MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgplusg Unicode version

Theorem symgplusg 15062
Description: The value of the symmetry group function at  A. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgplusg.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symgplusg.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symgplusg.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
symgplusg  |-  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) )
Distinct variable groups:    f, g, A    B, f, g
Allowed substitution hints:    .+ ( f, g)    G( f, g)

Proof of Theorem symgplusg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgplusg.1 . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symgplusg.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2symgbas 15058 . . . . 5  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
4 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )
5 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
61, 3, 4, 5symgval 15057 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } )
76fveq2d 5699 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } ) )
8 symgplusg.3 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
9 fvex 5709 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
102, 9eqeltri 2482 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1110, 10mpt2ex 6392 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V
12 eqid 2412 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. }
1312topgrpplusg 13581 . . . 4  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V  ->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } ) )
1411, 13ax-mp 8 . . 3  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } )
157, 8, 143eqtr4g 2469 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) ) )
16 fvprc 5689 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
SymGrp `  A )  =  (/) )
171, 16syl5eq 2456 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  G  =  (/) )
1817fveq2d 5699 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  (/) ) )
19 plusgid 13527 . . . . 5  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
2019str0 13468 . . . 4  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
2118, 8, 203eqtr4g 2469 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  .+  =  (/) )
22 vex 2927 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
23 vex 2927 . . . . . . 7  |-  g  e. 
_V
2422, 23coex 5380 . . . . . 6  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
254, 24fnmpt2i 6387 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  ( B  X.  B )
2617fveq2d 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  ( Base `  (/) ) )
27 base0 13469 . . . . . . . . 9  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
2826, 2, 273eqtr4g 2469 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  B  =  (/) )
2928xpeq2d 4869 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  ( B  X.  (/) ) )
30 xp0 5258 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  (/) )  =  (/)
3129, 30syl6eq 2460 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  (/) )
3231fneq2d 5504 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) )  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  (/) ) )
3325, 32mpbii 203 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  (/) )
34 fn0 5531 . . . 4  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  (/)  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  (/) )
3533, 34sylib 189 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  (/) )
3621, 35eqtr4d 2447 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) )
3715, 36pm2.61i 158 1  |-  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   (/)c0 3596   ~Pcpw 3767   {csn 3782   {ctp 3784   <.cop 3785    X. cxp 4843    o. ccom 4849    Fn wfn 5416   ` cfv 5421    e. cmpt2 6050   ndxcnx 13429   Basecbs 13432   +g cplusg 13492  TopSetcts 13498   Xt_cpt 13629   SymGrpcsymg 15055
This theorem is referenced by:  symgov  15063  symgtset  15065  symgtgp  18092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-plusg 13505  df-tset 13511  df-symg 15056
  Copyright terms: Public domain W3C validator