MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1r0 Structured version   Unicode version

Theorem t1r0 17855
Description: A T1 space is R0. That is, the Kolmogorov quotient of a T1 space is also T1 (because they are homeomorphic). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
t1r0  |-  ( J  e.  Fre  ->  (KQ `  J )  e.  Fre )

Proof of Theorem t1r0
StepHypRef Expression
1 t1t0 17414 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
2 kqhmph 17853 . . 3  |-  ( J  e.  Kol2  <->  J  ~=  (KQ `  J ) )
31, 2sylib 190 . 2  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  ~=  (KQ `  J ) )
4 t1hmph 17825 . 2  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  ( J  e.  Fre  ->  (KQ `  J
)  e.  Fre )
)
53, 4mpcom 35 1  |-  ( J  e.  Fre  ->  (KQ `  J )  e.  Fre )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   Kol2ct0 17372   Frect1 17373  KQckq 17727    ~= chmph 17788
This theorem is referenced by:  nrmreg  17858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-1o 6726  df-map 7022  df-topgen 13669  df-qtop 13735  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-cn 17293  df-t0 17379  df-t1 17380  df-kq 17728  df-hmeo 17789  df-hmph 17790
  Copyright terms: Public domain W3C validator