 13281 . . . 4  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
2118, 8, 203eqtr4g 2415 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  .+  =  (/) )
22 vex 2867 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
23 vex 2867 . . . . . . 7  |-  g  e. 
_V
2422, 23coex 5298 . . . . . 6  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
254, 24fnmpt2i 6280 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  ( B  X.  B )
2617fveq2d 5612 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  ( Base `  (/) ) )
27 base0 13282 . . . . . . . . 9  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
2826, 2, 273eqtr4g 2415 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  B  =  (/) )
2928xpeq2d 4795 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  ( B  X.  (/) ) )
30 xp0 5180 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  (/) )  =  (/)
3129, 30syl6eq 2406 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  (/) )
3231fneq2d 5418 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) )  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  (/) ) )
3325, 32mpbii 202 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  (/) )
34 fn0 5445 . . . 4  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  (/)  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  (/) )
3533, 34sylib 188 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  (/) )
3621, 35eqtr4d 2393 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) )
3715, 36pm2.61i 156 1  |-  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864   (/)c0 3531   ~Pcpw 3701   {csn 3716   {ctp 3718   <.cop 3719    X. cxp 4769    o. ccom 4775    Fn wfn 5332   ` cfv 5337    e. cmpt2 5947   ndxcnx 13242   Basecbs 13245   +g cplusg 13305  TopSetcts 13311   Xt_cpt 13442   SymGrpcsymg 14868
This theorem is referenced by:  symgov  14876  symgtset  14878  symgtgp  17886
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-plusg 13318  df-tset 13324  df-symg 14869
  Copyright terms: Public domain W3C validator