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Theorem tanarg 19970
Description: The basic relation between the "arg" function 
Im  o.  log and the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanarg  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  / 
( Re `  A
) ) )

Proof of Theorem tanarg
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  ( Re ` 
0 ) )
2 re0 11637 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  0 )  =  0
31, 2syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  0 )
43necon3i 2485 . . . . . 6  |-  ( ( Re `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
5 logcl 19926 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
64, 5sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
76imcld 11680 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
87recnd 8861 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
9 sqcl 11166 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
11 abscl 11763 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1211adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1312recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1413sqcld 11243 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
15 absrpcl 11773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
164, 15sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
1716rpne0d 10395 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
18 sqne0 11170 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  0
) )
1913, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  0 ) )
2017, 19mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =/=  0 )
2110, 14, 14, 20divdird 9574 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
22 ax-icn 8796 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
23 mulcl 8821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
2422, 8, 23sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
25 2z 10054 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
26 efexp 12381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ^ 2 ) )
2724, 25, 26sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ^ 2 ) )
28 efiarg 19961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
294, 28sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
3029oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  / 
( abs `  A
) ) ^ 2 ) )
3127, 30eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( A  /  ( abs `  A
) ) ^ 2 ) )
32 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3332, 13, 17sqdivd 11258 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A  / 
( abs `  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
3431, 33eqtr2d 2316 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3514, 20dividd 9534 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
3634, 35oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )
3721, 36eqtr2d 2316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
3810, 14addcld 8854 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
3922a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  _i  e.  CC )
40 2cn 9816 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
41 recl 11595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
4342recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  CC )
4443sqcld 11243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
45 mulcl 8821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4640, 44, 45sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
4740a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
2  e.  CC )
48 imcl 11596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
5049recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
5143, 50mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5239, 47, 51mul12d 9021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
5339, 43, 50mul12d 9021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5453oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
5552, 54eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
56 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5722, 50, 56sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5843, 57mulcld 8855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
59 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
6040, 58, 59sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
6155, 60eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
6239, 46, 61adddid 8859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
63 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )
6443, 22, 63sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )
6547, 64, 43mulassd 8858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
6643sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  A ) ) )
6766oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( (
( Re `  A
)  x.  ( Re
`  A ) )  x.  _i ) )
68 mulcom 8823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )
6944, 22, 68sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )
7043, 43, 39mul32d 9022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  A
) )  x.  _i )  =  ( (
( Re `  A
)  x.  _i )  x.  ( Re `  A ) ) )
7167, 69, 703eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  _i )  x.  ( Re `  A ) ) )
7271oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
7347, 39, 44mul12d 9021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) ) )
7465, 72, 733eqtr2d 2321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) ) )
75 ixi 9397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
7675oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )
77 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
7840, 50, 77sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
7978, 43mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
8039, 39, 79mulassd 8858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) ) ) )
8176, 80syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) ) ) )
8279mulm1d 9231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  -u (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )
8347, 50, 43mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
8450, 43mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
8584oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
8683, 85eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
8786oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
8887oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
8981, 82, 883eqtr3d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
9074, 89oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  x.  ( Re `  A
) )  +  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )  =  ( ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) ) )
91 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  e.  CC )
9240, 64, 91sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  e.  CC )
9392, 43mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
9493, 79negsubd 9163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  x.  ( Re `  A
) )  +  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  -  ( ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Re `  A ) ) ) )
9562, 90, 943eqtr2d 2321 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Re
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
9650sqcld 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
9760, 96subcld 9157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
9844, 97, 44, 96add4d 9035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
99 replim 11601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
101100oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ^ 2 ) )
102 binom2 11218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^
2 ) ) )
10343, 57, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^
2 ) ) )
104 sqmul 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
10522, 50, 104sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
106 i2 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
107106oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )
108105, 107syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
10996mulm1d 9231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( Im `  A
) ^ 2 ) )
110108, 109eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  -u ( ( Im
`  A ) ^
2 ) )
111110oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  -u ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
11244, 60addcld 8854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
113112, 96negsubd 9163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  +  -u ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  -  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
114103, 111, 1133eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  -  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
11544, 60, 96addsubassd 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
116101, 114, 1153eqtrd 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
117 absvalsq2 11766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
118117adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
119116, 118oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
120442timesd 9954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) ) )
12160, 96npcand 9161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
12254, 52, 1213eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
123120, 122oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
12498, 119, 1233eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
125124oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
12692, 78, 43subdird 9236 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Re
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
12795, 125, 1263eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Re `  A ) ) )
12892, 78subcld 9157 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  e.  CC )
129 mulcom 8823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( Re `  A
) ) )
13043, 22, 129sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( Re `  A
) ) )
131 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
132 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  x.  ( Re
`  A ) )  =  ( Im `  A )  ->  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR  <->  ( Im `  A )  e.  RR ) )
13349, 132syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  =  ( Im
`  A )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR ) )
134 rimul 9737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )  ->  ( Re `  A )  =  0 )
13542, 133, 134ee12an 1353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  =  ( Im
`  A )  -> 
( Re `  A
)  =  0 ) )
136135necon3d 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  =/=  0  ->  ( _i  x.  (
Re `  A )
)  =/=  ( Im
`  A ) ) )
137131, 136mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  =/=  ( Im
`  A ) )
138130, 137eqnetrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =/=  ( Im `  A ) )
139 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  =  0  <->  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  A ) ) ) )
14092, 78, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =  0  <-> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) ) )
141 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
142141a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
2  =/=  0 )
14364, 50, 47, 142mulcand 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  <-> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( Im `  A ) ) )
144140, 143bitrd 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =  0  <-> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( Im `  A ) ) )
145144necon3bid 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =/=  0  <->  ( ( Re `  A
)  x.  _i )  =/=  ( Im `  A ) ) )
146138, 145mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  =/=  0 )
147128, 43, 146, 131mulne0d 9420 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  A )
)  =/=  0 )
148127, 147eqnetrd 2464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
149 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  0  ->  (
_i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
15022mul01i 9002 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
151149, 150syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  0  ->  (
_i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  0 )
152151necon3i 2485 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =/=  0  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =/=  0 )
153148, 152syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =/=  0 )
15438, 14, 153, 20divne0d 9552 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =/=  0 )
15537, 154eqnetrd 2464 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =/=  0 )
156 tanval3 12414 . . 3  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =/=  0 )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  / 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) ) ) )
1578, 155, 156syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  /  ( _i  x.  ( ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) )  +  1 ) ) ) )
15810, 14, 14, 20divsubdird 9575 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
15934, 35oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 ) )
160158, 159eqtr2d 2316 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
16137oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
16239, 38, 14, 20divassd 9571 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )
163161, 162eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
164160, 163oveq12d 5876 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) )  -  1 )  /  ( _i  x.  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )
16510, 14subcld 9157 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
166 mulcl 8821 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
16722, 38, 166sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
168165, 167, 14, 148, 20divcan7d 9564 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) ) )
169116, 118oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
17044, 97, 96pnpcand 9194 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) ) )
17160, 96, 96subsub4d 9188 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
172962timesd 9954 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Im `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
173172oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
17447, 64, 50mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
17543, 39, 50mulassd 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  _i )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
176175oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
177174, 176eqtr2d 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
17850sqvald 11242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
179178oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
18047, 50, 50mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
181179, 180eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
182177, 181oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  ( Im `  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Im `  A )
) ) )
18392, 78, 50subdird 9236 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Im
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
184182, 183eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) ) )
185171, 173, 1843eqtr2d 2321 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
186169, 170, 1853eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
187186, 127oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) )  /  (
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
18850, 43, 128, 131, 146divcan5d 9562 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) )  /  (
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( ( Im `  A )  /  ( Re `  A ) ) )
189168, 187, 1883eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( Im `  A
)  /  ( Re
`  A ) ) )
190157, 164, 1893eqtrd 2319 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  / 
( Re `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ^cexp 11104   Recre 11582   Imcim 11583   abscabs 11719   expce 12343   tanctan 12347   logclog 19912
This theorem is referenced by:  logcnlem4  19992  atanlogsublem  20211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
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