MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1conperf Structured version   Unicode version

Theorem t1conperf 17491
Description: A connected T1 space is perfect, unless it is the topology of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
t1conperf.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t1conperf  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con  /\  -.  X  ~~  1o )  ->  J  e. Perf )

Proof of Theorem t1conperf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1conperf.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
2 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  J  e.  Con )
3 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  e.  J )
4 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
54snnz 3914 . . . . . . . . 9  |-  { x }  =/=  (/)
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  =/=  (/) )
71t1sncld 17382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
87ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
91, 2, 3, 6, 8conclo 17470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  =  X )
104ensn1 7163 . . . . . . 7  |-  { x }  ~~  1o
119, 10syl6eqbrr 4242 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  X  ~~  1o )
1211rexlimdvaa 2823 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( E. x  e.  X  { x }  e.  J  ->  X  ~~  1o ) )
1312con3d 127 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  -.  E. x  e.  X  { x }  e.  J )
)
14 ralnex 2707 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J  <->  -. 
E. x  e.  X  { x }  e.  J )
1513, 14syl6ibr 219 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
16 t1top 17386 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
1716adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  J  e.  Top )
181isperf3 17209 . . . . 5  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
1918baib 872 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e. Perf  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
2017, 19syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( J  e. Perf  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
)
2115, 20sylibrd 226 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  J  e. Perf )
)
22213impia 1150 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con  /\  -.  X  ~~  1o )  ->  J  e. Perf )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   (/)c0 3620   {csn 3806   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   1oc1o 6709    ~~ cen 7098   Topctop 16950   Clsdccld 17072  Perfcperf 17191   Frect1 17363   Conccon 17466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-en 7102  df-top 16955  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-lp 17192  df-perf 17193  df-t1 17370  df-con 17467
  Copyright terms: Public domain W3C validator