MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1ficld Unicode version

Theorem t1ficld 17314
Description: In a T1 space, finite sets are closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t1ficld  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem t1ficld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunid 4088 . 2  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  A
2 ist0.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32ist1 17308 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  X  { x }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
43simplbi 447 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
543ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  J  e.  Top )
6 simp3 959 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
73simprbi 451 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  ->  A. x  e.  X  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
8 ssralv 3351 . . . . 5  |-  ( A 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  { x }  e.  ( Clsd `  J )  ->  A. x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J )
) )
97, 8mpan9 456 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X )  ->  A. x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
1093adant3 977 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
112iuncld 17033 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  {
x }  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J
) )
125, 6, 10, 11syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
131, 12syl5eqelr 2473 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    C_ wss 3264   {csn 3758   U.cuni 3958   U_ciun 4036   ` cfv 5395   Fincfn 7046   Topctop 16882   Clsdccld 17004   Frect1 17294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-fin 7050  df-top 16887  df-cld 17007  df-t1 17301
  Copyright terms: Public domain W3C validator