Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylpfval Structured version   Unicode version

Theorem taylpfval 20281
 Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally or ), is the function we are approximating, at point , to order . The result is a polynomial function of . (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s
taylpfval.f
taylpfval.a
taylpfval.n
taylpfval.b
taylpfval.t Tayl
Assertion
Ref Expression
taylpfval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem taylpfval
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . 4
2 taylpfval.f . . . 4
3 taylpfval.a . . . 4
4 taylpfval.n . . . . 5
54orcd 382 . . . 4
6 taylpfval.b . . . . 5
71, 2, 3, 4, 6taylplem1 20279 . . . 4
8 taylpfval.t . . . 4 Tayl
91, 2, 3, 5, 7, 8taylfval 20275 . . 3 fld tsums
10 cnfldbas 16707 . . . . . . 7 fld
11 cnfld0 16725 . . . . . . 7 fld
12 cnrng 16723 . . . . . . . 8 fld
13 rngcmn 15694 . . . . . . . 8 fld fld CMnd
1412, 13mp1i 12 . . . . . . 7 fld CMnd
15 cnfldtps 18812 . . . . . . . 8 fld
1615a1i 11 . . . . . . 7 fld
17 ovex 6106 . . . . . . . . 9
1817inex1 4344 . . . . . . . 8
1918a1i 11 . . . . . . 7
201, 2, 3, 5, 7taylfvallem1 20273 . . . . . . . 8
21 eqid 2436 . . . . . . . 8
2220, 21fmptd 5893 . . . . . . 7
23 0z 10293 . . . . . . . . . . 11
244nn0zd 10373 . . . . . . . . . . 11
25 fzval2 11046 . . . . . . . . . . 11
2623, 24, 25sylancr 645 . . . . . . . . . 10
2726adantr 452 . . . . . . . . 9
28 fzfid 11312 . . . . . . . . 9
2927, 28eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8
3029, 22fisuppfi 14773 . . . . . . 7
31 eqid 2436 . . . . . . 7 fld fld
3231cnfldhaus 18819 . . . . . . . 8 fld
3332a1i 11 . . . . . . 7 fld
3410, 11, 14, 16, 19, 22, 30, 31, 33haustsmsid 18170 . . . . . 6 fld tsums fld g
3529, 20gsumfsum 16766 . . . . . . . 8 fld g
3627sumeq1d 12495 . . . . . . . 8
3735, 36eqtr4d 2471 . . . . . . 7 fld g
3837sneqd 3827 . . . . . 6 fld g
3934, 38eqtrd 2468 . . . . 5 fld tsums
4039xpeq2d 4902 . . . 4 fld tsums
4140iuneq2dv 4114 . . 3 fld tsums
429, 41eqtrd 2468 . 2
43 dfmpt3 5567 . 2
4442, 43syl6eqr 2486 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cdif 3317   cin 3319   wss 3320  csn 3814  cpr 3815  ciun 4093   cmpt 4266   cxp 4876   cdm 4878  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  cc 8988  cr 8989  cc0 8990   cmul 8995   cpnf 9117   cmin 9291   cdiv 9677  cn0 10221  cz 10282  cicc 10919  cfz 11043  cexp 11382  cfa 11566  csu 12479  ctopn 13649   g cgsu 13724  CMndccmn 15412  crg 15660  ℂfldccnfld 16703  ctps 16961  cha 17372   tsums ctsu 18155   cdvn 19751   Tayl ctayl 20269 This theorem is referenced by:  taylpf  20282  taylpval  20283  taylply2  20284  dvtaylp  20286 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-tsms 18156  df-xms 18350  df-ms 18351  df-limc 19753  df-dv 19754  df-dvn 19755  df-tayl 20271
 Copyright terms: Public domain W3C validator