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Theorem tanregt0 19901
Description: The positivity of  tan ( A ) extends to complex numbers with the same real part. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanregt0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )

Proof of Theorem tanregt0
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2 recl 11595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
32adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
43recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  CC )
53rered 11709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  A ) )
6 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  RR*
7 pire 19832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR
8 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
109renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
116, 10sselii 3177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
12 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
13 pipos 19833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  pi
147, 13elrpii 10357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR+
15 rphalfcl 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
17 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  ( pi  /  2
)
19 lt0neg2 9281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
209, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
2118, 20mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
2210, 12, 21ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
pi  /  2 )  <_  0
23 iooss1 10691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <_  0 )  ->  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
2411, 22, 23mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
25 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
2624, 25sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
275, 26eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
Re `  A )
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
28 cosne0 19892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( Re
`  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
Re `  A )
)  =/=  0 )
294, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
Re `  A )
)  =/=  0 )
304, 29tancld 12412 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
Re `  A )
)  e.  CC )
31 ax-icn 8796 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
32 imcl 11596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
3332adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
3433recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
35 mulcl 8821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
3631, 34, 35sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
37 rpcoshcl 12437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  RR+ )
3833, 37syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  RR+ )
3938rpne0d 10395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =/=  0 )
4036, 39tancld 12412 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
4130, 40mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )
42 subcl 9051 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
431, 41, 42sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  CC )
44 replim 11601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
4544adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
4645fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  A
)  =  ( cos `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
47 cosne0 19892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
4826, 47syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  A
)  =/=  0 )
4946, 48eqnetrrd 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =/=  0 )
50 tanaddlem 12446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  /\  ( ( cos `  ( Re `  A
) )  =/=  0  /\  ( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( cos `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) )  =/=  0  <->  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  1 ) )
514, 36, 29, 39, 50syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( cos `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =/=  0  <->  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  1 ) )
5249, 51mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  1 )
5352necomd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
1  =/=  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
54 subeq0 9073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  0  <->  1  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
5554necon3bid 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =/=  0  <->  1  =/=  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
561, 41, 55sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =/=  0  <->  1  =/=  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
5753, 56mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =/=  0 )
5843, 57absrpcld 11930 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  RR+ )
59 2z 10054 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
60 rpexpcl 11122 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
6158, 59, 60sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  e.  RR+ )
6261rprecred 10401 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
6343cjcld 11681 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  CC )
6430, 40addcld 8854 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )
6563, 64mulcld 8855 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
6665recld 11679 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  e.  RR )
6761rpreccld 10400 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR+ )
6867rpgt0d 10393 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
693, 29retancld 12425 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
Re `  A )
)  e.  RR )
70 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
71 retanhcl 12439 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR )
7233, 71syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR )
7372resqcld 11271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  RR )
74 resubcl 9111 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
1  -  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )  e.  RR )
7570, 73, 74sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )  e.  RR )
76 tanrpcl 19872 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  ( Re `  A ) )  e.  RR+ )
7776adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
Re `  A )
)  e.  RR+ )
7877rpgt0d 10393 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( tan `  ( Re `  A
) ) )
79 absresq 11787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )
8072, 79syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 ) )
81 tanhbnd 12441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
8233, 81syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
83 eliooord 10710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u 1  <  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) )
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( -u 1  <  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) )
85 abslt 11798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) ) )
8672, 70, 85sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) ) )
8784, 86mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1 )
8872recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  CC )
8988abscld 11918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  e.  RR )
9070a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
1  e.  RR )
9188absge0d 11926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
92 0le1 9297 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  1
9392a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <_  1 )
9489, 90, 91, 93lt2sqd 11279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1  <->  ( ( abs `  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) ) )
9587, 94mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ^ 2 )  < 
( 1 ^ 2 ) )
96 sq1 11198 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
9795, 96syl6breq 4062 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ^ 2 )  <  1 )
9880, 97eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  <  1 )
99 posdif 9267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  <  1  <->  0  <  (
1  -  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
10073, 70, 99sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 ) ) ) )
10198, 100mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) )
10269, 75, 78, 101mulgt0d 8971 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( 1  -  (
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
10343recjd 11689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
104 resub 11612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
Re `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
1051, 41, 104sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Re ` 
1 )  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
106 re1 11639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  1 )  =  1
107106oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
10869, 40remul2d 11712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
Re `  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
10931negcli 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u _i  e.  CC
110109a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u _i  e.  CC )
111 ine0 9215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  =/=  0
11231, 111negne0i 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u _i  =/=  0
113112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u _i  =/=  0 )
11440, 110, 113divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i )  e.  CC )
115 imre 11593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i )  e.  CC  ->  ( Im `  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) ) ) )
116114, 115syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) ) ) )
11731a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  _i  e.  CC )
118111a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  _i  =/=  0 )
11940, 117, 118divneg2d 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )
12072renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR )
121119, 120eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i )  e.  RR )
122121reim0d 11710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  0 )
12340, 110, 113divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( -u _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
124123fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( -u _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) ) )  =  ( Re
`  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
125116, 122, 1243eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  0 )
126125oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( Re
`  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  0 ) )
12730mul01d 9011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  0 )  =  0 )
128108, 126, 1273eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  0 )
129128oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( 1  -  0 ) )
1301subid1i 9118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
131129, 130syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  1 )
132107, 131syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Re ` 
1 )  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  1 )
133103, 105, 1323eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  1 )
13440, 117, 118divcan2d 9538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
135134oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
136135fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
13769, 72crred 11716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( tan `  (
Re `  A )
) )
138136, 137eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( tan `  (
Re `  A )
) )
139133, 138oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Re `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( tan `  (
Re `  A )
) ) )
140 mulcom 8823 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( tan `  ( Re
`  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  x.  ( tan `  ( Re `  A ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  1 ) )
1411, 30, 140sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  x.  ( tan `  ( Re `  A ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  1 ) )
142139, 141eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Re `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  1 ) )
14330, 88, 88mulassd 8858 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  x.  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ) )
14443imcjd 11690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  -u ( Im `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
145 imsub 11620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
1461, 41, 145sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Im ` 
1 )  -  (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
147 im1 11640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Im
`  1 )  =  0
148147oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( 0  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
149 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( 0  -  ( Im
`  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
150148, 149eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  -u (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
15169, 40immul2d 11713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
Im `  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
152 imval 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC  ->  (
Im `  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =  ( Re `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
15340, 152syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( Re `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
15472rered 11709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  =  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )
155153, 154eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )
156155oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( Im
`  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
157151, 156eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
158157negeqd 9046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  -u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
159150, 158syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im ` 
1 )  -  (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  = 
-u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
160146, 159eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  = 
-u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
161160negeqd 9046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( Im `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  = 
-u -u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
16269, 72remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  e.  RR )
163162recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  e.  CC )
164163negnegd 9148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u -u ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
165144, 161, 1643eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
166135fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
16769, 72crimd 11717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )
168166, 167eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )
169165, 168oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) )
17088sqvald 11242 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  =  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i )  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
171170oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  x.  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ) )
172143, 169, 1713eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) )
173142, 172oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( Re
`  ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )  x.  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  -  ( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  1 )  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
17463, 64remuld 11703 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  -  ( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ) )
1751a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
1  e.  CC )
17688sqcld 11243 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  CC )
17730, 175, 176subdid 9235 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  1 )  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
178173, 174, 1773eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 ) ) ) )
179102, 178breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
18062, 66, 68, 179mulgt0d 8971 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( (
1  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re
`  ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
18145fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  A
)  =  ( tan `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
182 tanadd 12447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  /\  ( ( cos `  ( Re `  A
) )  =/=  0  /\  ( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  0 ) )  -> 
( tan `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  / 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
1834, 36, 29, 39, 49, 182syl23anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  / 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
184 recval 11806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  CC  /\  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
18543, 57, 184syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  /  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
186185oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( 1  / 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
18764, 43, 57divrec2d 9540 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( Re `  A
) )  +  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
18843abscld 11918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  RR )
189188resqcld 11271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  e.  RR )
190189recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
19161rpne0d 10395 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  =/=  0
)
19263, 64, 190, 191div23d 9573 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
193186, 187, 1923eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( Re `  A
) )  +  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
194181, 183, 1933eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
19565, 190, 191divrec2d 9540 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
196194, 195eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
197196fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( tan `  A ) )  =  ( Re `  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
19862, 65remul2d 11712 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re
`  ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
199197, 198eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( tan `  A ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re
`  ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
200180, 199breqtrrd 4049 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ^cexp 11104   *ccj 11581   Recre 11582   Imcim 11583   abscabs 11719   cosccos 12346   tanctan 12347   picpi 12348
This theorem is referenced by:  atantan  20219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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