MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t0kq Unicode version

Theorem t0kq 17565
Description: A topological space is T0 iff the quotient map is a homeomorphism onto the space's Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t0kq.1  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
t0kq  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem t0kq
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 t0kq.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
32ist0-4 17476 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F : X -1-1-> _V ) )
43biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F : X -1-1-> _V )
51, 4qtopf1 17563 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F  e.  ( J  Homeo  ( J qTop 
F ) ) )
62kqval 17473 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop 
F ) )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  (KQ `  J )  =  ( J qTop  F ) )
87oveq2d 5916 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  ( J  Homeo  (KQ `  J
) )  =  ( J  Homeo  ( J qTop  F ) ) )
95, 8eleqtrrd 2393 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J ) ) )
10 hmphi 17524 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) )  ->  J  ~=  (KQ `  J ) )
11 hmphsym 17529 . . . . 5  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  (KQ `  J
)  ~=  J )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) )  ->  (KQ `  J
)  ~=  J )
132kqt0lem 17483 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
14 t0hmph 17537 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  ~=  J  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  ->  J  e.  Kol2 ) )
1512, 13, 14syl2im 34 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  ->  J  e.  Kol2 )
)
1615impcom 419 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J ) ) )  ->  J  e.  Kol2 )
179, 16impbida 805 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {crab 2581   _Vcvv 2822   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   -1-1->wf1 5289   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   qTop cqtop 13455  TopOnctopon 16688   Kol2ct0 17090  KQckq 17440    Homeo chmeo 17500    ~= chmph 17501
This theorem is referenced by:  kqhmph  17566
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-suc 4435  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-1o 6521  df-map 6817  df-qtop 13459  df-top 16692  df-topon 16695  df-cn 17013  df-t0 17097  df-kq 17441  df-hmeo 17502  df-hmph 17503
  Copyright terms: Public domain W3C validator