Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply Structured version   Unicode version

Theorem taylply 20286
 Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) . (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s
taylpfval.f
taylpfval.a
taylpfval.n
taylpfval.b
taylpfval.t Tayl
Assertion
Ref Expression
taylply Poly deg

Proof of Theorem taylply
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . 2
2 taylpfval.f . 2
3 taylpfval.a . 2
4 taylpfval.n . 2
5 taylpfval.b . 2
6 taylpfval.t . 2 Tayl
7 cnrng 16724 . . 3 fld
8 cnfldbas 16708 . . . 4 fld
98subrgid 15871 . . 3 fld SubRingfld
107, 9mp1i 12 . 2 SubRingfld
11 cnex 9072 . . . . . . . 8
1211a1i 11 . . . . . . 7
13 elpm2r 7035 . . . . . . 7
1412, 1, 2, 3, 13syl22anc 1186 . . . . . 6
15 dvnbss 19815 . . . . . 6
161, 14, 4, 15syl3anc 1185 . . . . 5
17 fdm 5596 . . . . . 6
182, 17syl 16 . . . . 5
1916, 18sseqtrd 3385 . . . 4
20 recnprss 19792 . . . . . 6
211, 20syl 16 . . . . 5
223, 21sstrd 3359 . . . 4
2319, 22sstrd 3359 . . 3
2423, 5sseldd 3350 . 2
251adantr 453 . . . . 5
2614adantr 453 . . . . 5
27 elfznn0 11084 . . . . . 6
2827adantl 454 . . . . 5
29 dvnf 19814 . . . . 5
3025, 26, 28, 29syl3anc 1185 . . . 4
31 simpr 449 . . . . . 6
32 dvn2bss 19817 . . . . . 6
3325, 26, 31, 32syl3anc 1185 . . . . 5
345adantr 453 . . . . 5
3533, 34sseldd 3350 . . . 4
3630, 35ffvelrnd 5872 . . 3
37 faccl 11577 . . . . 5
3828, 37syl 16 . . . 4
3938nncnd 10017 . . 3
4038nnne0d 10045 . . 3
4136, 39, 40divcld 9791 . 2
421, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 41taylply2 20285 1 Poly deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2957   wss 3321  cpr 3816   class class class wbr 4213   cdm 4879  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082   cpm 7020  cc 8989  cr 8990  cc0 8991   cle 9122  cn 10001  cn0 10222  cfz 11044  cfa 11567  crg 15661  SubRingcsubrg 15865  ℂfldccnfld 16704   cdvn 19752  Polycply 20104  degcdgr 20107   Tayl ctayl 20270 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-subrg 15867  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-tsms 18157  df-xms 18351  df-ms 18352  df-0p 19563  df-limc 19754  df-dv 19755  df-dvn 19756  df-ply 20108  df-idp 20109  df-coe 20110  df-dgr 20111  df-tayl 20272
 Copyright terms: Public domain W3C validator