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Theorem tanarg 20475
Description: The basic relation between the "arg" function 
Im  o.  log and the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanarg  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  / 
( Re `  A
) ) )

Proof of Theorem tanarg
StepHypRef Expression
1 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  ( Re ` 
0 ) )
2 re0 11920 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  0 )  =  0
31, 2syl6eq 2460 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  0 )
43necon3i 2614 . . . . . 6  |-  ( ( Re `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
5 logcl 20427 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
64, 5sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
76imcld 11963 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
87recnd 9078 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
9 sqcl 11407 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
11 abscl 12046 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1211adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1312recnd 9078 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1413sqcld 11484 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
15 absrpcl 12056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
164, 15sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
1716rpne0d 10617 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
18 sqne0 11411 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  0
) )
1913, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  0 ) )
2017, 19mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =/=  0 )
2110, 14, 14, 20divdird 9792 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
22 ax-icn 9013 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
23 mulcl 9038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
2422, 8, 23sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
25 2z 10276 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
26 efexp 12665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ^ 2 ) )
2724, 25, 26sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ^ 2 ) )
28 efiarg 20463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
294, 28sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
3029oveq1d 6063 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  / 
( abs `  A
) ) ^ 2 ) )
31 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3231, 13, 17sqdivd 11499 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A  / 
( abs `  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
3327, 30, 323eqtrrd 2449 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3414, 20dividd 9752 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
3533, 34oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )
3621, 35eqtr2d 2445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
3710, 14addcld 9071 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
3822a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  _i  e.  CC )
39 2cn 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
40 recl 11878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
4241recnd 9078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  CC )
4342sqcld 11484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
44 mulcl 9038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4539, 43, 44sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
4639a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
2  e.  CC )
47 imcl 11879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
4948recnd 9078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
5042, 49mulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5138, 46, 50mul12d 9239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
5238, 42, 49mul12d 9239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5352oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
5451, 53eqtrd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
55 mulcl 9038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5622, 49, 55sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5742, 56mulcld 9072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
58 mulcl 9038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
5939, 57, 58sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
6054, 59eqeltrd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
6138, 45, 60adddid 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
62 mulcl 9038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )
6342, 22, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )
6446, 63, 42mulassd 9075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
6542sqvald 11483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  A ) ) )
6665oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( (
( Re `  A
)  x.  ( Re
`  A ) )  x.  _i ) )
67 mulcom 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )
6843, 22, 67sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )
6942, 42, 38mul32d 9240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  A
) )  x.  _i )  =  ( (
( Re `  A
)  x.  _i )  x.  ( Re `  A ) ) )
7066, 68, 693eqtr3d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  _i )  x.  ( Re `  A ) ) )
7170oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
7246, 38, 43mul12d 9239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) ) )
7364, 71, 723eqtr2d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) ) )
74 ixi 9615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
7574oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )
76 mulcl 9038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
7739, 49, 76sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
7877, 42mulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
7938, 38, 78mulassd 9075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) ) ) )
8075, 79syl5eqr 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) ) ) )
8178mulm1d 9449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  -u (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )
8246, 49, 42mulassd 9075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
8349, 42mulcomd 9073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
8483oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
8582, 84eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
8685oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
8786oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
8880, 81, 873eqtr3d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
8973, 88oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  x.  ( Re `  A
) )  +  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )  =  ( ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) ) )
90 mulcl 9038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  e.  CC )
9139, 63, 90sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  e.  CC )
9291, 42mulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
9392, 78negsubd 9381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  x.  ( Re `  A
) )  +  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  -  ( ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Re `  A ) ) ) )
9461, 89, 933eqtr2d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Re
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
9549sqcld 11484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
9659, 95subcld 9375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
9743, 96, 43, 95add4d 9253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
98 replim 11884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
9998adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
10099oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ^ 2 ) )
101 binom2 11459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^
2 ) ) )
10242, 56, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^
2 ) ) )
103 sqmul 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
10422, 49, 103sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
105 i2 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
106105oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )
107104, 106syl6eq 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
10895mulm1d 9449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( Im `  A
) ^ 2 ) )
109107, 108eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  -u ( ( Im
`  A ) ^
2 ) )
110109oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  -u ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
11143, 59addcld 9071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
112111, 95negsubd 9381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  +  -u ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  -  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
113102, 110, 1123eqtrd 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  -  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
11443, 59, 95addsubassd 9395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
115100, 113, 1143eqtrd 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
116 absvalsq2 12049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
117116adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
118115, 117oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
119432timesd 10174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) ) )
12059, 95npcand 9379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
12153, 51, 1203eqtr4d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
122119, 121oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
12397, 118, 1223eqtr4d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
124123oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
12591, 77, 42subdird 9454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Re
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
12694, 124, 1253eqtr4d 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Re `  A ) ) )
12791, 77subcld 9375 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  e.  CC )
128 mulcom 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( Re `  A
) ) )
12942, 22, 128sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( Re `  A
) ) )
130 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
131 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  x.  ( Re
`  A ) )  =  ( Im `  A )  ->  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR  <->  ( Im `  A )  e.  RR ) )
13248, 131syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  =  ( Im
`  A )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR ) )
133 rimul 9955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )  ->  ( Re `  A )  =  0 )
13441, 132, 133ee12an 1369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  =  ( Im
`  A )  -> 
( Re `  A
)  =  0 ) )
135134necon3d 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  =/=  0  ->  ( _i  x.  (
Re `  A )
)  =/=  ( Im
`  A ) ) )
136130, 135mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  =/=  ( Im
`  A ) )
137129, 136eqnetrd 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =/=  ( Im `  A ) )
13891, 77subeq0ad 9385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =  0  <-> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) ) )
139 2ne0 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
2  =/=  0 )
14163, 49, 46, 140mulcand 9619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  <-> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( Im `  A ) ) )
142138, 141bitrd 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =  0  <-> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( Im `  A ) ) )
143142necon3bid 2610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =/=  0  <->  ( ( Re `  A
)  x.  _i )  =/=  ( Im `  A ) ) )
144137, 143mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  =/=  0 )
145127, 42, 144, 130mulne0d 9638 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  A )
)  =/=  0 )
146126, 145eqnetrd 2593 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
147 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  0  ->  (
_i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
14822mul01i 9220 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
149147, 148syl6eq 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  0  ->  (
_i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  0 )
150149necon3i 2614 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =/=  0  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =/=  0 )
151146, 150syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =/=  0 )
15237, 14, 151, 20divne0d 9770 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =/=  0 )
15336, 152eqnetrd 2593 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =/=  0 )
154 tanval3 12698 . . 3  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =/=  0 )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  / 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) ) ) )
1558, 153, 154syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  /  ( _i  x.  ( ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) )  +  1 ) ) ) )
15610, 14, 14, 20divsubdird 9793 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
15733, 34oveq12d 6066 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 ) )
158156, 157eqtr2d 2445 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
15936oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
16038, 37, 14, 20divassd 9789 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )
161159, 160eqtr4d 2447 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
162158, 161oveq12d 6066 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) )  -  1 )  /  ( _i  x.  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )
16310, 14subcld 9375 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
164 mulcl 9038 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
16522, 37, 164sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
166163, 165, 14, 146, 20divcan7d 9782 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) ) )
167115, 117oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
16843, 96, 95pnpcand 9412 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) ) )
16959, 95, 95subsub4d 9406 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
170952timesd 10174 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Im `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
171170oveq2d 6064 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
17246, 63, 49mulassd 9075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
17342, 38, 49mulassd 9075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  _i )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
174173oveq2d 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
175172, 174eqtr2d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
17649sqvald 11483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
177176oveq2d 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
17846, 49, 49mulassd 9075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
179177, 178eqtr4d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
180175, 179oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  ( Im `  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Im `  A )
) ) )
18191, 77, 49subdird 9454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Im
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
182180, 181eqtr4d 2447 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) ) )
183169, 171, 1823eqtr2d 2450 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
184167, 168, 1833eqtrd 2448 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
185184, 126oveq12d 6066 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) )  /  (
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
18649, 42, 127, 130, 144divcan5d 9780 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) )  /  (
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( ( Im `  A )  /  ( Re `  A ) ) )
187166, 185, 1863eqtrd 2448 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( Im `  A
)  /  ( Re
`  A ) ) )
188155, 162, 1873eqtrd 2448 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  / 
( Re `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955   _ici 8956    + caddc 8957    x. cmul 8959    - cmin 9255   -ucneg 9256    / cdiv 9641   2c2 10013   ZZcz 10246   RR+crp 10576   ^cexp 11345   Recre 11865   Imcim 11866   abscabs 12002   expce 12627   tanctan 12631   logclog 20413
This theorem is referenced by:  logcnlem4  20497  atanlogsublem  20716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-tan 12637  df-pi 12638  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415
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