Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgtrinv Unicode version

Theorem symgtrinv 27413
 Description: To invert a permutation represented as a sequence of transpositions, reverse the sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrinv.t pmTrsp
symgtrinv.g
symgtrinv.i
Assertion
Ref Expression
symgtrinv Word g g reverse

Proof of Theorem symgtrinv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrinv.g . . . . . 6
21symggrp 14780 . . . . 5
3 eqid 2283 . . . . . 6 oppg oppg
4 symgtrinv.i . . . . . 6
53, 4invoppggim 14833 . . . . 5 GrpIso oppg
62, 5syl 15 . . . 4 GrpIso oppg
7 gimghm 14728 . . . 4 GrpIso oppg oppg
8 ghmmhm 14693 . . . 4 oppg MndHom oppg
96, 7, 83syl 18 . . 3 MndHom oppg
10 symgtrinv.t . . . . . 6 pmTrsp
11 eqid 2283 . . . . . 6
1210, 1, 11symgtrf 27410 . . . . 5
13 sswrd 11423 . . . . 5 Word Word
1412, 13ax-mp 8 . . . 4 Word Word
1514sseli 3176 . . 3 Word Word
1611gsumwmhm 14467 . . 3 MndHom oppg Word g oppg g
179, 15, 16syl2an 463 . 2 Word g oppg g
1811, 4grpinvf 14526 . . . . . . . 8
192, 18syl 15 . . . . . . 7
2019adantr 451 . . . . . 6 Word
21 wrdf 11419 . . . . . . . 8 Word ..^
2221adantl 452 . . . . . . 7 Word ..^
23 fss 5397 . . . . . . 7 ..^ ..^
2422, 12, 23sylancl 643 . . . . . 6 Word ..^
25 fco 5398 . . . . . 6 ..^ ..^
2620, 24, 25syl2anc 642 . . . . 5 Word ..^
27 ffn 5389 . . . . 5 ..^ ..^
2826, 27syl 15 . . . 4 Word ..^
29 ffn 5389 . . . . 5 ..^ ..^
3022, 29syl 15 . . . 4 Word ..^
31 fvco2 5594 . . . . . 6 ..^ ..^
3230, 31sylan 457 . . . . 5 Word ..^
33 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8 ..^ ..^
3422, 33sylan 457 . . . . . . 7 Word ..^
3512, 34sseldi 3178 . . . . . 6 Word ..^
361, 11, 4symginv 14782 . . . . . 6
3735, 36syl 15 . . . . 5 Word ..^
38 eqid 2283 . . . . . . 7 pmTrsp pmTrsp
3938, 10pmtrfcnv 27405 . . . . . 6
4034, 39syl 15 . . . . 5 Word ..^
4132, 37, 403eqtrd 2319 . . . 4 Word ..^
4228, 30, 41eqfnfvd 5625 . . 3 Word
4342oveq2d 5874 . 2 Word oppg g oppg g
44 grpmnd 14494 . . . 4
452, 44syl 15 . . 3
4611, 3gsumwrev 14839 . . 3 Word oppg g g reverse
4745, 15, 46syl2an 463 . 2 Word oppg g g reverse
4817, 43, 473eqtrd 2319 1 Word g g reverse
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wss 3152  ccnv 4688   crn 4690   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc0 8737  ..^cfzo 10870  chash 11337  Word cword 11403  reversecreverse 11408  cbs 13148   g cgsu 13401  cmnd 14361  cgrp 14362  cminusg 14363   MndHom cmhm 14413   cghm 14680   GrpIso cgim 14721  csymg 14769  oppgcoppg 14818  pmTrspcpmtr 27384 This theorem is referenced by:  psgnuni  27422 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-reverse 11414  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-symg 14770  df-oppg 14819  df-pmtr 27385
 Copyright terms: Public domain W3C validator