MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1r0 Unicode version

Theorem t1r0 17512
Description: A T1 space is R0. That is, the Kolmogorov quotient of a T1 space is also T1 (because they are homeomorphic). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
t1r0  |-  ( J  e.  Fre  ->  (KQ `  J )  e.  Fre )

Proof of Theorem t1r0
StepHypRef Expression
1 t1t0 17076 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
2 kqhmph 17510 . . 3  |-  ( J  e.  Kol2  <->  J  ~=  (KQ `  J ) )
31, 2sylib 188 . 2  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  ~=  (KQ `  J ) )
4 t1hmph 17482 . 2  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  ( J  e.  Fre  ->  (KQ `  J
)  e.  Fre )
)
53, 4mpcom 32 1  |-  ( J  e.  Fre  ->  (KQ `  J )  e.  Fre )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Kol2ct0 17034   Frect1 17035  KQckq 17384    ~= chmph 17445
This theorem is referenced by:  nrmreg  17515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-map 6774  df-topgen 13344  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cn 16957  df-t0 17041  df-t1 17042  df-kq 17385  df-hmeo 17446  df-hmph 17447
  Copyright terms: Public domain W3C validator