Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgsssg Structured version   Unicode version

Theorem symgsssg 27385
Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgsssg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgsssg  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    D( x)    V( x)

Proof of Theorem symgsssg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2437 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)  =  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } ) )
2 eqidd 2437 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  G
) )
3 eqidd 2437 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
4 ssrab2 3428 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  B
5 symgsssg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5sseqtri 3380 . . 3  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  ( Base `  G )
76a1i 11 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  ( Base `  G ) )
8 symgsssg.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
98symggrp 15103 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
115, 10grpidcl 14833 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
138symgid 15104 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
1413difeq1d 3464 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  ( ( 0g `  G )  \  _I  ) )
1514dmeqd 5072 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( (  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
16 resss 5170 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  D )  C_  _I
17 ssdif0 3686 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  D )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/) )
1816, 17mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/)
1918dmeqi 5071 . . . . . 6  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  (/)
20 dm0 5083 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
2119, 20eqtri 2456 . . . . 5  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  (/)
22 0ss 3656 . . . . 5  |-  (/)  C_  X
2321, 22eqsstri 3378 . . . 4  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  C_  X
2415, 23syl6eqssr 3399 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( ( 0g `  G )  \  _I  )  C_  X )
25 difeq1 3458 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2625dmeqd 5072 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2726sseq1d 3375 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( 0g `  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
2827elrab 3092 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( ( 0g `  G )  e.  B  /\  dom  (
( 0g `  G
)  \  _I  )  C_  X ) )
2912, 24, 28sylanbrc 646 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)
30 biid 228 . . 3  |-  ( D  e.  V  <->  D  e.  V )
31 difeq1 3458 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  \  _I  )  =  ( y  \  _I  ) )
3231dmeqd 5072 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
3332sseq1d 3375 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  X ) )
3433elrab 3092 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( y  e.  B  /\  dom  (
y  \  _I  )  C_  X ) )
35 difeq1 3458 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
3635dmeqd 5072 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( z  \  _I  ) )
3736sseq1d 3375 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( z 
\  _I  )  C_  X ) )
3837elrab 3092 . . 3  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )
3993ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  G  e.  Grp )
40 simp2l 983 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
y  e.  B )
41 simp3l 985 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
z  e.  B )
42 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
435, 42grpcl 14818 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
4439, 40, 41, 43syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
458, 5, 42symgov 15100 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4640, 41, 45syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4746difeq1d 3464 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  ( (
y  o.  z ) 
\  _I  ) )
4847dmeqd 5072 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  ) )
49 mvdco 27365 . . . . . 6  |-  dom  (
( y  o.  z
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )
50 simp2r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )
51 simp3r 986 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( z  \  _I  )  C_  X )
5250, 51unssd 3523 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  C_  X
)
5349, 52syl5ss 3359 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  C_  X )
5448, 53eqsstrd 3382 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  C_  X )
55 difeq1 3458 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5655dmeqd 5072 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5756sseq1d 3375 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  C_  X ) )
5857elrab 3092 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  C_  X ) )
5944, 54, 58sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X } )
6030, 34, 38, 59syl3anb 1227 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  /\  z  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )
619adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  G  e.  Grp )
62 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  y  e.  B )
63 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
645, 63grpinvcl 14850 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
6561, 62, 64syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  B )
668, 5, 63symginv 15105 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  =  `' y )
6766ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  =  `' y )
6867difeq1d 3464 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  ( `' y 
\  _I  ) )
6968dmeqd 5072 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  dom  ( `' y 
\  _I  ) )
708, 5elsymgbas2 15096 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  <->  y : D
-1-1-onto-> D ) )
7170ibi 233 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7271ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  y : D
-1-1-onto-> D )
73 f1omvdcnv 27364 . . . . . . 7  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7472, 73syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7569, 74eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
76 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  X )
7775, 76eqsstrd 3382 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )  C_  X )
78 difeq1 3458 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( x  \  _I  )  =  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
7978dmeqd 5072 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8079sseq1d 3375 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  \  _I  )  C_  X ) )
8180elrab 3092 . . . 4  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  B  /\  dom  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  \  _I  )  C_  X ) )
8265, 77, 81sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)
8334, 82sylan2b 462 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )
841, 2, 3, 7, 29, 60, 83, 9issubgrpd2 16260 1  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    \ cdif 3317    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628    _I cid 4493   `'ccnv 4877   dom cdm 4878    |` cres 4880    o. ccom 4882   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686  SubGrpcsubg 14938   SymGrpcsymg 15092
This theorem is referenced by:  psgnunilem5  27394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-tset 13548  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941  df-symg 15093
  Copyright terms: Public domain W3C validator