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Theorem tanord1 20431
Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 20432.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tanord1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )

Proof of Theorem tanord1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1330 . 2  |-  T.
2 fveq2 5720 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  y
) )
3 fveq2 5720 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  A
) )
4 fveq2 5720 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  B
) )
5 0re 9083 . . . 4  |-  0  e.  RR
6 halfpire 20367 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
76rexri 9129 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
8 icossre 10983 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  C_  RR )
95, 7, 8mp2an 654 . . 3  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  RR
109sseli 3336 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  RR )
116renegcli 9354 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
1211rexri 9129 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
13 pire 20364 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
14 2re 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
15 pipos 20365 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
16 2pos 10074 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
1713, 14, 15, 16divgt0ii 9920 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( pi  /  2
)
18 lt0neg2 9527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
196, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
2017, 19mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
21 df-ioo 10912 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
22 df-ico 10914 . . . . . . . . . 10  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
23 xrltletr 10739 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
( -u ( pi  / 
2 )  <  0  /\  0  <_  w )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  w
) )
2421, 22, 23ixxss1 10926 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <  0 )  ->  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
2512, 20, 24mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
2625sseli 3336 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
27 cosq14gt0 20410 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  x ) )
2826, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  x
) )
2928gt0ne0d 9583 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  x )  =/=  0 )
3010, 29retancld 12738 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  x )  e.  RR )
3130adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( tan `  x )  e.  RR )
3210resincld 12736 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  x )  e.  RR )
3310recoscld 12737 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  x )  e.  RR )
3432, 33, 29redivcld 9834 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
35343ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
369sseli 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  RR )
37363ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  RR )
3837resincld 12736 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  y
)  e.  RR )
39333ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  x
)  e.  RR )
40293ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  x
)  =/=  0 )
4138, 39, 40redivcld 9834 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
4237recoscld 12737 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  e.  RR )
4325sseli 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
44 cosq14gt0 20410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  y ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  y
) )
4645gt0ne0d 9583 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  y )  =/=  0 )
47463ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  =/=  0 )
4838, 42, 47redivcld 9834 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) )  e.  RR )
49 ioossicc 10988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) 
C_  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )
5025, 49sstri 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )
5150sseli 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
5250sseli 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
53 sinord 20428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
x  <  y  <->  ( sin `  x )  <  ( sin `  y ) ) )
5451, 52, 53syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( sin `  x
)  <  ( sin `  y ) ) )
5554biimp3a 1283 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  x
)  <  ( sin `  y ) )
56103ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  e.  RR )
5756resincld 12736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  x
)  e.  RR )
58283ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( cos `  x ) )
59 ltdiv1 9866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sin `  x
)  e.  RR  /\  ( sin `  y )  e.  RR  /\  (
( cos `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  x
) ) )  -> 
( ( sin `  x
)  <  ( sin `  y )  <->  ( ( sin `  x )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) ) )
6057, 38, 39, 58, 59syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  <  ( sin `  y )  <->  ( ( sin `  x )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) ) )
6155, 60mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) )
6213rexri 9129 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR*
6313, 15elrpii 10607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR+
64 rphalflt 10630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
66 df-icc 10915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
67 xrlttr 10725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( w  <  (
pi  /  2 )  /\  ( pi  / 
2 )  <  pi )  ->  w  <  pi ) )
68 xrltle 10734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
69683adant2 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
7067, 69syld 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( w  <  (
pi  /  2 )  /\  ( pi  / 
2 )  <  pi )  ->  w  <_  pi ) )
7166, 22, 70ixxss2 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  <  pi )  -> 
( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  C_  ( 0 [,] pi ) )
7262, 65, 71mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,] pi )
7372sseli 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( 0 [,] pi ) )
7472sseli 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( 0 [,] pi ) )
75 cosord 20426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] pi )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) ) )
7673, 74, 75syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) ) )
7776biimp3a 1283 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) )
785a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  e.  RR )
79 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )
80 elico2 10966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
815, 7, 80mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  (
pi  /  2 ) ) )
8279, 81sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
8382simp2d 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <_  x )
84 simp3 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
8578, 56, 37, 83, 84lelttrd 9220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  y )
86 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )
87 elico2 10966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
885, 7, 87mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
8986, 88sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
9089simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  <  ( pi  /  2 ) )
91 0xr 9123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
92 elioo2 10949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
9391, 7, 92mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
9437, 85, 90, 93syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
95 sincosq1sgn 20398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  y )  /\  0  <  ( cos `  y
) ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( 0  <  ( sin `  y )  /\  0  <  ( cos `  y
) ) )
9796simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( cos `  y ) )
9896simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( sin `  y ) )
99 ltdiv2OLD 9888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cos `  y
)  e.  RR  /\  ( cos `  x )  e.  RR  /\  ( sin `  y )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( cos `  y )  /\  0  <  ( cos `  x
)  /\  0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  (
( cos `  y
)  <  ( cos `  x )  <->  ( ( sin `  y )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) ) )
10042, 39, 38, 97, 58, 98, 99syl33anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( cos `  y
)  <  ( cos `  x )  <->  ( ( sin `  y )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) ) )
10177, 100mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) )
10235, 41, 48, 61, 101lttrd 9223 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) )
10310recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  CC )
104 tanval 12721 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( cos `  x )  =/=  0 )  -> 
( tan `  x
)  =  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
105103, 29, 104syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  x )  =  ( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) ) )
1061053ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  x
)  =  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
10736recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  CC )
1081073ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  CC )
109 tanval 12721 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( cos `  y )  =/=  0 )  -> 
( tan `  y
)  =  ( ( sin `  y )  /  ( cos `  y
) ) )
110108, 47, 109syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  y
)  =  ( ( sin `  y )  /  ( cos `  y
) ) )
111102, 106, 1103brtr4d 4234 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) )
1121113expia 1155 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
113112adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) ) )
1142, 3, 4, 9, 31, 113ltord1 9545 . 2  |-  ( (  T.  /\  ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  /\  B  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B
) ) )
1151, 114mpan 652 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   -ucneg 9284    / cdiv 9669   2c2 10041   RR+crp 10604   (,)cioo 10908   [,)cico 10910   [,]cicc 10911   sincsin 12658   cosccos 12659   tanctan 12660   picpi 12661
This theorem is referenced by:  tanord  20432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-tan 12666  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746
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