Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply2 Structured version   Unicode version

Theorem taylply2 20276
 Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) . This version of taylply 20277 shows that the coefficients of are in a subring of the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s
taylpfval.f
taylpfval.a
taylpfval.n
taylpfval.b
taylpfval.t Tayl
taylply2.1 SubRingfld
taylply2.2
taylply2.3
Assertion
Ref Expression
taylply2 Poly deg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem taylply2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . . 5
2 taylpfval.f . . . . 5
3 taylpfval.a . . . . 5
4 taylpfval.n . . . . 5
5 taylpfval.b . . . . 5
6 taylpfval.t . . . . 5 Tayl
71, 2, 3, 4, 5, 6taylpfval 20273 . . . 4
8 simpr 448 . . . . . 6
9 cnex 9063 . . . . . . . . . . . . 13
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
11 elpm2r 7026 . . . . . . . . . . . 12
1210, 1, 2, 3, 11syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11
13 dvnbss 19806 . . . . . . . . . . 11
141, 12, 4, 13syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
15 fdm 5587 . . . . . . . . . . 11
162, 15syl 16 . . . . . . . . . 10
1714, 16sseqtrd 3376 . . . . . . . . 9
18 recnprss 19783 . . . . . . . . . . 11
191, 18syl 16 . . . . . . . . . 10
203, 19sstrd 3350 . . . . . . . . 9
2117, 20sstrd 3350 . . . . . . . 8
2221, 5sseldd 3341 . . . . . . 7
2322adantr 452 . . . . . 6
248, 23subcld 9403 . . . . 5
25 df-idp 20100 . . . . . . . 8
26 mptresid 5187 . . . . . . . 8
2725, 26eqtr4i 2458 . . . . . . 7
2827a1i 11 . . . . . 6
29 fconstmpt 4913 . . . . . . 7
3029a1i 11 . . . . . 6
3110, 8, 23, 28, 30offval2 6314 . . . . 5
32 eqidd 2436 . . . . 5
33 oveq1 6080 . . . . . . 7
3433oveq2d 6089 . . . . . 6
3534sumeq2sdv 12490 . . . . 5
3624, 31, 32, 35fmptco 5893 . . . 4
377, 36eqtr4d 2470 . . 3
38 taylply2.1 . . . . . 6 SubRingfld
39 cnfldbas 16699 . . . . . . 7 fld
4039subrgss 15861 . . . . . 6 SubRingfld
4138, 40syl 16 . . . . 5
42 taylply2.3 . . . . 5
4341, 4, 42elplyd 20113 . . . 4 Poly
44 cnfld1 16718 . . . . . . . 8 fld
4544subrg1cl 15868 . . . . . . 7 SubRingfld
4638, 45syl 16 . . . . . 6
47 plyid 20120 . . . . . 6 Poly
4841, 46, 47syl2anc 643 . . . . 5 Poly
49 taylply2.2 . . . . . 6
50 plyconst 20117 . . . . . 6 Poly
5141, 49, 50syl2anc 643 . . . . 5 Poly
52 subrgsubg 15866 . . . . . . 7 SubRingfld SubGrpfld
5338, 52syl 16 . . . . . 6 SubGrpfld
54 cnfldadd 16700 . . . . . . . 8 fld
5554subgcl 14946 . . . . . . 7 SubGrpfld
56553expb 1154 . . . . . 6 SubGrpfld
5753, 56sylan 458 . . . . 5
58 cnfldmul 16701 . . . . . . . 8 fld
5958subrgmcl 15872 . . . . . . 7 SubRingfld
60593expb 1154 . . . . . 6 SubRingfld
6138, 60sylan 458 . . . . 5
62 ax-1cn 9040 . . . . . . 7
63 cnfldneg 16719 . . . . . . 7 fld
6462, 63ax-mp 8 . . . . . 6 fld
65 eqid 2435 . . . . . . . 8 fld fld
6665subginvcl 14945 . . . . . . 7 SubGrpfld fld
6753, 46, 66syl2anc 643 . . . . . 6 fld
6864, 67syl5eqelr 2520 . . . . 5
6948, 51, 57, 61, 68plysub 20130 . . . 4 Poly
7043, 69, 57, 61plyco 20152 . . 3 Poly
7137, 70eqeltrd 2509 . 2 Poly
7237fveq2d 5724 . . . 4 deg deg
73 eqid 2435 . . . . 5 deg deg
74 eqid 2435 . . . . 5 deg deg
7573, 74, 43, 69dgrco 20185 . . . 4 deg deg deg
76 eqid 2435 . . . . . . . . 9
7776plyremlem 20213 . . . . . . . 8 Poly deg
7822, 77syl 16 . . . . . . 7 Poly deg
7978simp2d 970 . . . . . 6 deg
8079oveq2d 6089 . . . . 5 deg deg deg
81 dgrcl 20144 . . . . . . . 8 Poly deg
8243, 81syl 16 . . . . . . 7 deg
8382nn0cnd 10268 . . . . . 6 deg
8483mulid1d 9097 . . . . 5 deg deg
8580, 84eqtrd 2467 . . . 4 deg deg deg
8672, 75, 853eqtrd 2471 . . 3 deg deg
871adantr 452 . . . . . . 7
8812adantr 452 . . . . . . 7
89 elfznn0 11075 . . . . . . . 8
9089adantl 453 . . . . . . 7
91 dvnf 19805 . . . . . . 7
9287, 88, 90, 91syl3anc 1184 . . . . . 6
93 simpr 448 . . . . . . . 8
94 dvn2bss 19808 . . . . . . . 8
9587, 88, 93, 94syl3anc 1184 . . . . . . 7
965adantr 452 . . . . . . 7
9795, 96sseldd 3341 . . . . . 6
9892, 97ffvelrnd 5863 . . . . 5
99 faccl 11568 . . . . . . 7
10090, 99syl 16 . . . . . 6
101100nncnd 10008 . . . . 5
102100nnne0d 10036 . . . . 5
10398, 101, 102divcld 9782 . . . 4
10443, 4, 103, 32dgrle 20154 . . 3 deg
10586, 104eqbrtrd 4224 . 2 deg
10671, 105jca 519 1 Poly deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   wss 3312  csn 3806  cpr 3807   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cid 4485   cxp 4868  ccnv 4869   cdm 4870   cres 4872  cima 4873   ccom 4874  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295   cpm 7011  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cle 9113   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  cn 9992  cn0 10213  cfz 11035  cexp 11374  cfa 11558  csu 12471  cminusg 14678  SubGrpcsubg 14930  SubRingcsubrg 15856  ℂfldccnfld 16695   cdvn 19743  Polycply 20095  cidp 20096  degcdgr 20098   Tayl ctayl 20261 This theorem is referenced by:  taylply  20277  taylthlem2  20282 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-tsms 18148  df-xms 18342  df-ms 18343  df-0p 19554  df-limc 19745  df-dv 19746  df-dvn 19747  df-ply 20099  df-idp 20100  df-coe 20101  df-dgr 20102  df-tayl 20263
 Copyright terms: Public domain W3C validator