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Theorem tangtx 19873
Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tangtx  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( tan `  A
) )

Proof of Theorem tangtx
StepHypRef Expression
1 elioore 10686 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  e.  RR )
21recoscld 12424 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
31, 2remulcld 8863 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  e.  RR )
4 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
5 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
61, 5syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
76resqcld 11271 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 2 )  e.  RR )
8 3nn 9878 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
9 nndivre 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  e.  RR )
11 resubcl 9111 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
124, 10, 11sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
131, 12remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  RR )
14 2re 9815 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
15 remulcl 8822 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
1614, 10, 15sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
17 resubcl 9111 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR )
184, 16, 17sylancr 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  RR )
1913, 18remulcld 8863 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  e.  RR )
201resincld 12423 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
2112resqcld 11271 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
22 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2314, 21, 22sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
24 resubcl 9111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2523, 4, 24sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2612, 18remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  e.  RR )
271recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  e.  CC )
28 2cn 9816 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
2928a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  e.  CC )
30 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
3130a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  =/=  0 )
3227, 29, 31divcan2d 9538 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
3332fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
346recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
35 cos2t 12458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
3733, 36eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
386recoscld 12424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
3938resqcld 11271 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
40 remulcl 8822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
4114, 39, 40sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
424a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  1  e.  RR )
4314a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  e.  RR )
44 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  A  /\  A  <  ( pi  / 
2 ) ) )
4544simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  A )
46 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  2 )
481, 43, 45, 47divgt0d 9692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( A  /  2
) )
49 pire 19832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  e.  RR
50 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5149, 50mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5244simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( pi  /  2
) )
53 pigt2lt4 19830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
5453simpri 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  pi  <  4
55 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5654, 55breqtrri 4048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  <  ( 2  x.  2 )
5714, 46pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
58 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  2 ) ) )
5949, 14, 57, 58mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( pi  /  2 )  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  2 ) )
6056, 59mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  2 )  <  2
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
pi  /  2 )  <  2 )
621, 51, 43, 52, 61lttrd 8977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  2 )
6328mulid2i 8840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6462, 63syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( 1  x.  2 ) )
65 ltdivmul2 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( A  /  2 )  <  1  <->  A  <  ( 1  x.  2 ) ) )
661, 42, 43, 47, 65syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  <  1  <->  A  <  ( 1  x.  2 ) ) )
6764, 66mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  <  1 )
686, 42, 67ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  <_ 
1 )
69 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
70 elioc2 10713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( A  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  2
)  /\  ( A  /  2 )  <_ 
1 ) ) )
7169, 4, 70mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( A  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  2
)  /\  ( A  /  2 )  <_ 
1 ) )
726, 48, 68, 71syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1
) )
73 cos01bnd 12466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
7574simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
76 cos01gt0 12471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
7772, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
78 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
79 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
8078, 38, 79sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
8177, 80mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
8278a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  e.  RR )
8382, 38, 12, 77, 75lttrd 8977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
8482, 12, 83ltled 8967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
8538, 12, 81, 84lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) )  <  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  <->  ( ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ^
2 )  <  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) ) )
8675, 85mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )
87 ltmul2 9607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  <  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  <  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
8839, 21, 43, 47, 87syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) ) ) )
8986, 88mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) ) )
9041, 23, 42, 89ltsub1dd 9384 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  < 
( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
9137, 90eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  < 
( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
92 3re 9817 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
93 remulcl 8822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
9492, 10, 93sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
95 4re 9819 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
96 remulcl 8822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
9795, 10, 96sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
9810resqcld 11271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  e.  RR )
99 remulcl 8822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
10014, 98, 99sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
101 readdcl 8820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
1024, 100, 101sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  e.  RR )
103 3lt4 9889 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
10492a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  e.  RR )
10595a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  4  e.  RR )
10648gt0ne0d 9337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  =/=  0 )
1076, 106sqgt0d 11273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) )
108 3pos 9830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  3
109108a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  3 )
1107, 104, 107, 109divgt0d 9692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )
111 ltmul1 9606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR  /\  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  ->  ( 3  <  4  <->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  <  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
112104, 105, 10, 110, 111syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  <  4  <->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
113103, 112mpbii 202 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  <  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
11494, 97, 102, 113ltsub2dd 9385 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
115 sq1 11198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
11710recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
118117mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )
119118oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
120116, 119oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
121120oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( 1 ^ 2 )  -  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
122 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
123 binom2sub 11220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1 ^ 2 )  -  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
124122, 117, 123sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1 ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( 1  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
12542recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  1  e.  CC )
12698recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  e.  CC )
12716recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
128125, 126, 127addsubd 9178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
129121, 124, 1283eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
130129oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
131 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
132122, 126, 131sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
13329, 132, 127subdid 9235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
13429, 125, 126adddid 8859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
1351222timesi 9845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
136135oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
137100recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
138125, 125, 137addassd 8857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
139136, 138syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
140134, 139eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
14155oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )
14229, 29, 117mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
143141, 142syl5reqr 2330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
144140, 143oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
145 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
146122, 137, 145sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  e.  CC )
14797recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
148125, 146, 147addsubassd 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
149144, 148eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
150130, 133, 1493eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
151150oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  - 
1 ) )
152146, 147subcld 9157 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  CC )
153 pncan2 9058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )
154122, 152, 153sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
155151, 154eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
156 subcl 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  CC )
157122, 117, 156sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
158157, 125, 127subdid 9235 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  1 )  -  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
159157mulid1d 8852 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  1 )  =  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
160125, 117, 127subdird 9236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
161127mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
162117, 29, 117mul12d 9021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
163117sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
164163oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
165162, 164eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
166161, 165oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  -  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
167160, 166eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
168159, 167oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  1 )  -  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  -  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
169125, 117, 127, 137subadd4d 9205 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
170 df-3 9805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
17128, 122addcomi 9003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  1 )  =  ( 1  +  2 )
172170, 171eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 1  +  2 )
173172oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( ( 1  +  2 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )
174125, 29, 117adddird 8860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
175118oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
176174, 175eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
177173, 176syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
178177oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
179169, 178eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
180158, 168, 1793eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
181114, 155, 1803brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  <  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  x.  ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
1822, 25, 26, 91, 181lttrd 8977 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
183 ltmul2 9607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  ( ( cos `  A )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( A  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  x.  ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) ) ) )
1842, 26, 1, 45, 183syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  A
)  <  ( (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( cos `  A
) )  <  ( A  x.  ( (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) ) ) )
185182, 184mpbid 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( A  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) ) ) )
18618recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  CC )
18727, 157, 186mulassd 8858 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( A  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) ) )
188185, 187breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
18913, 38remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  e.  RR )
19074simpld 445 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
1911, 12, 45, 83mulgt0d 8971 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
192 ltmul2 9607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )  ->  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  <  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
19318, 38, 13, 191, 192syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  < 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
194190, 193mpbid 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  <  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
19529, 34, 157mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( A  /  2 ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  =  ( 2  x.  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
19632oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( A  /  2 ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  =  ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
19734, 125, 117subdid 9235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( ( A  /  2 )  x.  1 )  -  ( ( A  / 
2 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
19834mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  1 )  =  ( A  / 
2 ) )
199170oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  =  ( ( A  / 
2 ) ^ (
2  +  1 ) )
200 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN0
201 expp1 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
20234, 200, 201sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2
) ) )
203199, 202syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2
) ) )
2047recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 2 )  e.  CC )
205204, 34mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
206203, 205eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
207206oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  /  2 ) ^
2 ) )  / 
3 ) )
208 3cn 9818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
209208a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  e.  CC )
210 3ne0 9831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =/=  0
211210a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  =/=  0 )
21234, 204, 209, 211divassd 9571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  x.  (
( A  /  2
) ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
213207, 212eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) )
214198, 213oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  x.  1 )  -  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )
215197, 214eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )
216215oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( A  /  2 )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) ) ) )
217195, 196, 2163eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) ) ) )
218 sin01bnd 12465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  /\  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  < 
( A  /  2
) ) )
21972, 218syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  /\  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  < 
( A  /  2
) ) )
220219simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
221 3nn0 9983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
222 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  e.  RR )
2236, 221, 222sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  e.  RR )
224 nndivre 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
)  e.  RR )
225223, 8, 224sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 )  e.  RR )
2266, 225resubcld 9211 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) )  e.  RR )
2276resincld 12423 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
228 ltmul2 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( 2  x.  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
229226, 227, 43, 47, 228syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  <->  ( 2  x.  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )  < 
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
230220, 229mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
231217, 230eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
232 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  e.  RR )
23314, 227, 232sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  e.  RR )
234 ltmul1 9606 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  (
( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
23513, 233, 38, 77, 234syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
236231, 235mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  < 
( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
237227recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
23838recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
23929, 237, 238mulassd 8858 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
240 sin2t 12457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
24134, 240syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
24232fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( sin `  A
) )
243239, 241, 2423eqtr2rd 2322 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  A )  =  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
244236, 243breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  < 
( sin `  A
) )
24519, 189, 20, 194, 244lttrd 8977 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  <  ( sin `  A
) )
2463, 19, 20, 188, 245lttrd 8977 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( sin `  A
) )
247 sincosq1sgn 19866 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )
248247simprd 449 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  A
) )
249 ltmuldiv 9626 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( sin `  A )  e.  RR  /\  (
( cos `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )  -> 
( ( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( sin `  A )  <->  A  <  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) ) )
2501, 20, 2, 248, 249syl112anc 1186 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( sin `  A
)  <->  A  <  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) ) )
251246, 250mpbid 201 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
252248gt0ne0d 9337 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  =/=  0 )
253 tanval 12408 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
25427, 252, 253syl2anc 642 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
255251, 254breqtrrd 4049 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( tan `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   NN0cn0 9965   (,)cioo 10656   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   sincsin 12345   cosccos 12346   tanctan 12347   picpi 12348
This theorem is referenced by:  tanabsge  19874  basellem8  20325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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