MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1conperf Unicode version

Theorem t1conperf 17178
Description: A connected T1 space is perfect, unless it is the topology of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
t1conperf.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t1conperf  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con  /\  -.  X  ~~  1o )  ->  J  e. Perf )

Proof of Theorem t1conperf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1conperf.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
2 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  J  e.  Con )
3 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  e.  J )
4 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
54snnz 3757 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  =/=  (/)
65a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  =/=  (/) )
71t1sncld 17070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
87ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
91, 2, 3, 6, 8conclo 17157 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  =  X )
104ensn1 6941 . . . . . . . 8  |-  { x }  ~~  1o
119, 10syl6eqbrr 4077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  X  ~~  1o )
1211expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  x  e.  X
)  ->  ( {
x }  e.  J  ->  X  ~~  1o ) )
1312rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( E. x  e.  X  { x }  e.  J  ->  X  ~~  1o ) )
1413con3d 125 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  -.  E. x  e.  X  { x }  e.  J )
)
15 ralnex 2566 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J  <->  -. 
E. x  e.  X  { x }  e.  J )
1614, 15syl6ibr 218 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
17 t1top 17074 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
1817adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  J  e.  Top )
191isperf3 16900 . . . . 5  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
2019baib 871 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e. Perf  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
2118, 20syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( J  e. Perf  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
)
2216, 21sylibrd 225 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  J  e. Perf )
)
23223impia 1148 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con  /\  -.  X  ~~  1o )  ->  J  e. Perf )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   1oc1o 6488    ~~ cen 6876   Topctop 16647   Clsdccld 16769  Perfcperf 16883   Frect1 17051   Conccon 17153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-en 6880  df-top 16652  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-lp 16884  df-perf 16885  df-t1 17058  df-con 17154
  Copyright terms: Public domain W3C validator