MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t0kq Unicode version

Theorem t0kq 17509
Description: A topological space is T0 iff the quotient map is a homeomorphism onto the space's Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t0kq.1  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
t0kq  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem t0kq
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 t0kq.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
32ist0-4 17420 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F : X -1-1-> _V ) )
43biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F : X -1-1-> _V )
51, 4qtopf1 17507 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F  e.  ( J  Homeo  ( J qTop 
F ) ) )
62kqval 17417 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop 
F ) )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  (KQ `  J )  =  ( J qTop  F ) )
87oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  ( J  Homeo  (KQ `  J
) )  =  ( J  Homeo  ( J qTop  F ) ) )
95, 8eleqtrrd 2360 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J ) ) )
10 hmphi 17468 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) )  ->  J  ~=  (KQ `  J ) )
11 hmphsym 17473 . . . . 5  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  (KQ `  J
)  ~=  J )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) )  ->  (KQ `  J
)  ~=  J )
132kqt0lem 17427 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
14 t0hmph 17481 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  ~=  J  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  ->  J  e.  Kol2 ) )
1512, 13, 14syl2im 34 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  ->  J  e.  Kol2 )
)
1615impcom 419 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J ) ) )  ->  J  e.  Kol2 )
179, 16impbida 805 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   qTop cqtop 13406  TopOnctopon 16632   Kol2ct0 17034  KQckq 17384    Homeo chmeo 17444    ~= chmph 17445
This theorem is referenced by:  kqhmph  17510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-map 6774  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-t0 17041  df-kq 17385  df-hmeo 17446  df-hmph 17447
  Copyright terms: Public domain W3C validator