Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfval Unicode version

Theorem taylfval 19738
 Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally or ), is the function we are approximating, at point , to order . The result is a polynomial function of . This "extended" version of taylpfval 19744 additionally handles the case , in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s
taylfval.f
taylfval.a
taylfval.n
taylfval.b
taylfval.t Tayl
Assertion
Ref Expression
taylfval fld tsums
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem taylfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.t . 2 Tayl
2 df-tayl 19734 . . . . 5 Tayl fld tsums
32a1i 10 . . . 4 Tayl fld tsums
4 eqidd 2284 . . . . 5
5 oveq12 5867 . . . . . . . . 9
65ad2antlr 707 . . . . . . . 8
76fveq1d 5527 . . . . . . 7
87dmeqd 4881 . . . . . 6
98iineq2dv 3927 . . . . 5
107fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11
1110oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10
1211oveq1d 5873 . . . . . . . . 9
1312mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8
1413oveq2d 5874 . . . . . . 7 fld tsums fld tsums
1514xpeq2d 4713 . . . . . 6 fld tsums fld tsums
1615iuneq2d 3930 . . . . 5 fld tsums fld tsums
174, 9, 16mpt2eq123dv 5910 . . . 4 fld tsums fld tsums
18 simpr 447 . . . . 5
1918oveq2d 5874 . . . 4
20 taylfval.s . . . 4
21 cnex 8818 . . . . . 6
2221a1i 10 . . . . 5
23 taylfval.f . . . . 5
24 taylfval.a . . . . 5
25 elpm2r 6788 . . . . 5
2622, 20, 23, 24, 25syl22anc 1183 . . . 4
27 nn0ex 9971 . . . . . . 7
28 snex 4216 . . . . . . 7
2927, 28unex 4518 . . . . . 6
30 0xr 8878 . . . . . . . . . . 11
3130a1i 10 . . . . . . . . . 10
32 nn0ssre 9969 . . . . . . . . . . . . 13
33 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33sstri 3188 . . . . . . . . . . . 12
35 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . 13
36 snssi 3759 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
3834, 37unssi 3350 . . . . . . . . . . 11
3938sseli 3176 . . . . . . . . . 10
40 elun 3316 . . . . . . . . . . 11
41 nn0ge0 9991 . . . . . . . . . . . 12
42 pnfge 10469 . . . . . . . . . . . . . 14
4330, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
44 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44syl5breqr 4059 . . . . . . . . . . . 12
4641, 45jaoi 368 . . . . . . . . . . 11
4740, 46sylbi 187 . . . . . . . . . 10
48 lbicc2 10752 . . . . . . . . . 10
4931, 39, 47, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
50 0z 10035 . . . . . . . . 9
51 inelcm 3509 . . . . . . . . 9
5249, 50, 51sylancl 643 . . . . . . . 8
53 fvex 5539 . . . . . . . . . 10
5453dmex 4941 . . . . . . . . 9
5554rgenw 2610 . . . . . . . 8
56 iinexg 4171 . . . . . . . 8
5752, 55, 56sylancl 643 . . . . . . 7
5857rgen 2608 . . . . . 6
59 eqid 2283 . . . . . . 7 fld tsums fld tsums
6059mpt2exxg 6195 . . . . . 6 fld tsums
6129, 58, 60mp2an 653 . . . . 5 fld tsums
6261a1i 10 . . . 4 fld tsums
633, 17, 19, 20, 26, 62ovmpt2dx 5974 . . 3 Tayl fld tsums
64 simprl 732 . . . . . . . . 9
6564oveq2d 5874 . . . . . . . 8
6665ineq1d 3369 . . . . . . 7
67 simprr 733 . . . . . . . . . 10
6867fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
6968oveq1d 5873 . . . . . . . 8
7067oveq2d 5874 . . . . . . . . 9
7170oveq1d 5873 . . . . . . . 8
7269, 71oveq12d 5876 . . . . . . 7
7366, 72mpteq12dv 4098 . . . . . 6
7473oveq2d 5874 . . . . 5 fld tsums fld tsums
7574xpeq2d 4713 . . . 4 fld tsums fld tsums
7675iuneq2d 3930 . . 3 fld tsums fld tsums
77 simpr 447 . . . . . 6
7877oveq2d 5874 . . . . 5
7978ineq1d 3369 . . . 4
80 iineq1 3919 . . . 4
8179, 80syl 15 . . 3
82 taylfval.n . . . . 5
8335elexi 2797 . . . . . . 7
8483elsnc2 3669 . . . . . 6
8584orbi2i 505 . . . . 5
8682, 85sylibr 203 . . . 4
87 elun 3316 . . . 4
8886, 87sylibr 203 . . 3
89 taylfval.b . . . . 5
9089ralrimiva 2626 . . . 4
91 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10
9291ineq1d 3369 . . . . . . . . 9
9392neeq1d 2459 . . . . . . . 8
9493, 52vtoclga 2849 . . . . . . 7
9588, 94syl 15 . . . . . 6
96 r19.2z 3543 . . . . . 6
9795, 90, 96syl2anc 642 . . . . 5
98 elex 2796 . . . . . 6
9998rexlimivw 2663 . . . . 5
100 eliin 3910 . . . . 5
10197, 99, 1003syl 18 . . . 4
10290, 101mpbird 223 . . 3
103 snssi 3759 . . . . . . . 8
104103adantl 452 . . . . . . 7
10520, 23, 24, 82, 89taylfvallem 19737 . . . . . . 7 fld tsums
106 xpss12 4792 . . . . . . 7 fld tsums fld tsums
107104, 105, 106syl2anc 642 . . . . . 6 fld tsums
108107ralrimiva 2626 . . . . 5 fld tsums
109 iunss 3943 . . . . 5 fld tsums fld tsums
110108, 109sylibr 203 . . . 4 fld tsums
11121, 21xpex 4801 . . . . 5
112111ssex 4158 . . . 4 fld tsums fld tsums
113110, 112syl 15 . . 3 fld tsums
11463, 76, 81, 88, 102, 113ovmpt2dx 5974 . 2 Tayl fld tsums
1151, 114syl5eq 2327 1 fld tsums
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   cun 3150   cin 3151   wss 3152  c0 3455  csn 3640  cpr 3641  ciun 3905  ciin 3906   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cxp 4687   cdm 4689  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860   cpm 6773  cc 8735  cr 8736  cc0 8737   cmul 8742   cpnf 8864  cxr 8866   cle 8868   cmin 9037   cdiv 9423  cn0 9965  cz 10024  cicc 10659  cexp 11104  cfa 11288  ℂfldccnfld 16377   tsums ctsu 17808   cdvn 19214   Tayl ctayl 19732 This theorem is referenced by:  eltayl  19739  taylf  19740  taylpfval  19744 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tsms 17809  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216  df-dv 19217  df-dvn 19218  df-tayl 19734
 Copyright terms: Public domain W3C validator