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Theorem tanord 20441
Description: The tangent function is strictly increasing on its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanord  |-  ( ( A  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  B  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B ) ) )

Proof of Theorem tanord
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1331 . 2  |-  T.
2 fveq2 5729 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  y
) )
3 fveq2 5729 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  A
) )
4 fveq2 5729 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  B
) )
5 ioossre 10973 . . 3  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
6 elioore 10947 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  RR )
76recnd 9115 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  CC )
86rered 12030 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  x
)  =  x )
9 id 21 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
108, 9eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  x
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
11 cosne0 20433 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Re `  x )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  x
)  =/=  0 )
127, 10, 11syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  x
)  =/=  0 )
136, 12retancld 12747 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( tan `  x
)  e.  RR )
1413adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  x
)  e.  RR )
1563ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  x  e.  RR )
1615adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  RR )
1716recnd 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  CC )
1817negnegd 9403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u -u x  =  x )
1918fveq2d 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  -u -u x )  =  ( tan `  x
) )
2017negcld 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u x  e.  CC )
21 cosneg 12749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  -u x )  =  ( cos `  x
) )
2217, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =  ( cos `  x
) )
23 simpl1 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
2423, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  x )  =/=  0 )
2522, 24eqnetrd 2620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =/=  0 )
26 tanneg 12750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  ( cos `  -u x
)  =/=  0 )  ->  ( tan `  -u -u x
)  =  -u ( tan `  -u x ) )
2720, 25, 26syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  -u -u x )  = 
-u ( tan `  -u x
) )
2819, 27eqtr3d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  x )  = 
-u ( tan `  -u x
) )
2915adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
3029renegcld 9465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  e.  RR )
3125adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( cos `  -u x
)  =/=  0 )
3230, 31retancld 12747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  -u x
)  e.  RR )
3332renegcld 9465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  e.  RR )
34 0re 9092 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  e.  RR )
36 simp2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
375, 36sseldi 3347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  y  e.  RR )
3837adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
39 simpl2 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
40 elioore 10947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  RR )
4140recnd 9115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
4240rered 12030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  y
)  =  y )
43 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
4442, 43eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  y
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
45 cosne0 20433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( Re `  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  y
)  =/=  0 )
4641, 44, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  y
)  =/=  0 )
4739, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( cos `  y
)  =/=  0 )
4838, 47retancld 12747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  y
)  e.  RR )
49 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  <  0
)
5029lt0neg1d 9597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( x  <  0  <->  0  <  -u x
) )
5149, 50mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  -u x
)
52 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
53 eliooord 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  x  /\  x  <  ( pi 
/  2 ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  x  /\  x  <  ( pi  /  2
) ) )
5554simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  x
)
56 halfpire 20376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
57 ltnegcon1 9530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u ( pi 
/  2 )  < 
x  <->  -u x  <  (
pi  /  2 ) ) )
5856, 29, 57sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  x  <->  -u x  < 
( pi  /  2
) ) )
5955, 58mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  <  (
pi  /  2 ) )
60 0xr 9132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
6156rexri 9138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
62 elioo2 10958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) ) )
6360, 61, 62mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) )
6430, 51, 59, 63syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
65 tanrpcl 20413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( tan `  -u x
)  e.  RR+ )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  -u x
)  e.  RR+ )
6766rpgt0d 10652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  ( tan `  -u x ) )
6832lt0neg2d 9598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( 0  < 
( tan `  -u x
)  <->  -u ( tan `  -u x
)  <  0 ) )
6967, 68mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  <  0 )
70 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  y
)
71 eliooord 10971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  y  /\  y  <  ( pi 
/  2 ) ) )
7239, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  y  /\  y  <  ( pi  /  2
) ) )
7372simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  <  (
pi  /  2 ) )
74 elioo2 10958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
7560, 61, 74mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
7638, 70, 73, 75syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
77 tanrpcl 20413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  y )  e.  RR+ )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  y
)  e.  RR+ )
7978rpgt0d 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  ( tan `  y ) )
8033, 35, 48, 69, 79lttrd 9232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  <  ( tan `  y ) )
8180anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  /\  0  <  y )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
82 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  y )
8315adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  e.  RR )
8437adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  RR )
8583, 84ltnegd 9605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <  y  <->  -u y  <  -u x ) )
8682, 85mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  <  -u x )
8784renegcld 9465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  RR )
88 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  <_  0 )
8984le0neg1d 9599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
y  <_  0  <->  0  <_  -u y ) )
9088, 89mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u y )
91 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
9291, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
9392simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  y )
94 ltnegcon1 9530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u ( pi 
/  2 )  < 
y  <->  -u y  <  (
pi  /  2 ) ) )
9556, 84, 94sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  <->  -u y  < 
( pi  /  2
) ) )
9693, 95mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  <  ( pi  /  2
) )
97 elico2 10975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <  ( pi  /  2
) ) ) )
9834, 61, 97mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <  ( pi  /  2
) ) )
9987, 90, 96, 98syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
10083renegcld 9465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  e.  RR )
101 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  x  <  y )
10234a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  0  e.  RR )
103 ltletr 9167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0
) )
10415, 37, 102, 103syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0
) )
105101, 104mpand 658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  (
y  <_  0  ->  x  <  0 ) )
106105imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0 )
107 ltle 9164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( x  <  0  ->  x  <_  0 ) )
10883, 34, 107sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <  0  ->  x  <_  0 ) )
109106, 108mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <_  0 )
11083le0neg1d 9599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <_  0  <->  0  <_  -u x ) )
111109, 110mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u x )
112 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
113112, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
114113simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  x )
11556, 83, 57sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  <->  -u x  < 
( pi  /  2
) ) )
116114, 115mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  <  ( pi  /  2
) )
117 elico2 10975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( -u x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <_  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) ) )
11834, 61, 117mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <_  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) )
119100, 111, 116, 118syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
120 tanord1 20440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  /\  -u x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( -u y  <  -u x  <->  ( tan `  -u y )  <  ( tan `  -u x ) ) )
12199, 119, 120syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u y  <  -u x  <->  ( tan `  -u y
)  <  ( tan `  -u x ) ) )
12286, 121mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u y )  < 
( tan `  -u x
) )
12384recnd 9115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  CC )
124 cosneg 12749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  ->  ( cos `  -u y )  =  ( cos `  y
) )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u y )  =  ( cos `  y
) )
12691, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  y )  =/=  0 )
127125, 126eqnetrd 2620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u y )  =/=  0 )
12887, 127retancld 12747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u y )  e.  RR )
129106, 25syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =/=  0 )
130100, 129retancld 12747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u x )  e.  RR )
131128, 130ltnegd 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
( tan `  -u y
)  <  ( tan `  -u x )  <->  -u ( tan `  -u x )  <  -u ( tan `  -u y
) ) )
132122, 131mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  <  -u ( tan `  -u y
) )
133123negnegd 9403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u -u y  =  y )
134133fveq2d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u -u y )  =  ( tan `  y
) )
135123negcld 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  CC )
136 tanneg 12750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  e.  CC  /\  ( cos `  -u y
)  =/=  0 )  ->  ( tan `  -u -u y
)  =  -u ( tan `  -u y ) )
137135, 127, 136syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u -u y )  = 
-u ( tan `  -u y
) )
138134, 137eqtr3d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  y )  = 
-u ( tan `  -u y
) )
139132, 138breqtrrd 4239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
140139adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
14134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  0  e.  RR )
142 simpl2 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
1435, 142sseldi 3347 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  y  e.  RR )
14481, 140, 141, 143ltlecasei 9182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
14528, 144eqbrtrd 4233 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
146 simpl3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <  y )
14715adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  RR )
148 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  <_  x )
149 simpl1 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
150149, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
151150simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <  ( pi  /  2
) )
152 elico2 10975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
15334, 61, 152mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  (
pi  /  2 ) ) )
154147, 148, 151, 153syl3anbrc 1139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
155 simpl2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
1565, 155sseldi 3347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  RR )
15734a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  e.  RR )
158147, 156, 146ltled 9222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <_  y )
159157, 147, 156, 148, 158letrd 9228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  <_  y )
160155, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
161160simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  <  ( pi  /  2
) )
162 elico2 10975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
16334, 61, 162mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
164156, 159, 161, 163syl3anbrc 1139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
165 tanord1 20440 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) ) )
166154, 164, 165syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  (
x  <  y  <->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
167146, 166mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
168145, 167, 15, 102ltlecasei 9182 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
1691683expia 1156 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y
) ) )
170169adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x  <  y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
1712, 3, 4, 5, 14, 170ltord1 9554 . 2  |-  ( (  T.  /\  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )
1721, 171mpan 653 1  |-  ( ( A  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  B  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122   -ucneg 9293    / cdiv 9678   2c2 10050   RR+crp 10613   (,)cioo 10917   [,)cico 10919   Recre 11903   cosccos 12668   tanctan 12669   picpi 12670
This theorem is referenced by:  atanlogsublem  20756  atanord  20768  basellem4  20867
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-tan 12675  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755
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