MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t0kq Structured version   Unicode version

Theorem t0kq 17850
Description: A topological space is T0 iff the quotient map is a homeomorphism onto the space's Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t0kq.1  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
t0kq  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem t0kq
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 t0kq.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
32ist0-4 17761 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F : X -1-1-> _V ) )
43biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F : X -1-1-> _V )
51, 4qtopf1 17848 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F  e.  ( J  Homeo  ( J qTop 
F ) ) )
62kqval 17758 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop 
F ) )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  (KQ `  J )  =  ( J qTop  F ) )
87oveq2d 6097 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  ( J  Homeo  (KQ `  J
) )  =  ( J  Homeo  ( J qTop  F ) ) )
95, 8eleqtrrd 2513 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J ) ) )
10 hmphi 17809 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) )  ->  J  ~=  (KQ `  J ) )
11 hmphsym 17814 . . . . 5  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  (KQ `  J
)  ~=  J )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) )  ->  (KQ `  J
)  ~=  J )
132kqt0lem 17768 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
14 t0hmph 17822 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  ~=  J  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  ->  J  e.  Kol2 ) )
1512, 13, 14syl2im 36 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  ->  J  e.  Kol2 )
)
1615impcom 420 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J ) ) )  ->  J  e.  Kol2 )
179, 16impbida 806 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -1-1->wf1 5451   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   qTop cqtop 13729  TopOnctopon 16959   Kol2ct0 17370  KQckq 17725    Homeo chmeo 17785    ~= chmph 17786
This theorem is referenced by:  kqhmph  17851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-1o 6724  df-map 7020  df-qtop 13733  df-top 16963  df-topon 16966  df-cn 17291  df-t0 17377  df-kq 17726  df-hmeo 17787  df-hmph 17788
  Copyright terms: Public domain W3C validator