MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfvallem Unicode version

Theorem taylfvallem 20141
Description: Lemma for taylfval 20142. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylfval.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylfval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylfval.n  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  \/  N  =  +oo )
)
taylfval.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) )
Assertion
Ref Expression
taylfvallem  |-  ( (
ph  /\  X  e.  CC )  ->  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( X  -  B ) ^ k
) ) ) ) 
C_  CC )
Distinct variable groups:    B, k    k, F    ph, k    k, N    S, k    k, X
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem taylfvallem
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 16630 . 2  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnrng 16646 . . 3  |-fld  e.  Ring
3 rngcmn 15621 . . 3  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  CC )  ->fld  e. CMnd )
5 cnfldtps 18683 . . 3  |-fld  e.  TopSp
65a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  CC )  ->fld  e.  TopSp )
7 ovex 6045 . . . 4  |-  ( 0 [,] N )  e. 
_V
87inex1 4285 . . 3  |-  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  e. 
_V
98a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  e. 
_V )
10 taylfval.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
11 taylfval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
12 taylfval.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
13 taylfval.n . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  \/  N  =  +oo )
)
14 taylfval.b . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) )
1510, 11, 12, 13, 14taylfvallem1 20140 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( X  -  B
) ^ k ) )  e.  CC )
16 eqid 2387 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i 
ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( X  -  B ) ^ k ) ) )  =  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i 
ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( X  -  B ) ^ k ) ) )
1715, 16fmptd 5832 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  CC )  ->  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i 
ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( X  -  B ) ^ k ) ) ) : ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) --> CC )
181, 4, 6, 9, 17tsmscl 18085 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  CC )  ->  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( X  -  B ) ^ k
) ) ) ) 
C_  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    i^i cin 3262    C_ wss 3263   {cpr 3758    e. cmpt 4207   dom cdm 4818   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923    x. cmul 8928    +oocpnf 9050    - cmin 9223    / cdiv 9609   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   [,]cicc 10851   ^cexp 11309   !cfa 11493  CMndccmn 15339   Ringcrg 15587  ℂfldccnfld 16626   TopSpctps 16884   tsums ctsu 18076    D ncdvn 19618
This theorem is referenced by:  taylfval  20142  taylf  20144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-tsms 18077  df-xms 18259  df-ms 18260  df-limc 19620  df-dv 19621  df-dvn 19622
  Copyright terms: Public domain W3C validator