MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply Unicode version

Theorem taylply 19748
Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most)  N. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylpfval.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylpfval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylpfval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
taylpfval.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
taylpfval.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
Assertion
Ref Expression
taylply  |-  ( ph  ->  ( T  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  T )  <_  N
) )

Proof of Theorem taylply
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 taylpfval.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 taylpfval.a . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 taylpfval.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
5 taylpfval.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
6 taylpfval.t . 2  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
7 cnrng 16396 . . 3  |-fld  e.  Ring
8 cnfldbas 16383 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
98subrgid 15547 . . 3  |-  (fld  e.  Ring  ->  CC  e.  (SubRing ` fld ) )
107, 9mp1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  CC  e.  (SubRing ` fld ) )
11 cnex 8818 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
1211a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
13 elpm2r 6788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
1412, 1, 2, 3, 13syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
15 dvnbss 19277 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  N ) 
C_  dom  F )
161, 14, 4, 15syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 N )  C_  dom  F )
17 fdm 5393 . . . . . 6  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
182, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
1916, 18sseqtrd 3214 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 N )  C_  A )
20 recnprss 19254 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
211, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
223, 21sstrd 3189 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
2319, 22sstrd 3189 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 N )  C_  CC )
2423, 5sseldd 3181 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
251adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2614adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
27 elfznn0 10822 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
2827adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
29 dvnf 19276 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 k ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) --> CC )
3025, 26, 28, 29syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  D n F ) `  k
) : dom  (
( S  D n F ) `  k
) --> CC )
31 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
32 dvn2bss 19279 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  N
)  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  k ) )
3325, 26, 31, 32syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  N
)  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  k ) )
345adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
3533, 34sseldd 3181 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) )
3630, 35ffvelrnd 5666 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  e.  CC )
37 faccl 11298 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3828, 37syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
3938nncnd 9762 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
4038nnne0d 9790 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
4136, 39, 40divcld 9536 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
421, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 41taylply2 19747 1  |-  ( ph  ->  ( T  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  T )  <_  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   !cfa 11288   Ringcrg 15337  SubRingcsubrg 15541  ℂfldccnfld 16377    D ncdvn 19214  Polycply 19566  degcdgr 19569   Tayl ctayl 19732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tsms 17809  df-xms 17885  df-ms 17886  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217  df-dvn 19218  df-ply 19570  df-idp 19571  df-coe 19572  df-dgr 19573  df-tayl 19734
  Copyright terms: Public domain W3C validator