MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t0hmph Structured version   Unicode version

Theorem t0hmph 17812
Description: T0 is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
t0hmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Kol2  ->  K  e.  Kol2 ) )

Proof of Theorem t0hmph
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t0top 17383 . 2  |-  ( J  e.  Kol2  ->  J  e. 
Top )
2 cnt0 17400 . 2  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  f : U. K -1-1-> U. J  /\  f  e.  ( K  Cn  J ) )  ->  K  e.  Kol2 )
31, 2haushmphlem 17809 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Kol2  ->  K  e.  Kol2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   Kol2ct0 17360    ~= chmph 17776
This theorem is referenced by:  t0kq  17840  kqhmph  17841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-1o 6716  df-map 7012  df-top 16953  df-topon 16956  df-cn 17281  df-t0 17367  df-hmeo 17777  df-hmph 17778
  Copyright terms: Public domain W3C validator