Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1sep2 Structured version   Unicode version

Theorem t1sep2 17425
 Description: Any two points in a T1 space which have no separation are equal. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1
Assertion
Ref Expression
t1sep2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem t1sep2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 17386 . . . . . 6
2 t1sep.1 . . . . . . 7
32toptopon 16990 . . . . . 6 TopOn
41, 3sylib 189 . . . . 5 TopOn
5 ist1-2 17403 . . . . 5 TopOn
64, 5syl 16 . . . 4
76ibi 233 . . 3
8 eleq1 2495 . . . . . . 7
98imbi1d 309 . . . . . 6
109ralbidv 2717 . . . . 5
11 eqeq1 2441 . . . . 5
1210, 11imbi12d 312 . . . 4
13 eleq1 2495 . . . . . . 7
1413imbi2d 308 . . . . . 6
1514ralbidv 2717 . . . . 5
16 eqeq2 2444 . . . . 5
1715, 16imbi12d 312 . . . 4
1812, 17rspc2v 3050 . . 3
197, 18mpan9 456 . 2
20193impb 1149 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cuni 4007  cfv 5446  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ct1 17363 This theorem is referenced by:  t1sep  17426  isr0  17761 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-t1 17370
 Copyright terms: Public domain W3C validator