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Theorem tanord1 19899
Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 19900.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tanord1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )

Proof of Theorem tanord1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1312 . 2  |-  T.
2 fveq2 5525 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  y
) )
3 fveq2 5525 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  A
) )
4 fveq2 5525 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  B
) )
5 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
6 pire 19832 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
7 rehalfcl 9938 . . . . . 6  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
86, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
9 rexr 8877 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
108, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
11 icossre 10730 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  C_  RR )
125, 10, 11mp2an 653 . . 3  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  RR
1312sseli 3176 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  RR )
14 ressxr 8876 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
158renegcli 9108 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
1614, 15sselii 3177 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
17 2re 9815 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
18 pipos 19833 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
19 2pos 9828 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
206, 17, 18, 19divgt0ii 9674 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( pi  /  2
)
21 lt0neg2 9281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
228, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
2320, 22mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
24 df-ioo 10660 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
25 df-ico 10662 . . . . . . . . . 10  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
26 xrltletr 10488 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
( -u ( pi  / 
2 )  <  0  /\  0  <_  w )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  w
) )
2724, 25, 26ixxss1 10674 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <  0 )  ->  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
2816, 23, 27mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
2928sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
30 cosq14gt0 19878 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  x ) )
3129, 30syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  x
) )
3231gt0ne0d 9337 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  x )  =/=  0 )
3313, 32retancld 12425 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  x )  e.  RR )
3433adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( tan `  x )  e.  RR )
3513resincld 12423 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  x )  e.  RR )
3613recoscld 12424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  x )  e.  RR )
3735, 36, 32redivcld 9588 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
38373ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
3912sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  RR )
40393ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  RR )
4140resincld 12423 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  y
)  e.  RR )
42363ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  x
)  e.  RR )
43323ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  x
)  =/=  0 )
4441, 42, 43redivcld 9588 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
4540recoscld 12424 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  e.  RR )
4628sseli 3176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
47 cosq14gt0 19878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  y ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  y
) )
4948gt0ne0d 9337 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  y )  =/=  0 )
50493ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  =/=  0 )
5141, 45, 50redivcld 9588 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) )  e.  RR )
52 ioossicc 10735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) 
C_  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )
5328, 52sstri 3188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )
5453sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
5553sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
56 sinord 19896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
x  <  y  <->  ( sin `  x )  <  ( sin `  y ) ) )
5754, 55, 56syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( sin `  x
)  <  ( sin `  y ) ) )
5857biimp3a 1281 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  x
)  <  ( sin `  y ) )
59133ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  e.  RR )
6059resincld 12423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  x
)  e.  RR )
61313ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( cos `  x ) )
62 ltdiv1 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sin `  x
)  e.  RR  /\  ( sin `  y )  e.  RR  /\  (
( cos `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  x
) ) )  -> 
( ( sin `  x
)  <  ( sin `  y )  <->  ( ( sin `  x )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) ) )
6360, 41, 42, 61, 62syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  <  ( sin `  y )  <->  ( ( sin `  x )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) ) )
6458, 63mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) )
65 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
666, 65ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR*
676, 18elrpii 10357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR+
68 rphalflt 10380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
6967, 68ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
70 df-icc 10663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
71 xrlttr 10474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( w  <  (
pi  /  2 )  /\  ( pi  / 
2 )  <  pi )  ->  w  <  pi ) )
72 xrltle 10483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
73723adant2 974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
7471, 73syld 40 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( w  <  (
pi  /  2 )  /\  ( pi  / 
2 )  <  pi )  ->  w  <_  pi ) )
7570, 25, 74ixxss2 10675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  <  pi )  -> 
( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  C_  ( 0 [,] pi ) )
7666, 69, 75mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,] pi )
7776sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( 0 [,] pi ) )
7876sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( 0 [,] pi ) )
79 cosord 19894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] pi )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) ) )
8077, 78, 79syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) ) )
8180biimp3a 1281 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) )
825a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  e.  RR )
83 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )
84 elico2 10714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
855, 10, 84mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  (
pi  /  2 ) ) )
8683, 85sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
8786simp2d 968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <_  x )
88 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
8982, 59, 40, 87, 88lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  y )
90 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )
91 elico2 10714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
925, 10, 91mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
9390, 92sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
9493simp3d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  <  ( pi  /  2 ) )
95 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
96 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
9795, 10, 96mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
9840, 89, 94, 97syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
99 sincosq1sgn 19866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  y )  /\  0  <  ( cos `  y
) ) )
10098, 99syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( 0  <  ( sin `  y )  /\  0  <  ( cos `  y
) ) )
101100simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( cos `  y ) )
102100simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( sin `  y ) )
103 ltdiv2OLD 9642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cos `  y
)  e.  RR  /\  ( cos `  x )  e.  RR  /\  ( sin `  y )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( cos `  y )  /\  0  <  ( cos `  x
)  /\  0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  (
( cos `  y
)  <  ( cos `  x )  <->  ( ( sin `  y )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) ) )
10445, 42, 41, 101, 61, 102, 103syl33anc 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( cos `  y
)  <  ( cos `  x )  <->  ( ( sin `  y )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) ) )
10581, 104mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) )
10638, 44, 51, 64, 105lttrd 8977 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) )
10713recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  CC )
108 tanval 12408 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( cos `  x )  =/=  0 )  -> 
( tan `  x
)  =  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
109107, 32, 108syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  x )  =  ( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) ) )
1101093ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  x
)  =  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
11139recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  CC )
1121113ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  CC )
113 tanval 12408 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( cos `  y )  =/=  0 )  -> 
( tan `  y
)  =  ( ( sin `  y )  /  ( cos `  y
) ) )
114112, 50, 113syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  y
)  =  ( ( sin `  y )  /  ( cos `  y
) ) )
115106, 110, 1143brtr4d 4053 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) )
1161153expia 1153 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
117116adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) ) )
1182, 3, 4, 12, 34, 117ltord1 9299 . 2  |-  ( (  T.  /\  ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  /\  B  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B
) ) )
1191, 118mpan 651 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   [,]cicc 10659   sincsin 12345   cosccos 12346   tanctan 12347   picpi 12348
This theorem is referenced by:  tanord  19900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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