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Theorem t1t0 17076
Description: A T1 space is a T0 space. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
t1t0  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )

Proof of Theorem t1t0
Dummy variables  x  y  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 17058 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 16671 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 188 . 2  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 bi1 178 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o ) )
65ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
76imim1i 54 . . . . . 6  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
87ralimi 2618 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
98ralimi 2618 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
109a1i 10 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
11 ist1-2 17075 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
12 ist0-2 17072 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
1310, 11, 123imtr4d 259 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 ) )
144, 13mpcom 32 1  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Kol2ct0 17034   Frect1 17035
This theorem is referenced by:  t1r0  17512  ist1-5  17513  ishaus3  17514  reghaus  17516  nrmhaus  17517  tgpt0  17801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-t0 17041  df-t1 17042
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