MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t0sep Unicode version

Theorem t0sep 17052
Description: Any two topologically indistinguishable points in a T0 space are identical. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t0sep  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x )  ->  A  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J    x, X

Proof of Theorem t0sep
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ist0.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21ist0 17048 . . 3  |-  ( J  e.  Kol2  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  (
y  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  y  =  z ) ) )
32simprbi 450 . 2  |-  ( J  e.  Kol2  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  (
y  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  y  =  z ) )
4 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  x  <->  A  e.  x ) )
54bibi1d 310 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  ( A  e.  x  <->  z  e.  x
) ) )
65ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  J  ( y  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x
) ) )
7 eqeq1 2289 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  z  <->  A  =  z ) )
86, 7imbi12d 311 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( A. x  e.  J  ( y  e.  x  <->  z  e.  x
)  ->  y  =  z )  <->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  A  =  z ) ) )
9 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  x  <->  B  e.  x ) )
109bibi2d 309 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
) ) )
1110ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
) ) )
12 eqeq2 2292 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A  =  z  <->  A  =  B ) )
1311, 12imbi12d 311 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x
)  ->  A  =  z )  <->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x )  ->  A  =  B ) ) )
148, 13rspc2va 2891 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  (
y  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  y  =  z ) )  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
)  ->  A  =  B ) )
1514ancoms 439 . 2  |-  ( ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  ( y  e.  x  <->  z  e.  x )  -> 
y  =  z )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
)  ->  A  =  B ) )
163, 15sylan 457 1  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x )  ->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827   Topctop 16631   Kol2ct0 17034
This theorem is referenced by:  t0dist  17053  cnt0  17074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-uni 3828  df-t0 17041
  Copyright terms: Public domain W3C validator