MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylth Structured version   Unicode version

Theorem taylth 20296
Description: Taylor's theorem. The Taylor polynomial of a  N-times differentiable function is such that the error term goes to zero faster than  ( x  -  B ) ^ N. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylth.f  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
taylth.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
taylth.d  |-  ( ph  ->  dom  ( ( RR  D n F ) `
 N )  =  A )
taylth.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
taylth.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
taylth.t  |-  T  =  ( N ( RR Tayl  F ) B )
taylth.r  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
Assertion
Ref Expression
taylth  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, T    x, N    ph, x
Allowed substitution hint:    R( x)

Proof of Theorem taylth
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9086 . . . 4  |-  RR  e.  _V
21prid1 3914 . . 3  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
4 taylth.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
5 ax-resscn 9052 . . 3  |-  RR  C_  CC
6 fss 5602 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : A --> CC )
74, 5, 6sylancl 645 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8 taylth.a . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 taylth.d . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( ( RR  D n F ) `
 N )  =  A )
10 taylth.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
11 taylth.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
12 taylth.t . 2  |-  T  =  ( N ( RR Tayl  F ) B )
13 taylth.r . 2  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
144adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  F : A --> RR )
158adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  A  C_  RR )
169adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  dom  ( ( RR  D n F ) `  N
)  =  A )
1710adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  N  e.  NN )
1811adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  B  e.  A )
19 simprl 734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  m  e.  ( 1..^ N ) )
20 simprr 735 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )
21 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  y )  =  ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )
22 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )
2321, 22oveq12d 6102 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  =  ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) ) )
24 oveq1 6091 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  -  B )  =  ( x  -  B ) )
2524oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
m ) )
2623, 25oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) ) )
2726cbvmptv 4303 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ m
) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )
2827oveq1i 6094 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 y ) )  /  ( ( y  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )
2920, 28syl6eleq 2528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )
3014, 15, 16, 17, 18, 12, 19, 29taylthlem2 20295 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  ( m  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( m  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( m  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
313, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 30taylthlem1 20294 1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   {cpr 3817    e. cmpt 4269   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    - cmin 9296    / cdiv 9682   NNcn 10005  ..^cfzo 11140   ^cexp 11387   lim CC climc 19754    D ncdvn 19756   Tayl ctayl 20274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-subrg 15871  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-tsms 18161  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-0p 19565  df-limc 19758  df-dv 19759  df-dvn 19760  df-ply 20112  df-idp 20113  df-coe 20114  df-dgr 20115  df-tayl 20276
  Copyright terms: Public domain W3C validator