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Theorem t0sep 17068
Description: Any two topologically indistinguishable points in a T0 space are identical. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t0sep  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x )  ->  A  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J    x, X

Proof of Theorem t0sep
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ist0.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21ist0 17064 . . 3  |-  ( J  e.  Kol2  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  (
y  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  y  =  z ) ) )
32simprbi 450 . 2  |-  ( J  e.  Kol2  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  (
y  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  y  =  z ) )
4 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  x  <->  A  e.  x ) )
54bibi1d 310 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  ( A  e.  x  <->  z  e.  x
) ) )
65ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  J  ( y  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x
) ) )
7 eqeq1 2302 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  z  <->  A  =  z ) )
86, 7imbi12d 311 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( A. x  e.  J  ( y  e.  x  <->  z  e.  x
)  ->  y  =  z )  <->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  A  =  z ) ) )
9 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  x  <->  B  e.  x ) )
109bibi2d 309 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
) ) )
1110ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
) ) )
12 eqeq2 2305 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A  =  z  <->  A  =  B ) )
1311, 12imbi12d 311 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x
)  ->  A  =  z )  <->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x )  ->  A  =  B ) ) )
148, 13rspc2va 2904 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  (
y  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  y  =  z ) )  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
)  ->  A  =  B ) )
1514ancoms 439 . 2  |-  ( ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  ( y  e.  x  <->  z  e.  x )  -> 
y  =  z )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
)  ->  A  =  B ) )
163, 15sylan 457 1  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x )  ->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843   Topctop 16647   Kol2ct0 17050
This theorem is referenced by:  t0dist  17069  cnt0  17090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-uni 3844  df-t0 17057
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