MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylpf Unicode version

Theorem taylpf 20150
Description: The Taylor polynomial is a function on the complexes (even if the base set of the original function is the reals). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylpfval.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylpfval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylpfval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
taylpfval.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
taylpfval.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
Assertion
Ref Expression
taylpf  |-  ( ph  ->  T : CC --> CC )

Proof of Theorem taylpf
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11240 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  e. 
Fin )
2 taylpfval.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
3 taylpfval.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
4 taylpfval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
5 taylpfval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 taylpfval.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
72, 3, 4, 5, 6taylplem2 20148 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) )  e.  CC )
81, 7fsumcl 12455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) )  e.  CC )
9 eqid 2388 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) )
108, 9fmptd 5833 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) : CC --> CC )
11 taylpfval.t . . . 4  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
122, 3, 4, 5, 6, 11taylpfval 20149 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) )
1312feq1d 5521 . 2  |-  ( ph  ->  ( T : CC --> CC 
<->  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) : CC --> CC ) )
1410, 13mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  T : CC --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3264   {cpr 3759    e. cmpt 4208   dom cdm 4819   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924    x. cmul 8929    - cmin 9224    / cdiv 9610   NN0cn0 10154   ...cfz 10976   ^cexp 11310   !cfa 11494   sum_csu 12407    D ncdvn 19619   Tayl ctayl 20137
This theorem is referenced by:  dvntaylp  20155  taylthlem1  20157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-tsms 18078  df-xms 18260  df-ms 18261  df-limc 19621  df-dv 19622  df-dvn 19623  df-tayl 20139
  Copyright terms: Public domain W3C validator