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Theorem symgsssg 27408
Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgsssg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgsssg  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    D( x)    V( x)

Proof of Theorem symgsssg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2284 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)  =  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } ) )
2 eqidd 2284 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  G
) )
3 eqidd 2284 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
4 ssrab2 3258 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  B
5 symgsssg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5sseqtri 3210 . . 3  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  ( Base `  G )
76a1i 10 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  ( Base `  G ) )
8 symgsssg.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
98symggrp 14780 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
115, 10grpidcl 14510 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 15 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
138symgid 14781 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
1413difeq1d 3293 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  ( ( 0g `  G )  \  _I  ) )
1514dmeqd 4881 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( (  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
16 resss 4979 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  D )  C_  _I
17 ssdif0 3513 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  D )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/) )
1816, 17mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/)
1918dmeqi 4880 . . . . . . 7  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  (/)
20 dm0 4892 . . . . . . 7  |-  dom  (/)  =  (/)
2119, 20eqtri 2303 . . . . . 6  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  (/)
22 0ss 3483 . . . . . 6  |-  (/)  C_  X
2321, 22eqsstri 3208 . . . . 5  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  C_  X
2423a1i 10 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( (  _I  |`  D ) 
\  _I  )  C_  X )
2515, 24eqsstr3d 3213 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( ( 0g `  G )  \  _I  )  C_  X )
26 difeq1 3287 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2726dmeqd 4881 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2827sseq1d 3205 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( 0g `  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
2928elrab 2923 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( ( 0g `  G )  e.  B  /\  dom  (
( 0g `  G
)  \  _I  )  C_  X ) )
3012, 25, 29sylanbrc 645 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)
31 biid 227 . . 3  |-  ( D  e.  V  <->  D  e.  V )
32 difeq1 3287 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  \  _I  )  =  ( y  \  _I  ) )
3332dmeqd 4881 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
3433sseq1d 3205 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  X ) )
3534elrab 2923 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( y  e.  B  /\  dom  (
y  \  _I  )  C_  X ) )
36 difeq1 3287 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
3736dmeqd 4881 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( z  \  _I  ) )
3837sseq1d 3205 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( z 
\  _I  )  C_  X ) )
3938elrab 2923 . . 3  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )
4093ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  G  e.  Grp )
41 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
y  e.  B )
42 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
z  e.  B )
43 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
445, 43grpcl 14495 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
4540, 41, 42, 44syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
468, 5, 43symgov 14777 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4741, 42, 46syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4847difeq1d 3293 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  ( (
y  o.  z ) 
\  _I  ) )
4948dmeqd 4881 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  ) )
50 mvdco 27388 . . . . . 6  |-  dom  (
( y  o.  z
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )
51 simp2r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )
52 simp3r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( z  \  _I  )  C_  X )
5351, 52unssd 3351 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  C_  X
)
5450, 53syl5ss 3190 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  C_  X )
5549, 54eqsstrd 3212 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  C_  X )
56 difeq1 3287 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5756dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5857sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  C_  X ) )
5958elrab 2923 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  C_  X ) )
6045, 55, 59sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X } )
6131, 35, 39, 60syl3anb 1225 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  /\  z  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )
629adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  G  e.  Grp )
63 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  y  e.  B )
64 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
655, 64grpinvcl 14527 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
6662, 63, 65syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  B )
678, 5, 64symginv 14782 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  =  `' y )
6867ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  =  `' y )
6968difeq1d 3293 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  ( `' y 
\  _I  ) )
7069dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  dom  ( `' y 
\  _I  ) )
718, 5elsymgbas2 14773 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  <->  y : D
-1-1-onto-> D ) )
7271ibi 232 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7372ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  y : D
-1-1-onto-> D )
74 f1omvdcnv 27387 . . . . . . 7  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7573, 74syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7670, 75eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
77 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  X )
7876, 77eqsstrd 3212 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )  C_  X )
79 difeq1 3287 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( x  \  _I  )  =  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8079dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8180sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  \  _I  )  C_  X ) )
8281elrab 2923 . . . 4  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  B  /\  dom  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  \  _I  )  C_  X ) )
8366, 78, 82sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)
8435, 83sylan2b 461 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )
851, 2, 3, 7, 30, 61, 84, 9issubgrpd2 15941 1  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455    _I cid 4304   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615   SymGrpcsymg 14769
This theorem is referenced by:  psgnunilem5  27417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-tset 13227  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-symg 14770
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