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Theorem tanarg 20515
Description: The basic relation between the "arg" function 
Im  o.  log and the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanarg  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  / 
( Re `  A
) ) )

Proof of Theorem tanarg
StepHypRef Expression
1 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  ( Re ` 
0 ) )
2 re0 11958 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  0 )  =  0
31, 2syl6eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  0 )
43necon3i 2644 . . . . . 6  |-  ( ( Re `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
5 logcl 20467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
64, 5sylan2 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
76imcld 12001 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
87recnd 9115 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
9 sqcl 11445 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
109adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
11 abscl 12084 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1211adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1312recnd 9115 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1413sqcld 11522 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
15 absrpcl 12094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
164, 15sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
1716rpne0d 10654 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
18 sqne0 11449 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  0
) )
1913, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  0 ) )
2017, 19mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =/=  0 )
2110, 14, 14, 20divdird 9829 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
22 ax-icn 9050 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
23 mulcl 9075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
2422, 8, 23sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
25 2z 10313 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
26 efexp 12703 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ^ 2 ) )
2724, 25, 26sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ^ 2 ) )
28 efiarg 20503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
294, 28sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
3029oveq1d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  / 
( abs `  A
) ) ^ 2 ) )
31 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3231, 13, 17sqdivd 11537 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A  / 
( abs `  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
3327, 30, 323eqtrrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3414, 20dividd 9789 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
3533, 34oveq12d 6100 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )
3621, 35eqtr2d 2470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
3710, 14addcld 9108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
3822a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  _i  e.  CC )
39 2cn 10071 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
40 recl 11916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
4140adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
4241recnd 9115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  CC )
4342sqcld 11522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
44 mulcl 9075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4539, 43, 44sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
4639a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
2  e.  CC )
47 imcl 11917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
4847adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
4948recnd 9115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
5042, 49mulcld 9109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5138, 46, 50mul12d 9276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
5238, 42, 49mul12d 9276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5352oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
5451, 53eqtrd 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
55 mulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5622, 49, 55sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5742, 56mulcld 9109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
58 mulcl 9075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
5939, 57, 58sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
6054, 59eqeltrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
6138, 45, 60adddid 9113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
62 mulcl 9075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )
6342, 22, 62sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )
6446, 63, 42mulassd 9112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
6542sqvald 11521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  A ) ) )
6665oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( (
( Re `  A
)  x.  ( Re
`  A ) )  x.  _i ) )
67 mulcom 9077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )
6843, 22, 67sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )
6942, 42, 38mul32d 9277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  A
) )  x.  _i )  =  ( (
( Re `  A
)  x.  _i )  x.  ( Re `  A ) ) )
7066, 68, 693eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  _i )  x.  ( Re `  A ) ) )
7170oveq2d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
7246, 38, 43mul12d 9276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) ) )
7364, 71, 723eqtr2d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) ) )
74 ixi 9652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
7574oveq1i 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )
76 mulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
7739, 49, 76sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
7877, 42mulcld 9109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
7938, 38, 78mulassd 9112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) ) ) )
8075, 79syl5eqr 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) ) ) )
8178mulm1d 9486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  -u (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )
8246, 49, 42mulassd 9112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
8349, 42mulcomd 9110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
8483oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
8582, 84eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
8685oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
8786oveq2d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
8880, 81, 873eqtr3d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
8973, 88oveq12d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  x.  ( Re `  A
) )  +  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )  =  ( ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) ) )
90 mulcl 9075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  e.  CC )
9139, 63, 90sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  e.  CC )
9291, 42mulcld 9109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
9392, 78negsubd 9418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  x.  ( Re `  A
) )  +  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  -  ( ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Re `  A ) ) ) )
9461, 89, 933eqtr2d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Re
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
9549sqcld 11522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
9659, 95subcld 9412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
9743, 96, 43, 95add4d 9290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
98 replim 11922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
9998adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
10099oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ^ 2 ) )
101 binom2 11497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^
2 ) ) )
10242, 56, 101syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^
2 ) ) )
103 sqmul 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
10422, 49, 103sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
105 i2 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
106105oveq1i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )
107104, 106syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
10895mulm1d 9486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( Im `  A
) ^ 2 ) )
109107, 108eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  -u ( ( Im
`  A ) ^
2 ) )
110109oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  -u ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
11143, 59addcld 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
112111, 95negsubd 9418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  +  -u ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  -  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
113102, 110, 1123eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  -  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
11443, 59, 95addsubassd 9432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
115100, 113, 1143eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
116 absvalsq2 12087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
117116adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
118115, 117oveq12d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
119432timesd 10211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) ) )
12059, 95npcand 9416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
12153, 51, 1203eqtr4d 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
122119, 121oveq12d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
12397, 118, 1223eqtr4d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
124123oveq2d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
12591, 77, 42subdird 9491 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Re
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
12694, 124, 1253eqtr4d 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Re `  A ) ) )
12791, 77subcld 9412 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  e.  CC )
128 mulcom 9077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( Re `  A
) ) )
12942, 22, 128sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( Re `  A
) ) )
130 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
131 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  x.  ( Re
`  A ) )  =  ( Im `  A )  ->  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR  <->  ( Im `  A )  e.  RR ) )
13248, 131syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  =  ( Im
`  A )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR ) )
133 rimul 9992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )  ->  ( Re `  A )  =  0 )
13441, 132, 133ee12an 1373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  =  ( Im
`  A )  -> 
( Re `  A
)  =  0 ) )
135134necon3d 2640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  =/=  0  ->  ( _i  x.  (
Re `  A )
)  =/=  ( Im
`  A ) ) )
136130, 135mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  =/=  ( Im
`  A ) )
137129, 136eqnetrd 2620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =/=  ( Im `  A ) )
13891, 77subeq0ad 9422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =  0  <-> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) ) )
139 2ne0 10084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
2  =/=  0 )
14163, 49, 46, 140mulcand 9656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  <-> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( Im `  A ) ) )
142138, 141bitrd 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =  0  <-> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( Im `  A ) ) )
143142necon3bid 2637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =/=  0  <->  ( ( Re `  A
)  x.  _i )  =/=  ( Im `  A ) ) )
144137, 143mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  =/=  0 )
145127, 42, 144, 130mulne0d 9675 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  A )
)  =/=  0 )
146126, 145eqnetrd 2620 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
147 oveq2 6090 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  0  ->  (
_i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
14822mul01i 9257 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
149147, 148syl6eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  0  ->  (
_i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  0 )
150149necon3i 2644 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =/=  0  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =/=  0 )
151146, 150syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =/=  0 )
15237, 14, 151, 20divne0d 9807 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =/=  0 )
15336, 152eqnetrd 2620 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =/=  0 )
154 tanval3 12736 . . 3  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =/=  0 )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  / 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) ) ) )
1558, 153, 154syl2anc 644 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  /  ( _i  x.  ( ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) )  +  1 ) ) ) )
15610, 14, 14, 20divsubdird 9830 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
15733, 34oveq12d 6100 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 ) )
158156, 157eqtr2d 2470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
15936oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
16038, 37, 14, 20divassd 9826 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )
161159, 160eqtr4d 2472 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
162158, 161oveq12d 6100 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) )  -  1 )  /  ( _i  x.  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )
16310, 14subcld 9412 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
164 mulcl 9075 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
16522, 37, 164sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
166163, 165, 14, 146, 20divcan7d 9819 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) ) )
167115, 117oveq12d 6100 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
16843, 96, 95pnpcand 9449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) ) )
16959, 95, 95subsub4d 9443 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
170952timesd 10211 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Im `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
171170oveq2d 6098 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
17246, 63, 49mulassd 9112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
17342, 38, 49mulassd 9112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  _i )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
174173oveq2d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
175172, 174eqtr2d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
17649sqvald 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
177176oveq2d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
17846, 49, 49mulassd 9112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
179177, 178eqtr4d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
180175, 179oveq12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  ( Im `  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Im `  A )
) ) )
18191, 77, 49subdird 9491 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Im
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
182180, 181eqtr4d 2472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) ) )
183169, 171, 1823eqtr2d 2475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
184167, 168, 1833eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
185184, 126oveq12d 6100 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) )  /  (
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
18649, 42, 127, 130, 144divcan5d 9817 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) )  /  (
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( ( Im `  A )  /  ( Re `  A ) ) )
187166, 185, 1863eqtrd 2473 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( Im `  A
)  /  ( Re
`  A ) ) )
188155, 162, 1873eqtrd 2473 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  / 
( Re `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992   _ici 8993    + caddc 8994    x. cmul 8996    - cmin 9292   -ucneg 9293    / cdiv 9678   2c2 10050   ZZcz 10283   RR+crp 10613   ^cexp 11383   Recre 11903   Imcim 11904   abscabs 12040   expce 12665   tanctan 12669   logclog 20453
This theorem is referenced by:  logcnlem4  20537  atanlogsublem  20756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-tan 12675  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755  df-log 20455
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