MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanregt0 Structured version   Unicode version

Theorem tanregt0 20442
Description: The positivity of  tan ( A ) extends to complex numbers with the same real part. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanregt0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )

Proof of Theorem tanregt0
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9049 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2 recl 11916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
32adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
43recnd 9115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  CC )
53rered 12030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  A ) )
6 halfpire 20376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
76renegcli 9363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
87rexri 9138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
9 0re 9092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
10 pire 20373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR
11 pipos 20374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  pi
1210, 11elrpii 10616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR+
13 rphalfcl 10637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
14 rpgt0 10624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  ( pi  /  2
)
16 lt0neg2 9536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
176, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
1815, 17mpbi 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
197, 9, 18ltleii 9197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
pi  /  2 )  <_  0
20 iooss1 10952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <_  0 )  ->  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
218, 19, 20mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
22 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
2321, 22sseldi 3347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
245, 23eqeltrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
Re `  A )
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
25 cosne0 20433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( Re
`  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
Re `  A )
)  =/=  0 )
264, 24, 25syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
Re `  A )
)  =/=  0 )
274, 26tancld 12734 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
Re `  A )
)  e.  CC )
28 ax-icn 9050 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
29 imcl 11917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
3029adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
3130recnd 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
32 mulcl 9075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
3328, 31, 32sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
34 rpcoshcl 12759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  RR+ )
3530, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  RR+ )
3635rpne0d 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =/=  0 )
3733, 36tancld 12734 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
3827, 37mulcld 9109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )
39 subcl 9306 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
401, 38, 39sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  CC )
41 replim 11922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
4241adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
4342fveq2d 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  A
)  =  ( cos `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
44 cosne0 20433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
4523, 44syldan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  A
)  =/=  0 )
4643, 45eqnetrrd 2622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =/=  0 )
47 tanaddlem 12768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  /\  ( ( cos `  ( Re `  A
) )  =/=  0  /\  ( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( cos `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) )  =/=  0  <->  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  1 ) )
484, 33, 26, 36, 47syl22anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( cos `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =/=  0  <->  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  1 ) )
4946, 48mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  1 )
5049necomd 2688 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
1  =/=  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
51 subeq0 9328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  0  <->  1  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
5251necon3bid 2637 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =/=  0  <->  1  =/=  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
531, 38, 52sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =/=  0  <->  1  =/=  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
5450, 53mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =/=  0 )
5540, 54absrpcld 12251 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  RR+ )
56 2z 10313 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
57 rpexpcl 11401 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
5855, 56, 57sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  e.  RR+ )
5958rprecred 10660 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
6040cjcld 12002 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  CC )
6127, 37addcld 9108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )
6260, 61mulcld 9109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
6362recld 12000 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  e.  RR )
6458rpreccld 10659 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR+ )
6564rpgt0d 10652 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
663, 26retancld 12747 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
Re `  A )
)  e.  RR )
67 1re 9091 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
68 retanhcl 12761 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR )
6930, 68syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR )
7069resqcld 11550 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  RR )
71 resubcl 9366 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
1  -  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )  e.  RR )
7267, 70, 71sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )  e.  RR )
73 tanrpcl 20413 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  ( Re `  A ) )  e.  RR+ )
7473adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
Re `  A )
)  e.  RR+ )
7574rpgt0d 10652 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( tan `  ( Re `  A
) ) )
76 absresq 12108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )
7769, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 ) )
78 tanhbnd 12763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
7930, 78syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
80 eliooord 10971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u 1  <  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( -u 1  <  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) )
82 abslt 12119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) ) )
8369, 67, 82sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) ) )
8481, 83mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1 )
8569recnd 9115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  CC )
8685abscld 12239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  e.  RR )
8767a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
1  e.  RR )
8885absge0d 12247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
89 0le1 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  1
9089a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <_  1 )
9186, 87, 88, 90lt2sqd 11558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1  <->  ( ( abs `  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) ) )
9284, 91mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ^ 2 )  < 
( 1 ^ 2 ) )
93 sq1 11477 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
9492, 93syl6breq 4252 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ^ 2 )  <  1 )
9577, 94eqbrtrrd 4235 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  <  1 )
96 posdif 9522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  <  1  <->  0  <  (
1  -  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
9770, 67, 96sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 ) ) ) )
9895, 97mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) )
9966, 72, 75, 98mulgt0d 9226 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( 1  -  (
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
10040recjd 12010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
101 resub 11933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
Re `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
1021, 38, 101sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Re ` 
1 )  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
103 re1 11960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  1 )  =  1
104103oveq1i 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
10566, 37remul2d 12033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
Re `  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
10628negcli 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u _i  e.  CC
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u _i  e.  CC )
108 ine0 9470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  =/=  0
10928, 108negne0i 9376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u _i  =/=  0
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u _i  =/=  0 )
11137, 107, 110divcld 9791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i )  e.  CC )
112 imre 11914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i )  e.  CC  ->  ( Im `  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) ) ) )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) ) ) )
11428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  _i  e.  CC )
115108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  _i  =/=  0 )
11637, 114, 115divneg2d 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )
11769renegcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR )
118116, 117eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i )  e.  RR )
119118reim0d 12031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  0 )
12037, 107, 110divcan2d 9793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( -u _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
121120fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( -u _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) ) )  =  ( Re
`  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
122113, 119, 1213eqtr3rd 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  0 )
123122oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( Re
`  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  0 ) )
12427mul01d 9266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  0 )  =  0 )
125105, 123, 1243eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  0 )
126125oveq2d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( 1  -  0 ) )
1271subid1i 9373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
128126, 127syl6eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  1 )
129104, 128syl5eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Re ` 
1 )  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  1 )
130100, 102, 1293eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  1 )
13137, 114, 115divcan2d 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
132131oveq2d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
133132fveq2d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
13466, 69crred 12037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( tan `  (
Re `  A )
) )
135133, 134eqtr3d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( tan `  (
Re `  A )
) )
136130, 135oveq12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Re `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( tan `  (
Re `  A )
) ) )
137 mulcom 9077 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( tan `  ( Re
`  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  x.  ( tan `  ( Re `  A ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  1 ) )
1381, 27, 137sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  x.  ( tan `  ( Re `  A ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  1 ) )
139136, 138eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Re `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  1 ) )
14027, 85, 85mulassd 9112 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  x.  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ) )
14140imcjd 12011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  -u ( Im `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
142 imsub 11941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
1431, 38, 142sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Im ` 
1 )  -  (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
144 im1 11961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Im
`  1 )  =  0
145144oveq1i 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( 0  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
146 df-neg 9295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( 0  -  ( Im
`  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
147145, 146eqtr4i 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  -u (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
14866, 37immul2d 12034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
Im `  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
149 imval 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC  ->  (
Im `  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =  ( Re `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
15037, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( Re `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
15169rered 12030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  =  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )
152150, 151eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )
153152oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( Im
`  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
154148, 153eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
155154negeqd 9301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  -u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
156147, 155syl5eq 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im ` 
1 )  -  (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  = 
-u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
157143, 156eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  = 
-u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
158157negeqd 9301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( Im `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  = 
-u -u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
15966, 69remulcld 9117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  e.  RR )
160159recnd 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  e.  CC )
161160negnegd 9403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u -u ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
162141, 158, 1613eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
163132fveq2d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
16466, 69crimd 12038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )
165163, 164eqtr3d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )
166162, 165oveq12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) )
16785sqvald 11521 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  =  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i )  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
168167oveq2d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  x.  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ) )
169140, 166, 1683eqtr4d 2479 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) )
170139, 169oveq12d 6100 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( Re
`  ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )  x.  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  -  ( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  1 )  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
17160, 61remuld 12024 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  -  ( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ) )
1721a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
1  e.  CC )
17385sqcld 11522 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  CC )
17427, 172, 173subdid 9490 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  1 )  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
175170, 171, 1743eqtr4d 2479 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 ) ) ) )
17699, 175breqtrrd 4239 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
17759, 63, 65, 176mulgt0d 9226 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( (
1  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re
`  ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
17842fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  A
)  =  ( tan `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
179 tanadd 12769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  /\  ( ( cos `  ( Re `  A
) )  =/=  0  /\  ( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  0 ) )  -> 
( tan `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  / 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
1804, 33, 26, 36, 46, 179syl23anc 1192 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  / 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
181 recval 12127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  CC  /\  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
18240, 54, 181syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  /  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
183182oveq1d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( 1  / 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
18461, 40, 54divrec2d 9795 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( Re `  A
) )  +  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
18540abscld 12239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  RR )
186185resqcld 11550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  e.  RR )
187186recnd 9115 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
18858rpne0d 10654 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  =/=  0
)
18960, 61, 187, 188div23d 9828 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
190183, 184, 1893eqtr4d 2479 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( Re `  A
) )  +  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
191178, 180, 1903eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
19262, 187, 188divrec2d 9795 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
193191, 192eqtrd 2469 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
194193fveq2d 5733 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( tan `  A ) )  =  ( Re `  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
19559, 62remul2d 12033 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re
`  ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
196194, 195eqtrd 2469 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( tan `  A ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re
`  ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
197177, 196breqtrrd 4239 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    C_ wss 3321   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992   _ici 8993    + caddc 8994    x. cmul 8996   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   -ucneg 9293    / cdiv 9678   2c2 10050   ZZcz 10283   RR+crp 10613   (,)cioo 10917   ^cexp 11383   *ccj 11902   Recre 11903   Imcim 11904   abscabs 12040   cosccos 12668   tanctan 12669   picpi 12670
This theorem is referenced by:  atantan  20764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-tan 12675  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755
  Copyright terms: Public domain W3C validator