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Theorem t1t0 17092
Description: A T1 space is a T0 space. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
t1t0  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )

Proof of Theorem t1t0
Dummy variables  x  y  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 17074 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 16687 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 188 . 2  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 bi1 178 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o ) )
65ralimi 2631 . . . . . . 7  |-  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
76imim1i 54 . . . . . 6  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
87ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
98ralimi 2631 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
109a1i 10 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
11 ist1-2 17091 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
12 ist0-2 17088 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
1310, 11, 123imtr4d 259 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 ) )
144, 13mpcom 32 1  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Kol2ct0 17050   Frect1 17051
This theorem is referenced by:  t1r0  17528  ist1-5  17529  ishaus3  17530  reghaus  17532  nrmhaus  17533  tgpt0  17817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-t0 17057  df-t1 17058
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