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Theorem symgtgp 17800
Description: The symmetric group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symgtgp.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
symgtgp  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopGrp )

Proof of Theorem symgtgp
Dummy variables  t 
f  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtgp.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
21symggrp 14796 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )
3 grpmnd 14510 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Mnd )
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
61, 5symgtopn 14801 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  =  ( TopOpen `  G )
)
7 distopon 16750 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A
) )
8 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
98pttoponconst 17308 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
107, 9mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
111, 5elsymgbas 14790 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
12 f1of 5488 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
13 elmapg 6801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
x : A --> A ) )
1413anidms 626 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( A  ^m  A )  <->  x : A
--> A ) )
1512, 14syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  ( A  ^m  A ) ) )
1611, 15sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  ->  x  e.  ( A  ^m  A
) ) )
1716ssrdv 3198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A ) )
18 resttopon 16908 . . . . . 6  |-  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) )  /\  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A
) )  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
1910, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
206, 19eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( TopOpen
`  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
21 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
225, 21istps 16690 . . . 4  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2320, 22sylibr 203 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopSp )
24 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
251, 5, 24symgplusg 14792 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  o.  y ) )
26 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A )t  ( Base `  G ) )  =  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) )
27 distop 16749 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
28 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P A  ^ k o  ~P A )  =  ( ~P A  ^ k o  ~P A
)
2928xkotopon 17311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\ 
~P A  e.  Top )  ->  ( ~P A  ^ k o  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) ) )
3027, 27, 29syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  ^ k o  ~P A )  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) ) )
31 cndis 17035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( ~P A  Cn  ~P A )  =  ( A  ^m  A ) )
327, 31mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  Cn  ~P A
)  =  ( A  ^m  A ) )
3317, 32sseqtr4d 3228 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )
34 disllycmp 17240 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e. Locally  Comp )
35 llynlly 17219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P A  e. Locally  Comp  ->  ~P A  e. 𝑛Locally  Comp )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e. 𝑛Locally  Comp )
37 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A
)  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )
3837xkococn 17370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\ 
~P A  e. 𝑛Locally  Comp  /\  ~P A  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ~P A  ^ k o  ~P A
)  tX  ( ~P A  ^ k o  ~P A ) )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A
) ) )
3927, 36, 27, 38syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A
) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ~P A  ^ k o  ~P A )  tX  ( ~P A  ^ k o  ~P A ) )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A
) ) )
4026, 30, 33, 26, 30, 33, 39cnmpt2res 17387 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ( ~P A  ^ k o  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A
) ) )
4125, 40syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( ( ~P A  ^ k o  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A
) ) )
42 xkopt 17365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  ^ k o  ~P A
)  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
4327, 42mpancom 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  ^ k o  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
4443oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) ) )
4544, 6eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  =  (
TopOpen `  G ) )
4645, 45oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  tX  (
( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) ) )
4746oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( ( ~P A  ^ k o  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A
) )  =  ( ( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A
) ) )
4841, 47eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A
) ) )
49 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
50 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
5149, 50coex 5232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  o.  y )  e. 
_V
5225, 51fnmpt2i 6209 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  Fn  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )
53 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( + f `  G )  =  ( + f `  G )
545, 24, 53plusfeq 14397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +g  `  G )  Fn  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) )  ->  ( + f `  G )  =  ( +g  `  G ) )
5552, 54ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( + f `  G )  =  ( +g  `  G
)
5655eqcomi 2300 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( + f `  G
)
575, 56grpplusf 14515 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( +g  `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
58 frn 5411 . . . . . . 7  |-  ( ( +g  `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  ran  ( +g  `  G )  C_  ( Base `  G ) )
592, 57, 583syl 18 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( +g  `  G ) 
C_  ( Base `  G
) )
60 cnrest2 17030 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~P A  ^ k o  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  /\  ran  ( +g  `  G
)  C_  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  -> 
( ( +g  `  G
)  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A ) )  <-> 
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
6130, 59, 33, 60syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A ) )  <-> 
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
6248, 61mpbid 201 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) )
6345oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
6462, 63eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
6556, 21istmd 17773 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  TopSp  /\  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
664, 23, 64, 65syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  G  e. TopMnd )
67 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
685, 67grpinvf 14542 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
692, 68syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( inv g `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
7069feqmptd 5591 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( inv g `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( inv g `  G ) `
 x ) ) )
711, 5, 67symginv 14798 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  =  `' x )
7271adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  x
)  =  `' x
)
7311biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
74 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A -1-1-onto-> A )
75 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A --> A )
7673, 74, 753syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x : A --> A )
7776feqmptd 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x  =  (
y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )
7872, 77eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  x
)  =  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )
7978mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( inv g `  G
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) ) )
8070, 79eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( inv g `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) ) )
81 id 19 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
82 fconst6g 5446 . . . . . . . 8  |-  ( ~P A  e.  Top  ->  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top )
8327, 82syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top )
84 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' x : A --> A  /\  y  e.  A )  ->  ( `' x `  y )  e.  A
)
8576, 84sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( `' x `  y )  e.  A )
8685an32s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' x `  y )  e.  A )
87 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )
8886, 87fmptd 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A )
8988adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A )
90 cnveq 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  f  ->  `' x  =  `' f
)
9190fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  f  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y ) )
92 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' f `  y )  e.  _V
9391, 87, 92fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( Base `  G
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  =  ( `' f `
 y ) )
9493ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  =  ( `' f `  y
) )
9594eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  <-> 
( `' f `  y )  e.  t ) )
96 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )
9796mptiniseg 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  _V  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) ) " { y } )  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } )
9850, 97ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) ) " { y } )  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }
99 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) )t  ( Base `  G
) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )
10010ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
10117ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A ) )
102 toponuni 16681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A
) )  ->  ( A  ^m  A )  = 
U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
103 mpteq1 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) )
104100, 102, 1033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) )
105 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  A  e.  V )
10683ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( A  X.  { ~P A }
) : A --> Top )
1071, 5elsymgbas 14790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  G )  <->  f : A
-1-1-onto-> A ) )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( f  e.  (
Base `  G )  <->  f : A -1-1-onto-> A ) )
109108biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  f : A
-1-1-onto-> A )
110 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : A -1-1-onto-> A  ->  `' f : A -1-1-onto-> A )
111 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( `' f : A -1-1-onto-> A  ->  `' f : A --> A )
112109, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  `' f : A --> A )
113 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  y  e.  A )
114 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( `' f : A --> A  /\  y  e.  A
)  ->  ( `' f `  y )  e.  A )
115112, 113, 114syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' f `  y )  e.  A )
116 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
117116, 8ptpjcn 17321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top  /\  ( `' f `
 y )  e.  A )  ->  (
u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 ( `' f `
 y ) ) ) )
118105, 106, 115, 117syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 ( `' f `
 y ) ) ) )
11927ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ~P A  e.  Top )
120 fvconst2g 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  ( `' f `  y )  e.  A
)  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) )  =  ~P A )
121119, 115, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) )  =  ~P A )
122121oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
123118, 122eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
124104, 123eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
12599, 100, 101, 124cnmpt1res 17386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  (
Base `  G )
)  Cn  ~P A
) )
1266oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  Cn 
~P A )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
127126ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  Cn 
~P A )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
128125, 127eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
129 snelpwi 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  ~P A
)
130129ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  { y }  e.  ~P A
)
131 cnima 17010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  /\  { y }  e.  ~P A
)  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) " {
y } )  e.  ( TopOpen `  G )
)
132128, 130, 131syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) " {
y } )  e.  ( TopOpen `  G )
)
13398, 132syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )
)
134133adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )
)
135 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f  e.  ( Base `  G
) )
136109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f : A -1-1-onto-> A )
137 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  y  e.  A )
138 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  y  e.  A )  ->  ( f `  ( `' f `  y
) )  =  y )
139136, 137, 138syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
f `  ( `' f `  y )
)  =  y )
140 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  f  ->  (
u `  ( `' f `  y )
)  =  ( f `
 ( `' f `
 y ) ) )
141140eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  f  ->  (
( u `  ( `' f `  y
) )  =  y  <-> 
( f `  ( `' f `  y
) )  =  y ) )
142141elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  <->  ( f  e.  ( Base `  G
)  /\  ( f `  ( `' f `  y ) )  =  y ) )
143135, 139, 142sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )
144 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( Base `  G )
145144a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( Base `  G )
)
14611ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
147146biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
148115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  A )
149 f1ocnvfv 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x : A -1-1-onto-> A  /\  ( `' f `  y
)  e.  A )  ->  ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y ) ) )
150147, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `  y
) ) )
151 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  t )
152 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y )  -> 
( ( `' x `  y )  e.  t  <-> 
( `' f `  y )  e.  t ) )
153151, 152syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( `' x `  y )  =  ( `' f `  y
)  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
154150, 153syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
155154ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
156 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  x  ->  (
u `  ( `' f `  y )
)  =  ( x `
 ( `' f `
 y ) ) )
157156eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  x  ->  (
( u `  ( `' f `  y
) )  =  y  <-> 
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y ) )
158157ralrab 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t  <->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
159155, 158sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t )
160 ssrab 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  { x  e.  ( Base `  G
)  |  ( `' x `  y )  e.  t }  <->  ( {
u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  ( Base `  G
)  /\  A. x  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t ) )
161145, 159, 160sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  { x  e.  ( Base `  G )  |  ( `' x `  y )  e.  t } )
16287mptpreima 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) "
t )  =  {
x  e.  ( Base `  G )  |  ( `' x `  y )  e.  t }
163161, 162syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
t ) )
164 funmpt 5306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )
165 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' x `  y )  e.  _V
166165, 87dmmpti 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  =  ( Base `  G )
167145, 166syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  dom  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) )
168 funimass3 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  /\  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  dom  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } ) 
C_  t  <->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
t ) ) )
169164, 167, 168sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t  <->  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " t ) ) )
170163, 169mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
)
171 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( f  e.  v  <->  f  e.  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } ) )
172 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  =  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } ) )
173172sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t  <->  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
) )
174171, 173anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
)  <->  ( f  e. 
{ u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } ) 
C_  t ) ) )
175174rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )  /\  (
f  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) )
176134, 143, 170, 175syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) )
177176expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( `' f `
 y )  e.  t  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
17895, 177sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
179178ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  A. t  e.  ~P  A ( ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
18020ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A )
)
182 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  f  e.  ( Base `  G )
)
183 iscnp 16983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. t  e.  ~P  A
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) ) ) )
184180, 181, 182, 183syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G ) --> A  /\  A. t  e.  ~P  A
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) ) ) )
18589, 179, 184mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) )
186185ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  A. f  e.  (
Base `  G )
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) )
187 cncnp 17025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
18820, 7, 187syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
189188adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
19088, 186, 189mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
191 fvconst2g 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
)  =  ~P A
)
19227, 191sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 y )  =  ~P A )
193192oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
) )  =  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ~P A ) )
194190, 193eleqtrrd 2373 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
) ) )
1958, 20, 81, 83, 194ptcn 17337 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
19680, 195eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
19743oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A
) )  =  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
198196, 197eleqtrrd 2373 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A ) ) )
199 frn 5411 . . . . . 6  |-  ( ( inv g `  G
) : ( Base `  G ) --> ( Base `  G )  ->  ran  ( inv g `  G
)  C_  ( Base `  G ) )
2002, 68, 1993syl 18 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( inv g `  G
)  C_  ( Base `  G ) )
201 cnrest2 17030 . . . . 5  |-  ( ( ( ~P A  ^ k o  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  /\  ran  ( inv g `  G )  C_  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  -> 
( ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A
) )  <->  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
20230, 200, 33, 201syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ k o  ~P A
) )  <->  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
203198, 202mpbid 201 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  (
( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) ) )
20445oveq2d 5890 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( TopOpen `  G )  Cn  ( ( ~P A  ^ k o  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( TopOpen `  G ) ) )
205203, 204eleqtrd 2372 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) )
20621, 67istgp 17776 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
2072, 66, 205, 206syl3anbrc 1136 1  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    o. ccom 4709   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   Xt_cpt 13359   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   + fcplusf 14380   SymGrpcsymg 14785   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   TopSpctps 16650    Cn ccn 16970    CnP ccnp 16971   Compccmp 17129  Locally clly 17206  𝑛Locally cnlly 17207    tX ctx 17271    ^ k o cxko 17272  TopMndctmd 17769   TopGrpctgp 17770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-symg 14786  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-lly 17208  df-nlly 17209  df-tx 17273  df-xko 17274  df-tmd 17771  df-tgp 17772
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