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Theorem tanord 19900
Description: The tangent function is strictly increasing on its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanord  |-  ( ( A  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  B  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B ) ) )

Proof of Theorem tanord
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1312 . 2  |-  T.
2 fveq2 5525 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  y
) )
3 fveq2 5525 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  A
) )
4 fveq2 5525 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  B
) )
5 ioossre 10712 . . 3  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
6 elioore 10686 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  RR )
76recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  CC )
86rered 11709 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  x
)  =  x )
9 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
108, 9eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  x
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
11 cosne0 19892 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Re `  x )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  x
)  =/=  0 )
127, 10, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  x
)  =/=  0 )
136, 12retancld 12425 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( tan `  x
)  e.  RR )
1413adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  x
)  e.  RR )
1563ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  x  e.  RR )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  RR )
1716recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  CC )
1817negnegd 9148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u -u x  =  x )
1918fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  -u -u x )  =  ( tan `  x
) )
2017negcld 9144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u x  e.  CC )
21 cosneg 12427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  -u x )  =  ( cos `  x
) )
2217, 21syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =  ( cos `  x
) )
23 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
2423, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  x )  =/=  0 )
2522, 24eqnetrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =/=  0 )
26 tanneg 12428 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  ( cos `  -u x
)  =/=  0 )  ->  ( tan `  -u -u x
)  =  -u ( tan `  -u x ) )
2720, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  -u -u x )  = 
-u ( tan `  -u x
) )
2819, 27eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  x )  = 
-u ( tan `  -u x
) )
2915adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
3029renegcld 9210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  e.  RR )
3125adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( cos `  -u x
)  =/=  0 )
3230, 31retancld 12425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  -u x
)  e.  RR )
3332renegcld 9210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  e.  RR )
34 0re 8838 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
3534a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  e.  RR )
36 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
375, 36sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  y  e.  RR )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
39 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
40 elioore 10686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  RR )
4140recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
4240rered 11709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  y
)  =  y )
43 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
4442, 43eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  y
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
45 cosne0 19892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( Re `  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  y
)  =/=  0 )
4641, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  y
)  =/=  0 )
4739, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( cos `  y
)  =/=  0 )
4838, 47retancld 12425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  y
)  e.  RR )
49 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  <  0
)
5029lt0neg1d 9342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( x  <  0  <->  0  <  -u x
) )
5149, 50mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  -u x
)
52 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
53 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  x  /\  x  <  ( pi 
/  2 ) ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  x  /\  x  <  ( pi  /  2
) ) )
5554simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  x
)
56 pire 19832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR
57 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
59 ltnegcon1 9275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u ( pi 
/  2 )  < 
x  <->  -u x  <  (
pi  /  2 ) ) )
6058, 29, 59sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  x  <->  -u x  < 
( pi  /  2
) ) )
6155, 60mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  <  (
pi  /  2 ) )
62 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
63 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
6458, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
65 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) ) )
6662, 64, 65mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) )
6730, 51, 61, 66syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
68 tanrpcl 19872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( tan `  -u x
)  e.  RR+ )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  -u x
)  e.  RR+ )
7069rpgt0d 10393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  ( tan `  -u x ) )
7132lt0neg2d 9343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( 0  < 
( tan `  -u x
)  <->  -u ( tan `  -u x
)  <  0 ) )
7270, 71mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  <  0 )
73 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  y
)
74 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  y  /\  y  <  ( pi 
/  2 ) ) )
7539, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  y  /\  y  <  ( pi  /  2
) ) )
7675simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  <  (
pi  /  2 ) )
77 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
7862, 64, 77mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
7938, 73, 76, 78syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
80 tanrpcl 19872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  y )  e.  RR+ )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  y
)  e.  RR+ )
8281rpgt0d 10393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  ( tan `  y ) )
8333, 35, 48, 72, 82lttrd 8977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  <  ( tan `  y ) )
8483anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  /\  0  <  y )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
85 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  y )
8615adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  e.  RR )
8737adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  RR )
8886, 87ltnegd 9350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <  y  <->  -u y  <  -u x ) )
8985, 88mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  <  -u x )
9087renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  RR )
91 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  <_  0 )
9287le0neg1d 9344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
y  <_  0  <->  0  <_  -u y ) )
9391, 92mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u y )
94 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
9594, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
9695simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  y )
97 ltnegcon1 9275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u ( pi 
/  2 )  < 
y  <->  -u y  <  (
pi  /  2 ) ) )
9858, 87, 97sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  <->  -u y  < 
( pi  /  2
) ) )
9996, 98mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  <  ( pi  /  2
) )
100 elico2 10714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <  ( pi  /  2
) ) ) )
10134, 64, 100mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <  ( pi  /  2
) ) )
10290, 93, 99, 101syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
10386renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  e.  RR )
104 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  x  <  y )
10534a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  0  e.  RR )
106 ltletr 8913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0
) )
10715, 37, 105, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0
) )
108104, 107mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  (
y  <_  0  ->  x  <  0 ) )
109108imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0 )
110 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( x  <  0  ->  x  <_  0 ) )
11186, 34, 110sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <  0  ->  x  <_  0 ) )
112109, 111mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <_  0 )
11386le0neg1d 9344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <_  0  <->  0  <_  -u x ) )
114112, 113mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u x )
115 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
116115, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
117116simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  x )
11858, 86, 59sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  <->  -u x  < 
( pi  /  2
) ) )
119117, 118mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  <  ( pi  /  2
) )
120 elico2 10714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( -u x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <_  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) ) )
12134, 64, 120mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <_  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) )
122103, 114, 119, 121syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
123 tanord1 19899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  /\  -u x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( -u y  <  -u x  <->  ( tan `  -u y )  <  ( tan `  -u x ) ) )
124102, 122, 123syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u y  <  -u x  <->  ( tan `  -u y
)  <  ( tan `  -u x ) ) )
12589, 124mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u y )  < 
( tan `  -u x
) )
12687recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  CC )
127 cosneg 12427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  ->  ( cos `  -u y )  =  ( cos `  y
) )
128126, 127syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u y )  =  ( cos `  y
) )
12994, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  y )  =/=  0 )
130128, 129eqnetrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u y )  =/=  0 )
13190, 130retancld 12425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u y )  e.  RR )
132109, 25syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =/=  0 )
133103, 132retancld 12425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u x )  e.  RR )
134131, 133ltnegd 9350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
( tan `  -u y
)  <  ( tan `  -u x )  <->  -u ( tan `  -u x )  <  -u ( tan `  -u y
) ) )
135125, 134mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  <  -u ( tan `  -u y
) )
136126negnegd 9148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u -u y  =  y )
137136fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u -u y )  =  ( tan `  y
) )
138126negcld 9144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  CC )
139 tanneg 12428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  e.  CC  /\  ( cos `  -u y
)  =/=  0 )  ->  ( tan `  -u -u y
)  =  -u ( tan `  -u y ) )
140138, 130, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u -u y )  = 
-u ( tan `  -u y
) )
141137, 140eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  y )  = 
-u ( tan `  -u y
) )
142135, 141breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
143142adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
14434a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  0  e.  RR )
145 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
1465, 145sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  y  e.  RR )
14784, 143, 144, 146ltlecasei 8928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
14828, 147eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
149 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <  y )
15015adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  RR )
151 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  <_  x )
152 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
153152, 53syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
154153simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <  ( pi  /  2
) )
155 elico2 10714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
15634, 64, 155mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  (
pi  /  2 ) ) )
157150, 151, 154, 156syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
158 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
1595, 158sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  RR )
16034a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  e.  RR )
161150, 159, 149ltled 8967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <_  y )
162160, 150, 159, 151, 161letrd 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  <_  y )
163158, 74syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
164163simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  <  ( pi  /  2
) )
165 elico2 10714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
16634, 64, 165mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
167159, 162, 164, 166syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
168 tanord1 19899 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) ) )
169157, 167, 168syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  (
x  <  y  <->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
170149, 169mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
171148, 170, 15, 105ltlecasei 8928 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
1721713expia 1153 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y
) ) )
173172adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x  <  y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
1742, 3, 4, 5, 14, 173ltord1 9299 . 2  |-  ( (  T.  /\  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )
1751, 174mpan 651 1  |-  ( ( A  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  B  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   Recre 11582   cosccos 12346   tanctan 12347   picpi 12348
This theorem is referenced by:  atanlogsublem  20211  atanord  20223  basellem4  20321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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