Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t0kq Structured version   Unicode version

Theorem t0kq 17850
 Description: A topological space is T0 iff the quotient map is a homeomorphism onto the space's Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t0kq.1
Assertion
Ref Expression
t0kq TopOn KQ
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem t0kq
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4 TopOn TopOn
2 t0kq.1 . . . . . 6
32ist0-4 17761 . . . . 5 TopOn
43biimpa 471 . . . 4 TopOn
51, 4qtopf1 17848 . . 3 TopOn qTop
62kqval 17758 . . . . 5 TopOn KQ qTop
76adantr 452 . . . 4 TopOn KQ qTop
87oveq2d 6097 . . 3 TopOn KQ qTop
95, 8eleqtrrd 2513 . 2 TopOn KQ
10 hmphi 17809 . . . . 5 KQ KQ
11 hmphsym 17814 . . . . 5 KQ KQ
1210, 11syl 16 . . . 4 KQ KQ
132kqt0lem 17768 . . . 4 TopOn KQ
14 t0hmph 17822 . . . 4 KQ KQ
1512, 13, 14syl2im 36 . . 3 KQ TopOn
1615impcom 420 . 2 TopOn KQ
179, 16impbida 806 1 TopOn KQ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2709  cvv 2956   class class class wbr 4212   cmpt 4266  wf1 5451  cfv 5454  (class class class)co 6081   qTop cqtop 13729  TopOnctopon 16959  ct0 17370  KQckq 17725   chmeo 17785   chmph 17786 This theorem is referenced by:  kqhmph  17851 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-1o 6724  df-map 7020  df-qtop 13733  df-top 16963  df-topon 16966  df-cn 17291  df-t0 17377  df-kq 17726  df-hmeo 17787  df-hmph 17788
 Copyright terms: Public domain W3C validator