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Theorem t1sep2 17113
Description: Any two points in a T1 space which have no separation are equal. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t1sep2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A  =  B ) )
Distinct variable groups:    A, o    B, o    o, J    o, X

Proof of Theorem t1sep2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 17074 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 t1sep.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32toptopon 16687 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
41, 3sylib 188 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5 ist1-2 17091 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
76ibi 232 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
8 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  o  <->  A  e.  o ) )
98imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
109ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
11 eqeq1 2302 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  y  <->  A  =  y ) )
1210, 11imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A  =  y )
) )
13 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  o  <->  B  e.  o ) )
1413imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
1514ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
16 eqeq2 2305 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( A  =  y  <->  A  =  B ) )
1715, 16imbi12d 311 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A  =  y )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A  =  B )
) )
1812, 17rspc2v 2903 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A  =  B ) ) )
197, 18mpan9 455 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A  =  B ) )
20193impb 1147 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Frect1 17051
This theorem is referenced by:  t1sep  17114  isr0  17444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-t1 17058
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